巧借向量轉(zhuǎn)化，優(yōu)解直線與圓

高中原

[摘? 要] 涉及向量的直線與圓的綜合問題是高中的?？碱}型，對于該類問題要從向量的幾何意義入手，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將其轉(zhuǎn)化為較為簡潔的代數(shù)問題，本文將結(jié)合實例簡要講解運(yùn)用向量特性及坐標(biāo)運(yùn)算的解題技巧，以期對學(xué)生的學(xué)習(xí)備考有所幫助.

[關(guān)鍵詞] 直線;圓;向量;幾何意義;運(yùn)算;坐標(biāo)

直線與圓的綜合問題是高考的重點題型，有時會涉及較為特殊的向量知識，因向量的幾何和代數(shù)的雙重特性，使得解法呈現(xiàn)靈活性、多樣性、創(chuàng)造性，同時也造成了學(xué)生難于發(fā)現(xiàn)題目的隱含條件，無法找到解題的突破口.

真題解析，解法評析

1. 真題呈現(xiàn)

（2017全國卷Ⅲ理數(shù)）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.

（1）求證：坐標(biāo)原點O在圓M上;

（2）設(shè)圓M過點P（4，-2），求直線l與圓M的方程.

2. 試題解析

3. 解法評析

本題目為直線與圓的綜合問題，主要考查學(xué)生利用幾何知識解決綜合問題的能力. 上述解題過程中都利用了向量的幾何意義，用向量來表示直線的垂直關(guān)系，然后通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從中提煉解題的關(guān)鍵條件，將幾何問題轉(zhuǎn)化為了代數(shù)問題，達(dá)到了簡化解題的目的. 通過向量來解決解析幾何是一種十分有效的解題方式，特別是涉及向量的直線與圓的問題，可充分利用向量的幾何意義來轉(zhuǎn)化問題，然后通過向量代數(shù)運(yùn)算的便捷性來轉(zhuǎn)化問題條件，從而打開解決問題的突破口.

巧借向量，轉(zhuǎn)化條件

向量具有代數(shù)的特性，向量坐標(biāo)可進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算. 在解題時可以利用向量的代數(shù)運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算來重組條件，例如已知某向量關(guān)系，可利用該方法建立起向量坐標(biāo)的關(guān)系，以此作為解題的突破口.

（2016江蘇高考數(shù)學(xué)卷）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A（2，4）.

上述題目給出了某向量的加法關(guān)系，在解題時充分利用該關(guān)系建立起向量坐標(biāo)的關(guān)系式，從而將問題轉(zhuǎn)化為在已知坐標(biāo)關(guān)系求解參數(shù)值，將較為形象的幾何問題代數(shù)化，方法巧妙，過程簡潔.

活用向量，建立聯(lián)系

有些幾何問題涉及向量積的相關(guān)知識，此時可以考慮借助向量積的幾何意義，通過向量運(yùn)算來轉(zhuǎn)化問題，使其變?yōu)榕c條件相關(guān)的量，然后通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算來分析結(jié)論. 這種方式可以建立條件與結(jié)論之間的數(shù)量關(guān)系，從而幫助有效分析問題.

分析向量積與角度的關(guān)系，借助向量的幾何意義實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，正是合理地運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立起相關(guān)參數(shù)與已知條件的直接關(guān)系，從而達(dá)到解題的目的. 向量是連接數(shù)與形的紐帶，向量轉(zhuǎn)化及坐標(biāo)運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵.

總之，求解涉及向量的圓與直線的綜合問題，要充分利用向量的幾何特性，實現(xiàn)條件和結(jié)論的有效轉(zhuǎn)化，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化. 向量是維系幾何與代數(shù)的特殊紐帶，是建立條件與結(jié)論聯(lián)系性的有效工具，在學(xué)習(xí)使用向量時，要充分了解向量的幾何意義，掌握向量運(yùn)算法則，合理利用向量，準(zhǔn)確求解難題.