• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    球面凸類圖形Delaunay三角剖分再分算法及其收斂性分析

    2018-01-08 07:33:57李映華
    計算機應(yīng)用 2017年12期
    關(guān)鍵詞:小圓圓心角剖分

    夏 俊,李映華

    (昆明理工大學 理學院,昆明 650500)

    球面凸類圖形Delaunay三角剖分再分算法及其收斂性分析

    夏 俊*,李映華

    (昆明理工大學 理學院,昆明 650500)

    在計算曲面Ricci Flow時,會因為三角網(wǎng)格中存在過小的角而出現(xiàn)不收斂的情況。針對這種不收斂的問題,提出一種提高最小角角度的球面凸類圖形Delaunay三角剖分再分算法。首先,給出球面凸類圖形Delaunay三角剖分再分算法。它的核心操作有兩個:1)如果某條Delaunay劣弧被“侵占”, 通過添加Delaunay劣弧中點分割Delaunay劣弧;2)如果存在“瘦”球面三角形, 通過添加球面三角形外接球面小圓圓心分解球面三角形。然后,利用局部特征尺度探索出所提算法的收斂條件并給出輸出頂點的一個上界公式。根據(jù)實驗輸出的網(wǎng)格驗證,所提算法網(wǎng)格生成的球面三角形沒有狹小的角,適合用來計算Ricci Flow。

    球面;Delaunay三角剖分;劣??;局部特征尺度;收斂

    0 引言

    Delaunay三角剖分在圖形學、地理學以及有限元分析等領(lǐng)域是一項極為重要的預處理技術(shù)。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展以及分析對象的復雜性,Delaunay三角剖分在這些領(lǐng)域扮演著重要角色。例如,在有限元分析中,需要把研究的區(qū)域分解成三角形單位元。如果剖分的三角形角度過小,那么有限元算法的收斂性得不到保證。因為Delaunay三角剖分可以最大化最小角,所以Delaunay三角剖分是一種有效的剖分方法。

    目前,平面上的Delaunay三角剖分的研究已經(jīng)相當成熟。平面上的Delaunay三角剖分分為點集Delaunay三角剖分和約束Delaunay三角剖分。 對于平面點集Delaunay 三角剖分來說,Lee等[1]給出了點集Delaunay三角剖分的幾何性質(zhì)和算法。Dwyer[2]利用分治合并算法構(gòu)建了點集Delaunay三角剖分。近年來,對于點集Delaunay三角剖分的研究都是不斷降低時間復雜度,插入點混合定位算法[3]有效降低算法的時間復雜度。對于平面約束Delaunay三角剖分來說,Chew[4]提出了分治合并算法,Lee等[5]對平面直線圖形作約束Delaunay三角剖分。近幾年,關(guān)于平面約束Delaunay三角剖分的研究也都是不斷降低復雜度,如帶斷層約束的Delaunay三角剖分混合算法[6],它在生成網(wǎng)格質(zhì)量和時間效率上都優(yōu)于傳統(tǒng)算法。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展,約束Delaunay三角剖分已經(jīng)不能滿足生產(chǎn)需求。在有限元分析中,網(wǎng)格的質(zhì)量對有限元方程的收斂性有著直接的影響。Ruppert[7]通過添加“Steiner”點提出Delaunay Refinement算法以及Shewchuk[8]提出的Delaunay Refinement算法增大了輸出三角形的最小角角度,這些網(wǎng)格都適用于有限元方程。但是Ruppert’s Refinement算法復雜度的證明由Barbic等[9]完成。Rand[10]提出的“Off-Centers”不僅提高輸出三角形的質(zhì)量,還添加更少的輸出點。

    近年來,出現(xiàn)了非歐空間的Delaunay三角剖分,如Caroli等[11]給出了球面點集Delaunay三角剖分和Zeng等[12]提出的雙曲曲面Delaunay Refinement三角剖分。在計算Ricci Flow方程時,一旦出現(xiàn)某個退化的球面三角形,就有可能出現(xiàn)不收斂的情況,文獻[13-14]研究就需要高質(zhì)量的球面三角形。因此,必須提高球面三角形的質(zhì)量。本文通過添加Delaunay劣弧中點以及球面三角形外接測地圓圓心,有效地提高整體球面三角形的質(zhì)量,避免狹小角的出現(xiàn),有效解決Ricci Flow方程不收斂的問題。

    1 球面凸類圖形Delaunay三角剖分再分算法

    首先,給出幾個相關(guān)概念。

    定義1 球面上兩點之間劣弧的長度,稱之為球面上兩點之間的距離, 簡稱距離。

    定義2 球面n邊形A1A2…An總在它的每一邊所在大圓的半個球面內(nèi), 那么稱這個球面多邊形為球面凸n邊形。

    定義3 球面凸n邊形以及包含在球面凸n邊形內(nèi)的點和劣弧稱為球面凸類圖形。

    因為不同半徑的球面之間可以建立一一映射,所以不妨在單位球面上對輸入的球面凸類圖形進行Delaunay三角剖分再分,如果沒有特殊說明,下文中的球面指的是單位球面。

    為了方便,假設(shè)球面凸類圖形中球面凸n邊形兩條相交劣弧夾角角度至少是90°,這個限制根據(jù)文獻[7]中的“Corner-Lopping” 可以解除,具體不再贅述;同時,記球面凸類圖形為X。另外本文中提到的角指的是球面角。

    球面凸類圖形Delaunay三角剖分再分算法是在球面點集Delaunay三角剖分算法基礎(chǔ)上生成的,球面點集Delaunay三角剖分(Sphere Delaunay Triangulation(V))簡記為SDT(V)。球面點集Delaunay三角剖分指的是給定球面上一系列點,由球面點集Delaunay三角剖分算法產(chǎn)生的所有球面三角形最短邊對應(yīng)的外接球面小圓圓心角達到最大,也就是最大化最小圓心角。如果球面上不存在四點共圓,那么這個SDT(V)是唯一的。如果存在四點共圓,兩條對角線任取一條不影響最小圓心角的大小,不妨取對角線最短的作為邊。具體的算法實現(xiàn)見參考文獻[11]。 為了方便下文的分析,本文只需要對球面凸類圖形內(nèi)部進行Delaunay三角剖分再分,故球面凸類圖形外的球面三角形全部刪除。

    把球面凸類圖形中的劣弧以及剖分產(chǎn)生的劣弧叫作Delaunay劣弧,用集合G表示。球面上任意一條劣弧AB記為AB。為了方便,也可用AB表示球面上A和B兩點之間的距離, 那么球面上AB的取值范圍為(0,π]。同時,把球面凸類圖形中的點以及剖分添加的點叫作頂點,用集合V表示。球面上任意一個點叫作點。對于這個算法,初始時,V就是所有輸入的頂點,G就是所有的輸入劣弧。

    生成球面點集Delaunay三角剖分之后,利用本文算法繼續(xù)剖分,添加點的原因有兩個:保證G中的Delaunay劣弧是點集Delaunay三角剖分產(chǎn)生的測地線;整體提高球面三角形最短邊外接球面小圓圓心角。

    對Delaunay劣弧g來說,以g為測地直徑的球面小圓稱為g的測地直徑圓。如果有一個頂點A在g的測地直徑圓內(nèi),稱頂點A“侵占”Delaunay劣弧g。如圖1所示, 輸入的球面凸類圖形是圖中的實Delaunay劣弧,球面點集Delaunay三角剖分是圖中除Delaunay劣弧AB外,其他實Delaunay劣弧和虛劣弧組成的圖形。對于球面凸類圖形來說,這不是它的Delaunay三角剖分,因為AB不是點集Delaunay三角剖分中的測地線且頂點A“侵占”Delaunay劣弧CD。

    本文算法的核心操作有兩個:第一,如果某條Delaunay劣弧被“侵占”,通過添加Delaunay劣弧中點分割Delaunay劣弧;第二,如果存在“瘦”球面三角形,通過添加球面三角形外接球面小圓圓心分解球面三角形,“瘦”球面三角形是球面三角形外接球面小圓中,球面三角形最短邊對應(yīng)的圓心角的角度小于φ(φ是預先給定的值)的球面三角形。

    圖1 非法球面Delaunay三角剖分Fig. 1 Delaunay triangulation of illegal sphere

    下面給出球面凸類圖形Delaunay三角剖分再分算法:

    輸入 球面凸類圖形X和參數(shù)φ。

    BEGIN

    初始化 計算初始球面點集Delaunay三角剖分SDT(V)

    while Delaunay劣弧g被“侵占”:

    SpliltGeo(Delaunay劣弧g)

    if “瘦”球面三角形t的外接球面小圓圓心P“侵占”Delaunay劣弧g1,g2,…,gk

    fori=1 tok:

    SplitGeo(Delaunay劣弧gi)

    else SplitStri(球面三角形t)

    end if

    until 沒有Delaunay劣弧被“侵占”和沒有球面三角形最短邊所對應(yīng)的圓心角<φ

    END

    子算法SplitStri(球面三角形t)。

    輸入 球面三角形t。

    BEGIN

    添加球面三角形t的外接球面小圓圓心到V中,更新SDT(V)

    END

    子算法SplitGeo(Delaunay劣弧g)。

    輸入 Delaunay劣弧g。

    BEGIN

    添加Delaunay劣弧g的中點到V中,更新SDT(V),將g從G中 移除,將g分成的兩個子段g1和g2添加到G中

    END

    2 算法收斂性分析

    在本章證明本文算法在執(zhí)行有限的步驟之后是可以終止的,這與輸入球面凸類圖形的局部特征尺度有關(guān),給出局部特征尺度的概念。

    定義4 給定一個球面凸類圖形X,以球面上任意一點P為圓心的與X中兩個和P不相關(guān)的頂點或Delaunay劣弧相交的最小球面小圓的測地半徑叫作點P的局部特征尺度,記為lfs(P)。

    在球面上,根據(jù)定義1知,lfs(P)的取值范圍為(0,π)。圖2是對這個定義的直觀解釋,lfs(A)、lfs(B)和lfs(C)分別對應(yīng)圖2中三個球面小圓的測地半徑,其中l(wèi)fs(C)有一部分頂點或Delaunay劣弧相交。對于給定的輸入球面凸類圖形X,lfs(X)是連續(xù)函數(shù)且滿足下列引理1。

    引理1 局部特征尺度是Lipschitz函數(shù),即任意給定一個球面凸類圖形,在球面上任取兩個點P和Q,有:

    lfs(Q)≤lfs(P)+PQ

    其中PQ是球面上兩點P和Q的距離。

    證明 根據(jù)lfs()的定義,lfs(P)是以點P為圓心的與球面凸類圖形中兩個和P不相關(guān)的頂點或Delaunay劣弧相交的最小球面小圓的測地半徑,記這個球面小圓為D1。

    1)若lfs(P)+PQ≥π,因為lfs()<π,顯然成立。

    2)若lfs(P)+PQ<π,現(xiàn)在以點Q為圓心,r=lfs(P)+PQ為測地半徑的球面小圓記為D2,那么D1包含在D2中,因此:

    lfs(Q)≤r

    故得到:

    lfs(Q)≤r=lfs(P)+PQ

    每當一個點添加之后,它不改變lfs()的性質(zhì),lfs()只和輸入的球面凸類圖形有關(guān),下面的引理2說明頂點的密度完全是由lfs()決定。

    引理2 1)初始時,對于每個輸入的頂點P,P到它最近的頂點的距離至少是lfs(P)。

    2)當點P是球面“瘦”球面三角形的外接球面小圓圓心時,點P到它最近頂點的距離至少是lfs(P)/CT(點P屬于這個三角剖分中的頂點或者是“侵占”某條Delaunay劣弧)。

    3)當頂點P是某條Delaunay劣弧的中點時,點P到它最近的頂點的距離至少為lfs(P)/CG。

    證明 當頂點P是輸入的點時,根據(jù)lfs()的定義,頂點P到它最近的頂點的距離至少是lfs(P)。對于后來加進去的點,假設(shè)這個引理對之前所有的頂點都成立。

    1)當點P是球面“瘦”三角形t的外接球面小圓圓心時,那么點P到球面“瘦”三角形t的頂點最近。設(shè)點P到球面“瘦”三角形t的頂點A、頂點B和頂點C的距離等于r1,那么r1的取值范圍為(0,π/2)。如圖3所示,不妨假設(shè)弧AB是球面△ABC的最短邊,那么弧AB所對應(yīng)的圓心角最小,設(shè)為ψ。

    不失一般性,首先考慮點A是在點B之后加進去的或者兩者都是輸入的頂點。當點A是輸入的頂點時,則lfs(A)≤AB;當點A是球面三角形外接球面小圓圓心時,設(shè)這個球面小圓的測地半徑為rA,根據(jù)這個引理有l(wèi)fs(A)≤CTrA≤CTAB;當點A是某條Delaunay劣弧的中點時,在A點利用這個引理有l(wèi)fs(A)≤CGAB。

    假設(shè)給定條件CG≥CT≥1,則上面幾種情況綜合起來為:

    lfs(A)≤CGAB

    如圖4所示,先把球面△PAB提出來,再由點P作AB的垂線,根據(jù)球面正弦定理有:

    由此得到:

    AB=2arcsin(sin(ψ/2)·sinr1)

    令ρ(ψ,r1)=(AB)/(2r1),因為:

    lfs(P)≤lfs(A)+r1

    則ρ(ψ,r1)在r1∈(0,π/2)上的最大值的上確界為sin(ψ/2),得:

    這里只需要取CT≥2sin(ψ/2)CG+1。

    圖3 球面三角形及其圓心角Fig. 3 Spherical triangle and its central angle

    圖4 球面三角形及其垂線Fig. 4 Spherical triangle and its vertical

    2)如圖5所示,當頂點P是Delaunay劣弧g的中點時,如果存在頂點A或某個球面“瘦”三角形外接球面小圓圓心A在以g為測地直徑的球面小圓內(nèi)時,Delaunay劣弧g需要添加中點并假設(shè)這個球面小圓的測地半徑為r2,易知,r2的取值范圍為(0,π/2)。

    圖5 點A“侵占”劣弧BCFig. 5 Vertex A “encroaches upon” minor arc BC

    a)點A位于Delaunay劣弧h上并且和Delaunay劣弧g不相交,之前假設(shè)所有的輸入球面凸類圖形的角度至少是90°,所以必然存在兩個不相交的Delaunay劣弧,一個包含點P,另一個包含點A,使得它們的距離比r2小。因此,得到:

    lfs(P)≤r2

    根據(jù)CG≥1知,這種情況是成立的。

    b)點A是球面“瘦”三角形外接球面小圓圓心,但是這個點在以Delaunay劣弧g為測地直徑的球面小圓內(nèi),所以這個點是不存在于三角剖分內(nèi)。那么存在一個以點A為圓心,測地半徑為rA的球面小圓CA使得圓內(nèi)沒有其他點,在A點應(yīng)用這個引理得到:

    rA≥lfs(A)/CT

    同時,點B和點C在CA之外,故當rA最大時有:

    cosrA=cosr2×cosr2

    令ρ(r2)=rA/r2,根據(jù)引理1有:

    lfs(P)≤lfs(A)+r2

    根據(jù)上面的分析,得到如下不等式:

    通過解這個方程組,得到:

    所以ψ的一個上界為φ=41.4°。

    引理2表明當點P加進去之后,沒有其他頂點在以P為圓心、lfs(P)/CG為測地半徑的球面小圓內(nèi)。下面的這個定理表明當點加進去之后,頂點P到其他頂點的距離存在下界。

    定理1 給定輸出的球面凸類圖形的Delaunay三角剖分再分,對于任意一個頂點P,頂點P到它最近的頂點的距離至少是lfs(P)/(CG+1)。

    證明 引理2解決了除P在Q之后加入的情況,利用這個引理2對Q進行處理,得到:

    PQ≥lfs(Q)/CG

    結(jié)合引理1得到:

    PQ≥lfs(P)/(CG+1)

    有了上面的定理之后,就能證明輸出頂點存在上界。

    定理2 Delaunay三角剖分再分輸出球面三角網(wǎng)格中,頂點的數(shù)量至多是:

    其中:B是球面凸類圖形的內(nèi)部;C1是具體的常數(shù)。

    根據(jù)引理1,在DP中,lfs()的最大值是lfs(P)+rP,設(shè)DP的面積為SDP,故:

    下面對rP分情況討論:

    1)當rP≤π/2時,因為SDP=4π sin2(rP/2),所以:

    綜合起來得:

    2)當π/2

    因此,只需取C1≥(2CG+3)2π即可。

    根據(jù)以上兩種情況知,只需取C1≥(2CG+3)2π。

    由上面的分析知,當輸入的參數(shù)φ≤41°時,本文算法在執(zhí)行過程中添加的點是有限的,也就是本文算法是收斂的。

    3 算法實現(xiàn)及分析

    球面凸類圖形的Delaunay三角剖分再分算法比歐氏空間的Delaunay Refinement Algorithm復雜。Delaunay Refinement Algorithm收斂條件由剖分的三角形最小角限定,本文算法收斂條件是由剖分三角形最短邊對應(yīng)的球面圓心角限定。這是因為球面三角形內(nèi)角和不是固定常數(shù),導致無法通過球面三角形最小角限定收斂條件。在具體算法實現(xiàn)過程中,球面凸類圖形Delaunay三角剖分再分算法比Delaunay Refinement Algorithm更復雜。Delaunay Refinement Algorithm可以由Matlab直接實現(xiàn)并且可視化,但是球面凸類圖形Delaunay三角剖分再分算法只能通過程序語言輸出邊和點的數(shù)據(jù),再由其他繪圖軟件可視化。

    本文算法的核心操作和平面的情況是相同的,具體的證明過程見參考文獻[9],所以本文算法的時間復雜度和平面情況相同,都是O(n2)。本文算法的程序?qū)崿F(xiàn)如圖6所示。

    圖6 程序?qū)崿F(xiàn)圖(最小圓心角為41.4°)Fig. 6 Program implementation diagram (minimum central angle is 41.4°)

    本文算法還可以適當提高最小圓心角的角度,可以在本文算法中插入一個限制球面三角形大小的語句,不妨以球面三角形外接測地圓半徑為限制。這種方法可以在球面上作近似均勻剖分,生成盡量同樣大小的三角形,并且可以加密剖分,滿足許多應(yīng)用的要求。

    4 結(jié)語

    近年來,有關(guān)Delaunay三角剖分研究重點仍然是在歐氏空間進行。對于非歐空間的Delaunay三角剖分研究得還不夠深入。在求解Ricci Flow方程時,Ricci Flow的收斂性是和剖分的三角形相關(guān)的,一旦出現(xiàn)某個角度過小的三角形,Ricci Flow就有可能出現(xiàn)不收斂情況。本文中的三角網(wǎng)格通過提高最短邊對應(yīng)的圓心角提高三角形最小角角度,有效解決不收斂的問題。本文算法中添加的是球面三角形外接測地圓的圓心,下一步可以研究添加“Off-center Steiner Vertices”,或許這種方法輸出的點更少,且可以突破本文收斂條件41.4°的限制,提高到更大的角度。

    References)

    [1] LEE D T, SCHACHTER B J. Two algorithms for constructing Delaunay triangulations [J]. International Journal of Computer and Information Sciences, 1980, 9(3): 219-242.

    [2] DWYER R A. A faster divide-and-conquer algorithm for constructing Delaunay triangulations [J]. Algorithmica, 1987, 2(1/2/3/4): 137-151.

    [3] 高莉.改進的Deluanay三角剖分算法研究[D].蘭州:蘭州交通大學,2015:30-33.(GAO L. An improved Deluanay triangulation algorithm [D]. Lanzhou: Lanzhou Jiaotong University, 2015: 30-33.)

    [4] CHEW L P. Constrained Delaunay triangulation [J]. Algorithmica, 1989, 4(1/2/3/4): 97-108.

    [5] LEE D T, LIN A K. Generalized Delaunay triangulation for planar graphs [J]. Discrete & Computational Geometry, 1986, 1(3): 201-217.

    [6] 張群會,解子毅.帶斷層約束的Delaunay三角剖分混合算法[J].西安科技大學學報,2014,34(1):52-56.(ZHANG Q H, XIE Z Y. Mixed algorithm of Delaunay triangular subdivision with fault constraint [J]. Journal of Xi’an University of Science and Technology, 2014, 34(1): 52-56.)

    [7] RUPPERT J. A Delaunay refinement algorithm for quality 2-dimensional mesh generation [J]. Journal of Algorithms, 1995, 18(3): 548-585.

    [8] SHEWCHUK J R. Delaunay refinement algorithms for triangular mesh generation [J]. Computational Geometry, 2002, 22(1/2/3): 21-74.

    [9] BARBIC J, MILLER G. A quadratic running time example for ruppert’s refinement algorithm [EB/OL]. [2017- 04- 16]. http://www-bcf.usc.edu/~jbarbic/BarbicMiller-RupperQuadraticExampleTechReport.pdf.

    [10] RAND A. Where and how Chew’s second Delaunay refinement algorithm works [C/OL]// Proceedings of the 2013 23rd Annual Canadian Conference on Computational Geometry, [2017- 04- 16]. http://www.w.cccg.ca/proceedings/2011/papers/paper91.pdf.

    [11] CAROLI M, DE CASTRO P M M, LORIOT S, et al. Robust and efficient Delaunay triangulations of points on or close to a sphere [C]// Proceedings of the 2010 9th International Conference on Experimental Algorithms. Berlin: Springer, 2010: 462-473.

    [12] ZENG W, SHI R, GU X F. Global surface remeshing using symmetric Delaunay triangulation in uniformization spaces [C]// Proceedings of the 2011 Eighth International Symposium on Voronoi Diagrams in Science and Engineering. Piscataway, NJ: IEEE, 2011: 160-169.

    [13] GU X F, GUO R, LUO F, et al. A discrete uniformization theorem for polyhedral surfaces II [EB/OL]. [2017- 04- 16]. http://math.oregonstate.edu/~guoren/docs/u10-10.pdf.

    [14] GU X F, GUO R, LUO F, et al. A discrete uniformization theorem for polyhedral surfaces I [EB/OL]. [2017- 04- 16]. https://arxiv.org/pdf/1401.4594.pdf.

    [15] PREPARATA F P, SHAMOS M I. Computational Geometry — an Introduction [M]. New York: Springer, 1985: 241-276.

    This work is partially supported by the Natural Science Foundation of Kunming University of Science and Technology (KKSY201507066).

    XIAJun, born in 1991, M. S. candidate. His research interests include computational geometry.

    LIYinghua, born in 1978, Ph. D., lecturer. His research interests include computational geometry.

    Delaunaytriangulationsubdivisionalgorithmofsphericalconvexgraphanditsconvergenceanalysis

    XIA Jun*, LI Yinghua

    (SchoolofScience,KunmingUniversityofScienceandTechnology,KunmingYunnan650500,China)

    When calculating curved Ricci Flow, non-convergence emerges due to the existence of undersized angles in triangular meshes. Concerning the problem of non-convergence, a Delaunay triangulation subdivision algorithm of spherical convex graph of enhancing the minimum angle was proposed. First of all, the Delaunay triangulation subdivision algorithm of spherical convex graph was given. The proposed algorithm had two key operations: 1) if a Delaunay minor arc was “encroached upon”, a midpoint of the Delaunay minor arc was added to segment the Delaunay minor arc; 2) if there was a “skinny” spherical triangle, it was disassembled by adding the center of minor circle of its circumscribed sphere. Then, the convergence criteria of the proposed algorithm was explored on local feature scale and an upper-bound formula of the output vertex was given. The grids based on the output of experiment show that the spherical triangle generated by the grids of the proposed algorithm has no narrow angle, so it is suitable for calculating Ricci Flow.

    sphere; Delaunay triangulation; minor arc; local feature scale; convergence

    2017- 06- 29;

    2017- 09- 04。

    昆明理工大學自然科學基金資助項目(KKSY201507066)。

    夏俊(1991—),男,安徽合肥人,碩士研究生,主要研究方向:計算幾何; 李映華(1978—),男,廣東梅州人,講師,博士,主要研究方向:計算幾何。

    1001- 9081(2017)12- 3558- 05

    10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.12.3558

    (*通信作者電子郵箱yinghuali@kmust.edu.cn)

    TP301.6

    A

    猜你喜歡
    小圓圓心角剖分
    誰的周長長
    我高估了別人對我的關(guān)注度
    利用問題鏈導向深度學習的設(shè)計與實施
    各種各樣的扇形
    基于重心剖分的間斷有限體積元方法
    二元樣條函數(shù)空間的維數(shù)研究進展
    “圓心角”度數(shù):弧長計算的關(guān)鍵點
    一種實時的三角剖分算法
    復雜地電模型的非結(jié)構(gòu)多重網(wǎng)格剖分算法
    不同圓心角對小半徑曲線橋受力性能影響的研究
    韩国高清视频一区二区三区| 亚洲精品国产av成人精品| 亚洲国产色片| 亚洲伊人色综图| 人妻 亚洲 视频| 亚洲精品美女久久av网站| 成人亚洲欧美一区二区av| 欧美精品一区二区免费开放| 国产精品亚洲av一区麻豆 | 国产亚洲最大av| 国产av国产精品国产| 亚洲欧美一区二区三区国产| 欧美97在线视频| 欧美人与善性xxx| 大话2 男鬼变身卡| 日本vs欧美在线观看视频| 综合色丁香网| 啦啦啦啦在线视频资源| 国产精品不卡视频一区二区| 视频在线观看一区二区三区| 国产精品人妻久久久影院| 一区二区三区四区激情视频| 国产精品国产三级国产专区5o| 精品人妻一区二区三区麻豆| 丝袜美腿诱惑在线| 一本色道久久久久久精品综合| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 亚洲精品第二区| 久久久国产欧美日韩av| 夫妻性生交免费视频一级片| 波多野结衣一区麻豆| 国产精品 欧美亚洲| 咕卡用的链子| 男女午夜视频在线观看| 亚洲经典国产精华液单| 26uuu在线亚洲综合色| 欧美少妇被猛烈插入视频| 婷婷色综合www| 久久久久久人人人人人| 国产在线免费精品| 69精品国产乱码久久久| 国产成人av激情在线播放| 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 久久久久久人人人人人| 男女无遮挡免费网站观看| 亚洲欧美成人精品一区二区| 久久久久久久大尺度免费视频| 亚洲欧美一区二区三区国产| 91精品国产国语对白视频| 国产综合精华液| av网站在线播放免费| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片| 国产97色在线日韩免费| 亚洲精品国产一区二区精华液| 久久久精品94久久精品| 欧美少妇被猛烈插入视频| 久久ye,这里只有精品| 丰满迷人的少妇在线观看| 有码 亚洲区| 亚洲精品国产色婷婷电影| 国产视频首页在线观看| 一区二区三区四区激情视频| 欧美人与性动交α欧美软件| 国产乱人偷精品视频| 十八禁网站网址无遮挡| 最黄视频免费看| 丰满迷人的少妇在线观看| 国产精品久久久久久精品电影小说| 自线自在国产av| 热99久久久久精品小说推荐| 久久人妻熟女aⅴ| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 亚洲av男天堂| 我的亚洲天堂| 男人爽女人下面视频在线观看| 亚洲精品一区蜜桃| 18+在线观看网站| 日韩一区二区视频免费看| 国产精品嫩草影院av在线观看| 色视频在线一区二区三区| 伦理电影免费视频| 啦啦啦在线观看免费高清www| 欧美日韩视频高清一区二区三区二| 我的亚洲天堂| 91精品国产国语对白视频| 久久久久人妻精品一区果冻| 日日爽夜夜爽网站| 男男h啪啪无遮挡| 黄色视频在线播放观看不卡| 国产一级毛片在线| 亚洲精品在线美女| 少妇人妻精品综合一区二区| 高清欧美精品videossex| 久久国内精品自在自线图片| 妹子高潮喷水视频| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 不卡视频在线观看欧美| 一本一本久久a久久精品综合妖精 国产伦在线观看视频一区 | 男人舔女人的私密视频| 天天影视国产精品| 午夜福利一区二区在线看| av在线老鸭窝| 亚洲成av片中文字幕在线观看 | 亚洲成人手机| 久久综合国产亚洲精品| 午夜激情av网站| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 国产一区有黄有色的免费视频| 赤兔流量卡办理| 伊人久久大香线蕉亚洲五| 少妇的丰满在线观看| 一级片'在线观看视频| av又黄又爽大尺度在线免费看| 国产一区亚洲一区在线观看| 久久午夜综合久久蜜桃| 久久青草综合色| 亚洲精品日本国产第一区| 三级国产精品片| 欧美成人精品欧美一级黄| 日韩欧美一区视频在线观看| 精品人妻熟女毛片av久久网站| 精品一品国产午夜福利视频| 国产av码专区亚洲av| 国产黄色免费在线视频| 最新的欧美精品一区二区| 性少妇av在线| 久久综合国产亚洲精品| 我的亚洲天堂| 综合色丁香网| 韩国高清视频一区二区三区| 亚洲美女搞黄在线观看| 高清在线视频一区二区三区| 国产在线免费精品| 精品福利永久在线观看| 91aial.com中文字幕在线观看| av天堂久久9| 色播在线永久视频| 国产成人aa在线观看| 国产日韩欧美视频二区| 久久久久久久亚洲中文字幕| 亚洲欧美成人精品一区二区| 亚洲经典国产精华液单| 亚洲人成电影观看| 色吧在线观看| 在线观看美女被高潮喷水网站| 在现免费观看毛片| 性色av一级| 亚洲精品在线美女| av免费观看日本| 精品一区在线观看国产| 久久午夜福利片| 韩国高清视频一区二区三区| 亚洲国产看品久久| 欧美日本中文国产一区发布| 一区二区三区精品91| 欧美精品国产亚洲| av在线播放精品| 少妇熟女欧美另类| h视频一区二区三区| 日韩一区二区视频免费看| 亚洲国产欧美在线一区| 国产一区二区三区av在线| a级毛片在线看网站| 五月伊人婷婷丁香| 丰满乱子伦码专区| 一本久久精品| 欧美日韩亚洲高清精品| 人妻 亚洲 视频| 制服丝袜香蕉在线| 精品国产乱码久久久久久小说| av网站在线播放免费| 午夜福利网站1000一区二区三区| 国产一区二区三区综合在线观看| 亚洲av电影在线进入| 国产黄色免费在线视频| 免费在线观看黄色视频的| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| av一本久久久久| 人妻人人澡人人爽人人| 国产精品久久久久久久久免| 日韩精品免费视频一区二区三区| 熟女电影av网| 国产精品无大码| 大片电影免费在线观看免费| 黄色毛片三级朝国网站| 国产精品免费视频内射| 久久精品国产鲁丝片午夜精品| 一本一本久久a久久精品综合妖精 国产伦在线观看视频一区 | 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线| 91aial.com中文字幕在线观看| 啦啦啦在线观看免费高清www| 午夜老司机福利剧场| 欧美成人精品欧美一级黄| 免费高清在线观看日韩| 精品一区在线观看国产| 国产爽快片一区二区三区| 在线天堂最新版资源| 国产精品欧美亚洲77777| 韩国高清视频一区二区三区| 熟女电影av网| 两个人看的免费小视频| 欧美av亚洲av综合av国产av | 成年女人毛片免费观看观看9 | 看非洲黑人一级黄片| 午夜日韩欧美国产| 国产又色又爽无遮挡免| 精品一区二区三区四区五区乱码 | 一本色道久久久久久精品综合| 国产黄色视频一区二区在线观看| 不卡视频在线观看欧美| 色哟哟·www| 青草久久国产| 在线 av 中文字幕| 性高湖久久久久久久久免费观看| 欧美另类一区| 十八禁高潮呻吟视频| 人成视频在线观看免费观看| 我的亚洲天堂| 久久久久久久亚洲中文字幕| 视频在线观看一区二区三区| 久久 成人 亚洲| 新久久久久国产一级毛片| 男女边摸边吃奶| 天美传媒精品一区二区| 久久久久久免费高清国产稀缺| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 成年女人毛片免费观看观看9 | 亚洲成国产人片在线观看| 亚洲欧美一区二区三区国产| 国产欧美亚洲国产| 日韩av免费高清视频| 亚洲成人一二三区av| 大陆偷拍与自拍| 久久这里只有精品19| 黑人猛操日本美女一级片| 免费大片黄手机在线观看| 成年动漫av网址| 日韩,欧美,国产一区二区三区| 成人毛片60女人毛片免费| 美女国产视频在线观看| 成人影院久久| av女优亚洲男人天堂| 在线观看人妻少妇| 国产在线免费精品| 男人操女人黄网站| 日韩成人av中文字幕在线观看| 国产精品久久久久久久久免| 欧美人与善性xxx| 国产黄频视频在线观看| 国产高清国产精品国产三级| 狂野欧美激情性bbbbbb| 久久久精品免费免费高清| 电影成人av| www.精华液| 亚洲国产精品成人久久小说| 亚洲少妇的诱惑av| 成人免费观看视频高清| 大片电影免费在线观看免费| 97在线人人人人妻| 哪个播放器可以免费观看大片| 五月天丁香电影| 亚洲在久久综合| 成人国语在线视频| 欧美亚洲日本最大视频资源| 母亲3免费完整高清在线观看 | 精品亚洲乱码少妇综合久久| 最新的欧美精品一区二区| 午夜老司机福利剧场| 国产伦理片在线播放av一区| 99香蕉大伊视频| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 一区在线观看完整版| 亚洲国产精品一区三区| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 色婷婷久久久亚洲欧美| 日韩中文字幕欧美一区二区 | 国产精品国产三级专区第一集| 精品午夜福利在线看| 咕卡用的链子| 精品亚洲成a人片在线观看| 国产精品一区二区在线观看99| 26uuu在线亚洲综合色| 精品少妇内射三级| 极品少妇高潮喷水抽搐| 精品国产乱码久久久久久男人| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 国产老妇伦熟女老妇高清| 两个人免费观看高清视频| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久 | 老司机影院毛片| 美女国产视频在线观看| 一级毛片我不卡| 亚洲三级黄色毛片| 美女高潮到喷水免费观看| 亚洲精品,欧美精品| av国产精品久久久久影院| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 久久99一区二区三区| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 亚洲欧美精品综合一区二区三区 | 天美传媒精品一区二区| 熟女av电影| 大码成人一级视频| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 最新中文字幕久久久久| 丝袜在线中文字幕| 街头女战士在线观看网站| 成年人午夜在线观看视频| 看十八女毛片水多多多| 亚洲精品久久午夜乱码| 亚洲久久久国产精品| 亚洲综合色网址| 日日啪夜夜爽| 中文字幕人妻熟女乱码| 亚洲成人一二三区av| 久久久亚洲精品成人影院| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 99re6热这里在线精品视频| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 伊人久久国产一区二区| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 婷婷色av中文字幕| 视频在线观看一区二区三区| 最近2019中文字幕mv第一页| 母亲3免费完整高清在线观看 | 亚洲国产日韩一区二区| 在线观看美女被高潮喷水网站| 午夜福利乱码中文字幕| av网站在线播放免费| videos熟女内射| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 国产乱来视频区| 欧美精品一区二区大全| av不卡在线播放| 久久久久久久久久人人人人人人| 久久青草综合色| 久久久欧美国产精品| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 亚洲国产成人一精品久久久| 亚洲美女黄色视频免费看| 亚洲av免费高清在线观看| av有码第一页| 一本久久精品| 日本黄色日本黄色录像| 久久综合国产亚洲精品| 99国产精品免费福利视频| 一级毛片电影观看| 18禁国产床啪视频网站| av一本久久久久| 国产免费又黄又爽又色| 七月丁香在线播放| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 叶爱在线成人免费视频播放| www.精华液| 国产精品蜜桃在线观看| 欧美最新免费一区二区三区| 2018国产大陆天天弄谢| 麻豆乱淫一区二区| 日本黄色日本黄色录像| 少妇的丰满在线观看| 一本久久精品| 国产av国产精品国产| av在线老鸭窝| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 精品国产国语对白av| 久久这里有精品视频免费| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 日韩一区二区三区影片| 国产成人精品久久久久久| 99久久综合免费| www.av在线官网国产| 国产一区二区 视频在线| 久久婷婷青草| 成人手机av| 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 赤兔流量卡办理| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 九色亚洲精品在线播放| 国产av码专区亚洲av| 午夜福利视频精品| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 国产成人精品婷婷| 极品少妇高潮喷水抽搐| 91国产中文字幕| 国精品久久久久久国模美| 人妻 亚洲 视频| 极品人妻少妇av视频| 久久精品久久久久久久性| 人成视频在线观看免费观看| 亚洲综合精品二区| 美女高潮到喷水免费观看| 丰满迷人的少妇在线观看| 国产免费又黄又爽又色| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 男人爽女人下面视频在线观看| videosex国产| 久久久久久久久免费视频了| 精品国产一区二区三区四区第35| 国产精品无大码| 亚洲国产色片| 伦理电影大哥的女人| av天堂久久9| 极品少妇高潮喷水抽搐| freevideosex欧美| 高清欧美精品videossex| 久久这里有精品视频免费| av免费观看日本| 一级a爱视频在线免费观看| 国产成人精品在线电影| 国产精品一区二区在线不卡| 伊人久久大香线蕉亚洲五| 国产黄色免费在线视频| a级毛片黄视频| 波野结衣二区三区在线| 免费观看性生交大片5| 久久狼人影院| 桃花免费在线播放| 在线亚洲精品国产二区图片欧美| 亚洲av中文av极速乱| 色播在线永久视频| 欧美老熟妇乱子伦牲交| av免费在线看不卡| 少妇 在线观看| 波野结衣二区三区在线| 中国国产av一级| h视频一区二区三区| 最近最新中文字幕免费大全7| 久久久久久久大尺度免费视频| 中文欧美无线码| 最近2019中文字幕mv第一页| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 丝袜美足系列| 精品人妻熟女毛片av久久网站| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 老女人水多毛片| 亚洲综合色惰| 久热久热在线精品观看| 大话2 男鬼变身卡| 亚洲欧美一区二区三区久久| 日韩欧美精品免费久久| 九色亚洲精品在线播放| 国产精品不卡视频一区二区| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 欧美精品av麻豆av| 纯流量卡能插随身wifi吗| 欧美精品一区二区大全| 校园人妻丝袜中文字幕| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 青草久久国产| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 国产精品久久久av美女十八| 91aial.com中文字幕在线观看| 一本大道久久a久久精品| 18禁国产床啪视频网站| 777米奇影视久久| 久久久久网色| 亚洲三级黄色毛片| 国产色婷婷99| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 久久 成人 亚洲| 欧美精品高潮呻吟av久久| 大话2 男鬼变身卡| 亚洲精品国产一区二区精华液| 一二三四在线观看免费中文在| kizo精华| 久久99蜜桃精品久久| 亚洲精品国产av成人精品| 日韩精品免费视频一区二区三区| 大香蕉久久成人网| 91在线精品国自产拍蜜月| 如何舔出高潮| 久久久国产精品麻豆| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 免费av中文字幕在线| 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 热99久久久久精品小说推荐| 国产男女内射视频| 免费日韩欧美在线观看| 午夜激情av网站| 一边摸一边做爽爽视频免费| 久久精品国产亚洲av天美| 成年美女黄网站色视频大全免费| 亚洲国产看品久久| 国产熟女欧美一区二区| 高清不卡的av网站| 日韩欧美一区视频在线观看| 成人国产av品久久久| 高清视频免费观看一区二区| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 免费少妇av软件| 精品久久蜜臀av无| 丝袜喷水一区| av又黄又爽大尺度在线免费看| 欧美在线黄色| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 欧美亚洲日本最大视频资源| av在线观看视频网站免费| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 亚洲精品国产av成人精品| 成人午夜精彩视频在线观看| 亚洲综合色网址| 极品少妇高潮喷水抽搐| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 色婷婷久久久亚洲欧美| h视频一区二区三区| 爱豆传媒免费全集在线观看| 女的被弄到高潮叫床怎么办| 五月伊人婷婷丁香| 国产老妇伦熟女老妇高清| 午夜免费男女啪啪视频观看| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 极品少妇高潮喷水抽搐| 亚洲综合色惰| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 一本色道久久久久久精品综合| 一级a爱视频在线免费观看| 国产有黄有色有爽视频| 国产人伦9x9x在线观看 | 久久亚洲国产成人精品v| 日本vs欧美在线观看视频| 日本91视频免费播放| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 最近2019中文字幕mv第一页| 免费高清在线观看日韩| 国产成人免费无遮挡视频| 国产淫语在线视频| 少妇的丰满在线观看| 如何舔出高潮| 大陆偷拍与自拍| 人妻人人澡人人爽人人| 久久久精品免费免费高清| 伦理电影免费视频| 国产野战对白在线观看| 欧美变态另类bdsm刘玥| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 高清不卡的av网站| 久久久久久久久久久免费av| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 国产精品 国内视频| av天堂久久9| 18禁动态无遮挡网站| 国产高清不卡午夜福利| 搡老乐熟女国产| 考比视频在线观看| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 国产一区二区 视频在线| 午夜免费男女啪啪视频观看| 亚洲欧洲国产日韩| 久久久久国产精品人妻一区二区| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 亚洲成人手机| 1024香蕉在线观看| 国产黄色免费在线视频| 我要看黄色一级片免费的| 欧美黄色片欧美黄色片| 少妇的丰满在线观看| 国产一区有黄有色的免费视频| 日本色播在线视频| 欧美日韩av久久| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 一本大道久久a久久精品| 欧美xxⅹ黑人| 午夜老司机福利剧场| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线| 爱豆传媒免费全集在线观看| 校园人妻丝袜中文字幕| 美女午夜性视频免费| 日韩中文字幕视频在线看片| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 99热国产这里只有精品6| 欧美亚洲日本最大视频资源| 免费观看在线日韩| av在线播放精品| 亚洲成人手机| 人妻 亚洲 视频| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 日韩电影二区| 亚洲综合色网址| 午夜免费男女啪啪视频观看| 七月丁香在线播放| 一区二区日韩欧美中文字幕| 免费播放大片免费观看视频在线观看| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 视频区图区小说| a级毛片黄视频| 久久99一区二区三区| 一二三四在线观看免费中文在| 亚洲人成77777在线视频| 亚洲精品av麻豆狂野| 精品国产乱码久久久久久男人| 日日摸夜夜添夜夜爱| 美女中出高潮动态图| 国产免费福利视频在线观看| 久久精品亚洲av国产电影网| 观看美女的网站| 国产探花极品一区二区| www.精华液| 黄片小视频在线播放| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 欧美国产精品va在线观看不卡| 精品国产乱码久久久久久男人| 国产成人av激情在线播放| 成年动漫av网址| 激情五月婷婷亚洲| 亚洲三级黄色毛片| 国产人伦9x9x在线观看 | 午夜免费鲁丝| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 一本久久精品|