基于貝塞爾濾波改進(jìn)的測地活動輪廓圖像分割模型

劉國奇，李晨靜

(河南師范大學(xué) 計算機(jī)與信息工程學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

基于貝塞爾濾波改進(jìn)的測地活動輪廓圖像分割模型

劉國奇，李晨靜*

(河南師范大學(xué) 計算機(jī)與信息工程學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

活動輪廓模型廣泛應(yīng)用于圖像分割和目標(biāo)輪廓提取，基于邊緣的測地活動輪廓(GAC)模型在提取邊緣明顯的物體時得到廣泛的應(yīng)用，但GAC演化過程中，迭代次數(shù)較多，耗時較長。針對這一問題，結(jié)合貝塞爾濾波理論，對GAC模型改進(jìn)。首先，利用貝塞爾濾波對圖像進(jìn)行平滑處理，降低噪聲；其次，基于貝塞爾濾波的邊緣檢測函數(shù)，構(gòu)建新的邊緣停止項，且并入到GAC模型中；最后，在構(gòu)造的模型中同時加入反應(yīng)擴(kuò)散(RD)項以避免水平集重新初始化。實驗結(jié)果表明，與多個基于邊緣的模型相比，所提模型在保證分割結(jié)果精確度的同時，提高了時間效率，更適用于實際應(yīng)用。

測地活動輪廓；貝塞爾濾波；邊緣檢測函數(shù)；邊緣停止項；重新初始化

0 引言

圖像分割是圖像處理過程中關(guān)鍵的一部分，目的是將目標(biāo)對象與背景分離，為下一步的識別、配準(zhǔn)等操作奠定基礎(chǔ)，所以一個好的分割起著至關(guān)重要的作用。活動輪廓模型是一種基于水平集和曲線演變理論的有效的分割方法，是目前應(yīng)用廣泛且具有挑戰(zhàn)性的研究?；顒虞喞Ｐ椭饕譃榛谶吘塠1-3]的和基于區(qū)域[4-6]的模型：前者依賴于目標(biāo)對象的邊緣信息[7]，對弱邊界目標(biāo)處理較為困難；而后者依賴于圖像區(qū)域的統(tǒng)計信息，對圖像灰度分布的均勻性[5-6]較為敏感。

測地活動輪廓(Geodesic Active Contour, GAC)模型[1]是一種經(jīng)典的基于邊緣的活動輪廓模型，具有實施簡單快速等特點(diǎn)，在圖像分割領(lǐng)域有著較好的分割結(jié)果。但同時也存在許多缺點(diǎn)，其主要問題包括能量函數(shù)依賴圖像邊緣信息，對于弱邊界圖像或邊界梯度無定義的圖像處理困難，邊緣停止函數(shù)的好壞直接影響最終的分割效果；水平集函數(shù)在迭代過程中容易產(chǎn)生震蕩，偏離符號距離函數(shù)特性，需要進(jìn)行定期重新初始化，導(dǎo)致演化過程中迭代次數(shù)較多、耗時較長等。當(dāng)前基于邊緣的活動輪廓模型主要的改進(jìn)方法是加入一些先驗信息[8]，或與基于區(qū)域的模型相結(jié)合[9-10]等。而對于水平集重新初始化問題，當(dāng)前較為廣泛的是距離正則化水平集演變(Distance Regularized Level Set Evolution, DRLSE)方法[11-12]。近年文獻(xiàn)[13]提出了一種無重新初始化模型——反應(yīng)擴(kuò)散(Reaction Diffusion, RD)模型，解決了DRLSE模型對弱邊界效果差、對噪聲敏感等問題。

本文提出了一種基于貝塞爾濾波的邊緣停止函數(shù)，充分利用貝塞爾邊緣檢測濾波的優(yōu)良性能來構(gòu)建新的邊緣停止函數(shù)，達(dá)到了較好的分割效果，同時采用文獻(xiàn)[13]提出反應(yīng)擴(kuò)散方程，對水平集函數(shù)進(jìn)行正則化處理，提出的模型不僅在時間上提高了效率，也達(dá)到了更好的分割效果。

1 研究背景

1.1 測地活動輪廓模型

活動輪廓模型的基本思想是構(gòu)建關(guān)于曲線的能量泛函，把圖像分割的過程轉(zhuǎn)化為能量泛函最小化的過程?；谶吘壍幕顒虞喞Ｐ湍艿玫礁饣倪吔缍粡V泛采用，其主要解決方案是：首先通過邊緣檢測函數(shù)檢測圖像的邊緣信息，通常這些信息是離散的，然后利用曲線演變理論，使輪廓線停止在圖像的邊緣，從而將稀疏的、不連續(xù)的邊緣信息轉(zhuǎn)化為一條閉合曲線。其能量泛函主要包含兩個部分:一是控制曲線運(yùn)動的力項，用來縮小或擴(kuò)大活動輪廓；另一個是基于邊緣的停止項，使曲線停止在所需的對象邊界。停止項通常設(shè)計為基于圖像梯度信息的邊緣檢測器，邊緣函數(shù)的好壞直接影響活動輪廓演變的最終結(jié)果。

測地活動輪廓模型是一種應(yīng)用廣泛的基于邊緣的活動輪廓模型，其能量泛函定義如下：

(1)

其中:C為閉合曲線，L(C)為C的弧長，LR(C)為加權(quán)弧長;▽I為圖像的梯度值;g(·)為邊緣檢測器。通常設(shè)置為：

g=1/(1+|▽Gσ*I|2)

(2)

其中：Gσ為高斯濾波，與圖像卷積使圖像光滑降低噪聲。在圖像灰度值均勻區(qū)域(即平坦區(qū)域)|▽I|≈0，于是g≈1；在圖像灰度值急劇變化的區(qū)域(即邊緣區(qū)域)|▽I|取得極大值，g取得極小值，同時能量函數(shù)達(dá)到最小值。于是求圖像邊緣輪廓的過程轉(zhuǎn)變?yōu)榍笤撃芰糠汉瘶O小值的過程，通過梯度下降方法可以得到最小化能量方程：

(3)

其中：κ為曲線C的曲率；N為法線。法線方向總指向曲線內(nèi)部。

在實際操作過程中，當(dāng)圖像中目標(biāo)對象存在有較深的凹陷區(qū)域時，能量函數(shù)會陷入局部最小值，而提前停止演變，不能到達(dá)真正的邊界。一種簡單的解決方案是加入一個受到邊緣停止函數(shù)控制的收縮力，力的方向總是指向輪廓線的內(nèi)部，于是GAC模型的方程為：

(4)

式中:c一般為常數(shù)，當(dāng)曲線的曲率κ<0時，在c的作用下曲線仍能夠繼續(xù)演變，達(dá)到真正的邊界。如果收縮力過大，曲線可能會穿過目標(biāo)邊界；力過小又可能提前停止演變而達(dá)不到目標(biāo)邊界：所以需要在具體操作中選擇合適的力度大小。

1.2 水平集方法

當(dāng)前基于水平集的活動輪廓模型應(yīng)用廣泛，由于其可以對演化中的曲線直接進(jìn)行數(shù)值計算而不必參數(shù)化，并且可以有效地處理拓?fù)渥兓?。在水平集演變過程中，由于數(shù)值穩(wěn)定性問題，需要進(jìn)行正則化處理。傳統(tǒng)解決辦法是需要定期地將水平集重新初始化為符號距離函數(shù)以保持曲線演變的穩(wěn)定，但這一過程時間復(fù)雜度較高。

當(dāng)前許多模型都提出了無重新初始化方法來避免這一過程。應(yīng)用最廣泛的是距離正則化[11-12]方法，其基本思想在能量函數(shù)中加入符號距離懲罰能量函數(shù)：

(5)

其中:φ為水平集函數(shù)，▽為梯度算子。通過梯度下降法最小化該能量函數(shù)可得熱擴(kuò)散方程：

(6)

其中r為擴(kuò)散率，且在文獻(xiàn)[11]中有：

r(φ)=1-1/|▽φ|

(7)

由于當(dāng)▽φ趨近于1時，r(φ)趨近于0，所以會導(dǎo)致水平集函數(shù)的震蕩，于是文獻(xiàn)[12]提出了改進(jìn)的的懲罰函數(shù)：

(8)

其對應(yīng)的擴(kuò)散率為：

(9)

將懲罰項嵌入到活動輪廓能量方程中，使水平集在迭代過程中能夠自動保持|▽φ|=1這一符號距離函數(shù)的特性，完全避免了重新初始化，提高了效率。但該方法仍存在一些缺點(diǎn)，如對弱邊界防漏能力有限、對噪聲敏感等。

近年來，Zhang等[13]提出了新的無重新初始化方法——反應(yīng)擴(kuò)散模型，其主要思想是在能量方程中加入了擴(kuò)散項來正則化水平集函數(shù)：

(10)

其中：等號右邊第一項為擴(kuò)散項，用于懲罰復(fù)雜的區(qū)域邊界使水平集保持平滑，ε>0且為較小的常量；Δ為拉普拉斯算子，避免分割過程中產(chǎn)生孤立的小區(qū)域；L(φ)為反應(yīng)項，控制曲線的演變。該方法對弱邊界圖像以及噪聲圖像均有良好的效果，但在實際運(yùn)用中，該方法的時間效率相對DRLSE方法較低。

2 提出的活動輪廓模型

2.1 貝塞爾濾波

貝塞爾濾波器是一種線性濾波器，與高斯濾波器相似，隨著濾波器階數(shù)的增加趨向于相同的形狀，與有限階近似的高斯濾波器相比，貝塞爾濾波比相同階數(shù)的高斯有更好的塑造因子、平坦的相位延遲和平坦的群延遲。文獻(xiàn)[14]提出了一種基于M-S函數(shù)的貝塞爾濾波：

(11)

其中:(x,y),(v,w)∈R2;μ為常數(shù);K0為第二類修正的貝塞爾函數(shù)。K0積分表達(dá)式為：

(12)

該貝塞爾邊緣檢測濾波具有尺度不變性，與其他濾波相比有更好的整體性能，實驗結(jié)果顯示其算法的數(shù)值實現(xiàn)具有較低的復(fù)雜度。于是文獻(xiàn)[15]在此基礎(chǔ)上提出了貝塞爾濾波的正則化和標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)為：

(13)

而截斷的貝塞爾濾波窗口函數(shù)為：

(14)

其中:r為自變量表示點(diǎn)到濾波中心的距離；d為窗口大?。沪?、μ為大于0的參數(shù)，分別控制水平和豎直方向上的濾波形狀。在本文應(yīng)用中統(tǒng)一設(shè)置ε=2、μ=1、d=15。

2.2 提出的水平集能量方程

為了應(yīng)對噪聲，傳統(tǒng)活動輪廓模型采用的圖像平滑方法一般為高斯濾波[16]卷積：

(15)

但高斯濾波在平滑圖像的同時，也會對邊界造成一定的模糊效果，與其他邊緣檢測濾波相比，貝塞爾濾波有更好的整體性能，且具有尺度不變性，因此本文采用式(14)提出的貝塞爾濾波窗口函數(shù)對圖像進(jìn)行平滑處理：

(16)

(17)

新的邊緣停止函數(shù)為：

(18)

于是構(gòu)建出新的能量函數(shù)為：

E(C)=∮Cg(C)ds+?inside(C)b(x,y)dxdy

(19)

其中:等號右邊第一項g(C)表示曲線C的梯度信息，對g(C)沿C的環(huán)路積分表示曲線自身能量，通過能量最小化可以控制曲線運(yùn)動；等號右邊第二項對邊緣停止函數(shù)在曲線內(nèi)部取積分，使得能量函數(shù)在邊緣處達(dá)到最小值，從而在能量最小化過程中實現(xiàn)曲線運(yùn)動停止到邊緣位置。采用水平集的方法，用隱式表示曲線：

(20)

可得能量函數(shù)的水平集表示法：

E(φ)=?Ωg|▽Hε(φ)|dxdy+

c?Ω[1-Hε(φ)]b(x,y)dxdy

(21)

其中，c為受到邊緣停止函數(shù)控制的收縮力，一般設(shè)置為常數(shù)，g為梯度算子。Hε(φ)為階躍函數(shù)，通常用其正則化表示形式：

Hε(φ)=[1+2arctan(φ/ε)/π]/2

(22)

其中ε>0，為較小的參數(shù)。對提出的能量函數(shù)式(21)應(yīng)用梯度下降法，得到最小化能量方程：

(23)

其中:div(·)表示散度，δ(φ)為狄拉克函數(shù)。δ(φ)正則化形式表示為：

(24)

對于水平集正則化處理方式，本文加入了式(10)中的擴(kuò)散項，得到的正則化水平集方程為：

(25)

其中:等號右邊第一項為反應(yīng)項，控制曲線的運(yùn)動與收斂；等號右邊第二項為擴(kuò)散項，用于保持水平集函數(shù)的穩(wěn)定性。λ1、λ2分別為大于零的權(quán)重系數(shù)，該方程結(jié)合了GAC模型與RD方程的優(yōu)點(diǎn)，同時加入了新提出的邊緣停止函數(shù)，在實驗中顯示了較好的效果。

3 實驗結(jié)果與分析

本文實驗是在Matlab R2014a軟件環(huán)境下完成的，電腦處理器為AMD Athlon II X4 3.10 GHz，內(nèi)存為4 GB，運(yùn)行的操作系統(tǒng)為Windows10專業(yè)版。通過多幅圖片從分割效果和分割效率上分別對比了GAC模型、RD模型與本文提出的模型。

3.1 邊緣停止函數(shù)對比

圖1為邊緣檢測函數(shù)針對不同圖像的效果對比，即式(2)與式(18)對比，高斯濾波參數(shù)為：σ=1.5，窗口大小為15;貝塞爾濾波參數(shù)為：ε=2，μ=1，窗口大小為15。圖1中，灰度不均勻的合成圖像，圖像像素大小為128×128；T形合成圖像，灰度分布不均勻，且在部分區(qū)域存在弱邊界，圖像像素大小為127×96；弱邊界的小汽車真實圖像，圖像像素大小為118×93；玩具真實圖像，圖像像素大小為160×120。

圖1 不同邊緣檢測函數(shù)效果對比Fig. 1 Effect comparison of different edge detection functions

由圖1可以直觀地看出，傳統(tǒng)的邊緣停止函數(shù)對于灰度不均勻圖像雖然有效地檢測出了對象邊緣，但在部分區(qū)域受背景干擾較為嚴(yán)重，邊界區(qū)分不明顯，如T形圖、玩具圖。而對于弱邊界圖像，由于圖像梯度不明顯，傳統(tǒng)的邊緣停止函數(shù)并不能很好地區(qū)分出目標(biāo)邊界，為下一步的分割操作帶來困難，如小汽車圖像。另外由于高斯濾波的平滑效果，邊緣區(qū)域較寬，信息有損失。而本文提出的方法可以很好地區(qū)分出邊界區(qū)域，尤其是針對弱邊界對象也有很好的效果，且背景干擾信息較少、區(qū)分度較高，從而可以從根本上提高分割結(jié)果的精確度。為了進(jìn)一步顯示提出的邊緣停止函數(shù)的效果，將提出的邊緣停止函數(shù)分別加入到不同的模型中進(jìn)行仿真對比，結(jié)果如圖2所示。

圖2為不同的活動輪廓模型應(yīng)用不同的邊緣停止函數(shù)后的分割過程及結(jié)果的對比，對比圖像為合成的噪聲圖像，且邊界較為模糊，圖像像素大小84×84。參數(shù)設(shè)置為：λ1=0.1，λ2=0.001，收縮力c=0.5，由于DRLSE模型容易穿過弱邊界，需要設(shè)置較小的收縮力c=0.2，其他對比參數(shù)均采用文獻(xiàn)[13]默認(rèn)設(shè)置，且同一模型均采用相同的參數(shù)。每幅圖片中最外層曲線為初始曲線，最內(nèi)側(cè)為最終分割曲線，中間為曲線演變過程。

圖2 不同模型應(yīng)用不同邊緣停止函數(shù)分割結(jié)果對比Fig. 2 Segmentation results comparison of different models with different edge stop functions

由圖2中輪廓線迭代次數(shù)(每迭代200次顯示一條閉合曲線)可以看出，在相同的參數(shù)下，本文所提方法作用于不同的模型后，輪廓線均能夠更快地到達(dá)目標(biāo)邊界，有效地減少了迭代次數(shù)，提高了分割的時間效率。其中原始GAC模型由于自身局限，曲線提前收斂，未能正確地進(jìn)行分割，改進(jìn)后可以更好地擬合目標(biāo)邊界。原始的DRLSE模型對于弱邊界敏感，其輪廓線在部分區(qū)域穿過了目標(biāo)邊界，而在部分區(qū)域未能正確地收斂，改進(jìn)后在弱邊界和凹陷區(qū)域均能夠正確收斂。原始RD模型具有相對較好的分割效果，但在仿真實驗中其速度較慢，改進(jìn)后迭代次數(shù)明顯減少，提高了時間效率。

3.2 提出的模型對比

為了驗證本文提出模型的效果，實驗采用圖1(a)中的圖像將本文模型與多種不同的模型進(jìn)行仿真分割對比，結(jié)果如圖3～4所示。

圖3 各模型對合成圖像分割結(jié)果對比Fig. 3 Comparison of segmentation results of synthetic images by different models

圖4 各模型對真實圖像分割結(jié)果對比Fig. 4 Comparison of segmentation results of real images by different models

圖3為合成圖像仿真對比，灰度不均勻圖像部分區(qū)域存在梯度不明顯，參數(shù)設(shè)置為：λ1=1，λ2=0.01，c=0.05；T形圖像為弱邊界圖像，邊界較為模糊，目標(biāo)前景背景分界不明顯，參數(shù)設(shè)置為：λ1=0.1，λ2=0.001，c=0.2。圖3(a)為統(tǒng)一設(shè)置的初始輪廓，圖3(b)～(e)為不同模型的分割結(jié)果，依次為GAC模型、DRLSE模型、RD模型與本文提出的模型。從圖3中可以看出，在相同條件下：對于灰度不均勻圖像中間梯度不明顯的區(qū)域，對比的模型均存在邊界泄漏情況，而本文模型取得了較好的效果；對于T形圖像，GAC模型未能正確分割，DRLSE模型分割結(jié)果穿過了T形低部弱邊界區(qū)域，RD模型與本文模型取得了較好的分割效果。而從表1數(shù)據(jù)可以看出，本文模型對于兩幅圖像均能夠快速收斂到目標(biāo)位置，減少了迭代次數(shù)，具有較高的時間效率。

圖4為真實圖像分割對比，由圖4中可以看出:GAC模型對于兩幅圖像的分割結(jié)果均存在偏差，輪廓線沒有收斂到正確的位置;DRLSE模型對于弱邊界區(qū)域的效果不好，如小汽車尾部等區(qū)域邊界梯度不明顯，輪廓線穿過了該區(qū)域;RD模型對弱邊界圖像取得了較好的分割效果，但在玩具圖像中不夠精確，一些凹陷區(qū)域沒有收斂到位;本文提出的模型與其他模型相比，取得了更好的分割結(jié)果，在保證分割精確度的同時，輪廓線更快地到達(dá)了真正的目標(biāo)邊界，取得了較高的時間效率。

表1 合成圖像分割數(shù)據(jù)對比Tab.1 Comparison of segmentation data for synthetic images

3.3 量化分析

為了更精確地對提出的模型進(jìn)行度量，本文選擇了Weizmann分割評估數(shù)據(jù)庫進(jìn)行量化分析，從中選取了幾幅代表性的圖片進(jìn)行了對比,結(jié)果如圖5所示，同時采用了F-Score算法作為評價標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行客觀分析，該算法公式表示如下：

(26)

其中：TP為正確的目標(biāo)前景分割樣本；FP為將目標(biāo)背景誤分割為前景的樣本；FN為將目標(biāo)前景誤分割為背景的樣本；P為精確率，表示正確的分割前景與總分割前景的比重，其值與

是否過分割相關(guān)聯(lián)；R為召回率，表示正確的分割前景與標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)前景樣本的比重，其值與是否漏分割相關(guān)聯(lián)；F為準(zhǔn)確率，是對分割結(jié)果是否準(zhǔn)確的整體評價指標(biāo)。

圖5為DRLSE模型、RD模型、本文提出的模型與標(biāo)準(zhǔn)分割數(shù)據(jù)集的對比。從圖5中可以看出，本文提出的模型與另外兩個模型相比，更接近標(biāo)準(zhǔn)的分割結(jié)果，出現(xiàn)錯誤分割或漏分割的情況較少。表2為不同模型分割結(jié)果的準(zhǔn)確率的對比，從數(shù)據(jù)中可以看出，本文模型的精確率P與召回率R均達(dá)到了90%以上，沒有出現(xiàn)較大的漏分割或過分割，而整體的準(zhǔn)確率F均達(dá)到了95%以上，與另外兩個模型相比有更好的分割效果。

圖5 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集圖像分割結(jié)果對比Fig. 5 Comparison of image segmentation results of standard dataset表2 不同模型的分割效果對比

%Tab. 2 Comparison of segmentation effects of different models %

本文模型仍存在一些缺陷，如由于所基于的GAC模型的非凸性，水平集函數(shù)對初始化較為敏感，不同的輪廓初始位置會影響到最終的分割結(jié)果。如圖5中一些圖像的分割，需要將初始位置設(shè)置在目標(biāo)前景區(qū)域，并適當(dāng)調(diào)整相應(yīng)的參數(shù)才能達(dá)到最佳的分割效果，需要進(jìn)一步的改進(jìn)。

4 結(jié)語

本文在GAC模型與RD模型的基礎(chǔ)上，首先利用貝塞爾濾波對圖像進(jìn)行平滑處理，然后利用貝塞爾邊緣檢測函數(shù)構(gòu)建邊緣停止項，同時結(jié)合反應(yīng)擴(kuò)散方程提出一種新的測地活動輪廓模型。該模型不僅利用了貝塞爾濾波在邊緣檢測上快速精確的優(yōu)勢，同時也高效融合了反應(yīng)擴(kuò)散方程的特點(diǎn)，避免水平集重新初始化過程，從分割效果和時間復(fù)雜度上都得到了優(yōu)化。今后的主要工作是將新的邊緣停止函數(shù)與更多活動輪廓模型結(jié)合，以適用于更多不同的圖片分割。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (U1404603), the Key Projects of Science and Technology Research of Education Department of Henan Province (13A520522).

LIUGuoqi, born in 1984, Ph. D., associate professor. His research interests include computer vision, image segmentation.

LIChenjing, born in 1990, M. S. candidate. His research interests include computer vision, image processing.

ImprovedgeodesicactivecontourimagesegmentationmodelbasedonBesselfilter

LIU Guoqi，LI Chenjing*

(CollegeofComputerandInformationEngineering,HenanNormalUniversity,XinxiangHenan453007,China)

Active contour model is widely used in image segmentation and object contour extraction, and the edge-based Geodesic Active Contour (GAC) model is widely used in the object extraction with obvious edges. But the process of GAC evolution costs many iterations and long time. In order to solve the problems, the GAC model was improved with Bessel filter theory. Firstly, the image was smoothed by Bessel filter to reduce the noise. Secondly, a new edge stop term was constructed based on the edge detection function of Bessel filter and incorporated into the GAC model. Finally, the Reaction Diffussion (RD) term was added to the constructed model for avoiding re-initialization of the level set. The experimental results show that, compared with several edge-based models, the proposed model improves the time efficiency and ensures the accuracy of segmentation results. The proposed model is more suitable for practical applications.

geodesic active contour; Bessel filtering; edge detection function; edge stop term; re-initialization

2017- 05- 27;

2017- 09- 07。

國家自然科學(xué)基金資助項目(U1404603)；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)重點(diǎn)研究項目(13A520522)。

劉國奇(1984—)，男，河南新鄉(xiāng)人，副教授，博士，主要研究方向：計算機(jī)視覺、圖像分割； 李晨靜(1990—)，男，河南新鄉(xiāng)人，碩士研究生，主要研究方向：計算機(jī)視覺、圖像處理。

1001- 9081(2017)12- 3536- 05

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.12.3536

(*通信作者電子郵箱15249714369@163.com)

TP391.4

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