Pairwise 馬爾科夫模型下的勢均衡多目標多伯努利濾波器

張光華 韓崇昭 連峰 曾令豪

Pairwise 馬爾科夫模型下的勢均衡多目標多伯努利濾波器

張光華1韓崇昭1連峰1曾令豪1

由于在實際應用中目標模型不一定滿足隱馬爾科夫模型(Hidden Markov model,HMM)隱含的馬爾科夫假設和獨立性假設條件,一種更為一般化的Pairwise馬爾科夫模型(Pairwise Markov model,PMM)被提出.它放寬了HMM的結構性限制,可以有效地處理更為復雜的目標跟蹤場景.本文針對雜波環(huán)境下的多目標跟蹤問題,提出一種在PMM 框架下的勢均衡多目標多伯努利(Cardinality balanced multi-target multi-Bernoulli,CBMeMBer)濾波器,并給出它在線性高斯PMM條件下的高斯混合(Gaussian mixture,GM)實現.最后,采用一種滿足HMM局部物理特性的線性高斯PMM,將本文所提算法與概率假設密度(Probability hypothesis density,PHD)濾波器進行比較.實驗結果表明本文所提算法的跟蹤性能優(yōu)于PHD濾波器.

隱馬爾科夫模型,Pairwise馬爾科夫模型,多目標跟蹤,隨機有限集,多伯努利密度,高斯混合

近年來,基于隨機有限集的多目標跟蹤算法[1?2]引起了學者們的廣泛關注.它從集值估計的角度來解決多目標跟蹤問題,避免了傳統(tǒng)多目標跟蹤算法中復雜的數據關聯過程.眾所周知,數據關聯一直是多目標跟蹤問題的一個難點,尤其是在目標個數較多且存在雜波的情況下,關聯過程將變得非常復雜.基于隨機有限集的多目標跟蹤算法利用隨機有限集對多目標的狀態(tài)和觀測建模,在貝葉斯濾波框架下通過遞推后驗多目標密度來解決多目標跟蹤問題.該類算法主要包括概率假設密度(Probability hypothesis density,PHD)濾波器[3?5]、勢概率假設密度(Cardinality PHD,CPHD)濾波器[6?7]和勢均衡多目標多伯努利(Cardinality balanced multi-target multi-Bernoulli,CBMeMBer)濾波器[8].不同于PHD和CPHD濾波器遞推多目標密度的強度和勢分布估計,CBMeMBer濾波器直接近似遞推后驗多目標密度,使得多目標跟蹤問題的求解顯得更為直觀.隨后,學者們對CBMeMBer濾波器進行了深入地研究,并取得了一些研究成果[9?13].

基于隨機有限集的多目標跟蹤算法主要包括高斯混合(Gaussian mixture,GM)和序貫蒙特卡洛(Sequential Monte Carlo,SMC)兩種實現方法.這兩種實現方法的前提條件是目標的狀態(tài)和觀測模型為隱馬爾科夫模型(Hidden Markov model,HMM),即目標的狀態(tài)演化過程是一個馬爾科夫過程,而k時刻目標的量測只與當前時刻目標的狀態(tài)有關.但在實際應用中,目標模型不一定滿足HMM隱含的馬爾科夫假設和獨立性假設條件.例如過程噪聲與量測噪聲相關或量測噪聲為有色噪聲的情況[14].文獻[15?18]等提出一種比HMM 更為一般化的Pairwise馬爾科夫模型(Pairwise Markov model,PMM),它將目標的狀態(tài)和量測整體看作一個馬爾科夫過程.與HMM 的區(qū)別在于:1)目標的狀態(tài)不一定為馬爾科夫過程;2)目標的量測不僅與當前時刻的狀態(tài)有關,而且與該目標上一時刻的量測也有關系[15].因此,在解決一些實際問題時采用PMM比采用HMM的效果更好.例如在分割問題中,采用PMM代替HMM可以有效地降低誤差

率[19].

本文的研究目的是在PMM 框架下利用隨機有限集解決雜波環(huán)境下的多目標跟蹤問題.文獻[20?21]已經給出了在PMM 框架下的PHD濾波器及其GM實現.但是當目標數較多時,該濾波器對目標個數的估計會出現欠估計的情況,且估計精度和效率較差.本文給出了PMM框架下CBMeMBer濾波器的遞推過程,并給出它在線性高斯PMM條件下的GM 實現.最后,采用文獻[21]提出的一種滿足HMM 局部物理特性的線性高斯PMM,將本文所提算法與GM-PMM-PHD濾波器進行比較.實驗結果表明,本文所提算法對目標數的估計是無偏的,不存在GM-PMM-PHD濾波器在目標數較多時出現欠估計的情況,并且本文所提算法的估計精度和效率也優(yōu)于GM-PMM-PHD濾波器.

1 HMM和PMM

1.1 HMM

在信號處理過程中,一個重要問題是根據可觀測的量測y={yk}k∈IN估計不可觀測的狀態(tài)x={xk}k∈IN,IN 表示整數.在HMM 中,假設x為馬爾科夫過程,且k時刻的量測yk只與當前時刻的狀態(tài)xk有關,即[15]

p(·)表示概率密度函數.狀態(tài)xk的后驗概率密度p(xk|y0:k)可由Bayes遞推算法得到[22]:

在實際應用中,由于Bayes公式中存在積分運算,通常不能得到它的解析解.為了使Bayes公式能夠遞推運算,考慮如下線性HMM

Fk和Hk分別表示狀態(tài)轉移矩陣和觀測矩陣.uk和vk分別表示零均值的過程噪聲和量測噪聲,與初始狀態(tài)x0相互獨立.若vk、uk和x0均為高斯變量,則狀態(tài)xk的后驗概率密度p(xk|y0:k)為高斯分布,可以用它的均值和協方差描述.此時,p(xk|y0:k)的Bayes遞推過程退化為經典的卡爾曼濾波器[23].

1.2 PMM

在過程噪聲與量測噪聲相關或量測噪聲為有色噪聲的情況下,目標模型不滿足HMM隱含的馬爾科夫假設和獨立性假設條件.此時,再利用HMM建模是不合適的.文獻[15]提出一種比HMM更為一般化的PMM,它將狀態(tài)和量測整體ε=(x,y)看作馬爾科夫過程,即

可以有效地處理上述復雜的目標跟蹤場景.

在PMM 中,x不一定為馬爾科夫過程,且yk不僅與當前時刻的狀態(tài)xk有關,同時與xk?1和yk?1也有關系.當p(xk,yk|xk?1,yk?1) 滿足

時,PMM就退化為HMM,即HMM是PMM的一種特殊情況.在PMM框架下,狀態(tài)xk的后驗概率密度p(xk|y0:k)的Bayes公式為[15]

與HMM 框架下的Bayes遞推算法的不同之處在于它采用p(xk|xk?1,yk?1)和p(yk|xk,xk?1,yk?1)分別代替p(xk|xk?1)和p(yk|xk).同樣,上式沒有解析解.

在線性高斯條件下,PMM模型可以描述為

其中,{wk}k∈IN表示零均值的高斯白噪聲,它的協方差為

{wk}k∈IN與初始狀態(tài)ε0相互獨立.ε0服從正態(tài)分布N(·;m0,P0),m0和P0分別表示它的均值和協方差.文獻[15]給出了在PMM框架下的卡爾曼濾波器.

2 PMM-CBMeMBer濾波器及其GM實現

文獻[8]已經給出在HMM框架下CBMeMBer濾波器的遞推過程,這里不再贅述.下面將直接給出在PMM框架下CBMeMBer濾波器的遞推過程,以及它在線性高斯PMM條件下的GM實現.

2.1 PMM-CBMeMBer濾波器

k時刻監(jiān)控區(qū)域內Mk個目標的狀態(tài)集合記為其中和yk分別表示目標的動力學狀態(tài)和量測. 在PMM 框架下,ε是一個馬爾科夫過程,它的狀態(tài)轉移概率密度p(εk|εk?1)包含目標的動力學演化模型p(xk|xk?1,yk?1)和傳感器的量測模型p(yk|xk,xk?1,yk?1).根據目標的物理特性,假設目標的存活概率僅與目標的動力學狀態(tài)有關,記為ps,k(xk).

k時刻傳感器的量測集合記為Nk表示量測的個數.Zk由源于目標的量測和雜波量測構成,兩者不可區(qū)分.根據傳感器的物理特性,假設傳感器的檢測概率僅與目標的動力學狀態(tài)有關,記為pd,k(xk).

在滿足如下假設條件下:

1)ε為馬爾科夫過程,目標之間相互獨立;

2)新生目標為多伯努利隨機有限集,與存活目標相互獨立;

3)雜波量測與目標產生的量測相互獨立,雜波數服從泊松分布.

PMM-CBMeMBer濾波器的遞推過程如下:

步驟1.預測步

假設k?1時刻后驗多目標密度為多伯努利形式:表示k?1時刻第i個目標的存在概率,表示 εi的概率密度,Mk?1表示k?1時刻可能出現的最大目標數.則預測多目標密度也為多伯努利形式:

前一項表示存活目標的密度,后一項表示k時刻新生目標的密度.〈·,·〉表示內積運算,如〈α,β〉=Rα(x)β(x)dx.

步驟2.更新步

假設k時刻預測多目標密度為多伯努利形式

則后驗多目標密度可由如下多伯努利形式近似

前一項表示漏檢部分的多目標密度,后一項表示量測更新部分的多目標密度.

κk(·)表示k時刻雜波的強度,gk(z|x)表示目標x的似然函數.

在上述遞推過程中,若狀態(tài)轉移函數pk|k?1滿足式(9),并且新生目標模型滿足:

2.2 PMM-CBMeMBer濾波器的GM實現

下面給出PMM-CBMeMBer濾波器在線性高斯條件下的GM實現.

在新生目標模型中,若p(i)Γ,k為GM 形式:

步驟1.預測步

假設k?1時刻后驗多目標密度

δz(i)(y)為 Dirac delta 函數[2],z(i)∈Zk?1,y 表示狀態(tài)為x對應的量測.若z(i)=y,說明z(i)是由x產生的量測;否則,z(i)不是由x產生的量測.則預測多目標密度

可由如下公式得到:

其中

新生目標模型已知,p(i)Γ,k見式(24).

步驟2.更新步

在式(28)中,由于組成預測多目標密度的三個部分形式相同,令它們可以重寫為

則更新多目標密度

可由如下公式得到:

其中

在更新步中,漏檢部分的狀態(tài)包括動力學狀態(tài)和相應的量測,協方差也是動力學狀態(tài)和量測整體的協方差;量測更新部分給出了動力學狀態(tài)的求解,式(46)中的z表示該動力學狀態(tài)對應的量測,式(47)為目標動力學狀態(tài)的協方差,不包括量測以及量測與動力學狀態(tài)的協方差.即算法中漏檢部分和量測更新部分對應的多目標密度的表示形式不同,故在k?1時刻將多目標密度假設為相應的兩部分.

根據GM-HMM-PHD濾波器得到的后驗多目標強度的高斯項個數[5],不難得到在不考慮衍生目標的情況下GM-HMM-CBMeMBer濾波器的后驗多目標密度的高斯項個數為GM-PMMCBMeMBer濾波器的后驗多目標密度的高斯項個數為(1+|Zk|).在相同場景下,GM-PMM-CBMeMBer濾波器和GM-HMM-CBMeMBer濾波器的計算復雜度為同一數量級.但由于GM-PMM-CBMeMBer濾波器狀態(tài)維數的增加,計算量會相應增大.

由于新生目標的出現和更新步中假設軌跡的平均化,航跡個數和每條航跡對應的高斯項會逐漸增加,需要采用剪切和合并技術[5]進行處理:1)剪切.一是航跡的剪切,去掉存在概率小于閾值為Tr的航跡;二是航跡對應的高斯項的剪切,去掉權值小于閾值為Tω的高斯項.2)合并.在每條航跡中,將距離小于閾值為U的高斯項進行合并.由于在后驗多目標密度中漏檢部分和量測更新部分對應的高斯項的形式不同,在合并過程中需要加以區(qū)分.同時,設定航跡數的最大值為Mmax,每條航跡對應的高斯項個數的最大值為Jmax.最后,對目標的狀態(tài)進行提取.若航跡的存在概率大于給定閾值(如0.5),則認為它是一個目標,選擇它對應的權值最大的高斯項作為目標的狀態(tài).

3 仿真

3.1 一種滿足HMM局部物理特性的PMM

文獻[21]總結了過程噪聲與量測噪聲相關和量測噪聲為有色噪聲對應的PMM,并提出一種滿足HMM局部物理特性的PMM.為了與HMM框架下的CBMeMBer濾波器的性能進行比較,本文采用上述滿足HMM局部物理特性的PMM進行仿真實驗.并將本文所提算法的跟蹤性能與PHD濾波器[21]進行比較.下面首先給出該PMM的描述.

假設線性高斯HMM為

則滿足 p(xk|xk?1)=fk|k?1(xk|xk?1),p(yk|xk)=gk(yk|xk),且 pk|k?1=(xk,yk|xk?1,yk?1) 不依賴于參數(m0,P0)的線性高斯PMM為

其中

在滿足Σk為正定矩陣的情況下,F2k和H2k可以任意選取.

3.2 仿真分析

為了與PHD濾波器的跟蹤性能進行比較,依據文獻[21]對上述PMM的參數進行設置.

令t=1,a=b=0.7,c=d=0.1.仿真硬件環(huán)境為Matlab R2013b,Windows 10 64bit,Intel Core i5-4570 CPU 3.20GHz,RAM 4.00GB.

監(jiān)控區(qū)域內有12個目標:目標1、2和3在k=1時出現,4、5和6在k=20時出現,7和8在k=40時出現,9和10在k=60時出現,11和12在k=80時出現,而目標1和2在k=70時消失,其他目標不消失.目標的狀態(tài)為xk=[xk,˙xk,yk,˙yk]T,xk和yk表示二維笛卡爾坐標系下目標的位置,˙xk和˙yk分別表示對應方向的速度.在監(jiān)控區(qū)域V=[?2000,2000]m×[?2000,2000]m 中,各采樣時刻的雜波個數服從均值為20的泊松分布,雜波量測在監(jiān)控區(qū)域內均勻分布.圖1是基于上述線性高斯PMM的目標運動軌跡,紅色三角形表示目標的初始位置.

圖1 目標運動的真實軌跡Fig.1 Actual target trajectories

圖2給出了GM-PMM-CBMeMBer濾波器單次仿真的結果,兩個子圖分別對應不同時刻X 軸和Y軸的狀態(tài)估計.整體來看,所提算法可以比較準確地估計目標的狀態(tài).在某些時刻會出現虛假目標或目標跟蹤丟失的情況,但隨著時間推移,算法自身可以很快地進行修正.

圖2 本文所提算法的估計結果Fig.2 Estimation results of the proposed algorithm

本文采用OSPA(Optimal subpattern assignment)距離[24]評估算法的跟蹤性能.設多目標真實狀態(tài)的集合為X={x1,···,xm},估計狀態(tài)的集合為若m≤n,則OSPA距離為

本例做了500次蒙特卡洛(Monte carlo,MC)仿真實驗,分析結果如下:

1)圖3為不同算法對目標數估計的均值和標準差.可以看出,在PMM或HMM框架下,CBMeMBer濾波器對目標數的估計是無偏的,PHD濾波器隨著目標數的增加,會出現欠估計的情況.說明本文所提算法對目標數的估計優(yōu)于PHD濾波器[21].相比不同框架下的CBMeMBer濾波器和PHD濾波器,它們對目標數估計的統(tǒng)計特性非常接近.

2)圖4為不同算法對應的OSPA距離.可以看出,CBMeMBer濾波器在PMM和HMM框架下的OSPA距離評價指標均優(yōu)于PHD濾波器.CBMeMBer濾波器和PHD濾波器在PMM框架下的OSPA距離評價指標優(yōu)于HMM框架下相應的OSPA距離評價指標.

3)表1為不同雜波環(huán)境下4種算法的性能比較.不同雜波環(huán)境下,CBMeMBer濾波器和PHD濾波器在PMM框架下的OSPA距離評價指標優(yōu)于HMM框架下的OSPA距離評價指標,但單步運行時間的均值會變大.由于GM-CBMeMBer濾波器是將每個目標的密度分別用GM表示,而GM-PHD濾波器是將多目標密度的強度整體用GM表示.因此,它們的高斯項個數不同,比較運行時間也就沒有意義.但從表1可以看出,相比GM-PMM-PHD濾波器,GM-PMM-CBMeMBer濾波器以更小的時間代價可以得到更優(yōu)的OSPA距離評價指標.

表1 不同雜波環(huán)境下的性能比較Table 1 Tracking performance verses clutter′s number

圖3 勢估計Fig.3 Cardinality estimation

圖4OSPA距離Fig.4 OSPA distances

4 結論

本文提出一種在PMM框架下的CBMeMBer濾波器,并給出了它在線性高斯PMM 條件下的GM 實現.該算法放寬了HMM 隱含的馬爾科夫假設和獨立性假設限制.在仿真實驗中,采用一種滿足HMM 局部物理特性的PMM,將本文所提算法與文獻[21]所提的GM-PMM-PHD濾波器進行比較,仿真結果表明本文所提算法的跟蹤性能優(yōu)于GM-PMM-PHD濾波器.本文考慮的是PMM在線性高斯條件下的多目標跟蹤問題,而非線性條件下的多目標跟蹤問題有待進一步研究.

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Cardinality Balanced Multi-target Multi-Bernoulli Filter for Pairwise Markov Model

ZHANG Guang-Hua1HAN Chong-Zhao1LIAN Feng1ZENG Ling-Hao1

Because the Markovian and independence assumptions,which are implicitly implied in hidden Markov model(HMM),may not be satis fi ed by the target model in some practical applications,a more general pairwise Markov model(PMM)has been proposed.PMM relaxes the structural limitations of HMM and can eあectively deal with more complex target tracking scenarios.In this paper,a cardinality balanced multi-target multi-Bernoulli(CBMeMBer) fi lter in the framework of PMM is proposed for multi-target tracking in clutter environment,and a closed-form solution to the CBMeMBer fi lter under linear Gaussian PMM is presented.Finally,the proposed algorithm is compared with the probability hypothesis density(PHD) fi lter via simulations using a particular linear Gaussian PMM,which keeps the local physical properties of HMM.Simulation results show that the tracking performance of the proposed algorithm is better than that of the PHD fi lter.

Hidden Markov model(HMM),pairwise Markov model(PMM),multi-target tracking,random fi nite set,multi-Bernoulli density,Gaussian mixture(GM)

Zhang Guang-Hua,Han Chong-Zhao,Lian Feng,Zeng Ling-Hao.Cardinality balanced multi-target multi-Bernoulli fi lter for pairwise Markov model.Acta Automatica Sinica,2017,43(12):2100?2108

2016-05-26 錄用日期2016-10-09

May 26,2016;accepted October 9,2016國家重點基礎研究發(fā)展計劃(973計劃)(2013CB329405),國家自然科學基金創(chuàng)新研究群體(61221063),國家自然科學基金(61573271,61473217,61370037)資助

Supported by National Basic Research Program of China(973 Program)(2013CB329405),Foundation for Innovative Research Groups of the National Natural Science Foundation of China(61221063),and National Natural Science Foundation of China(61573271,61473217,61370037)

本文責任編委高會軍

Recommended by Associate Editor GAO Hui-Jun

1.西安交通大學智能網絡與網絡安全教育部重點實驗室西安710049 1.Ministry of Education Key Laboratory for Intelligent Networks and Network Security,Xi′an Jiaotong University,Xi′an 710049

張光華,韓崇昭,連峰,曾令豪.Pairwise馬爾科夫模型下的勢均衡多目標多伯努利濾波器.自動化學報,2017,43(12):2100?2108

DOI10.16383/j.aas.2017.c160430

張光華 西安交通大學電子與信息工程學院綜合自動化研究所博士研究生.主要研究方向為目標跟蹤.

E-mail:MichaelZgh@stu.xjtu.edu.cn

(ZHANG Guang-Hua Ph.D.candidate at the Institute of Integrated Automation,School of Electronic and Information Engineering,Xi′an Jiaotong University.His main research interest is target tracking.)

韓崇昭 西安交通大學電子與信息工程學院教授.主要研究方向為多源信息融合,隨機控制與自適應控制,非線性頻譜分析.E-mail:czhan@xjtu.edu.cn

(HAN Chong-Zhao Professor at the School of Electronic and Information Engineering,Xi′an Jiaotong University. His research interest covers multi-source information fusion,stochastic control and adaptive control,and nonlinear spectral analysis.)

連 峰 西安交通大學電子與信息工程學院綜合自動化研究所副教授.主要研究方向為目標跟蹤.本文通信作者.

E-mail:lianfeng1981@xjtu.edu.cn

(LIAN Feng Associate professor at the Institute of Integrated Automation,School of Electronics and Information Engineering,Xi′an Jiaotong University.His main research interest is target tracking.Corresponding author of this paper.)

曾令豪 西安交通大學電子與信息工程學院綜合自動化研究所博士研究生.主要研究方向為目標跟蹤.

E-mail:zenglh@stu.xjtu.edu.cn

(ZENG Ling-Hao Ph.D.candidate at the Institute of Integrated Automation,School of Electronic and Information Engineering,Xi′an Jiaotong University.His main research interest is target tracking.)