偉大藝術(shù)中隱藏的數(shù)學(xué)

庫(kù)斯·索托伊

對(duì)很多人來說，藝術(shù)與數(shù)學(xué)之間幾乎橫亙著一道天塹：藝術(shù)是情緒的表達(dá)，是熱情的釋放，是美學(xué)的展示；而數(shù)學(xué)則是邏輯、準(zhǔn)確性以及真理的化身。不過，這只是膚淺的定式思維，在藝術(shù)與數(shù)學(xué)截然不同的外表之下，兩者之間的共同點(diǎn)比你想象得更多。

所有的藝術(shù)家都會(huì)告訴你一個(gè)事實(shí)，在完成一件藝術(shù)作品的最初階段，想要迸發(fā)出情感的火花是非常困難的。作曲家菲利普·格拉斯甚至說他盡量避免在創(chuàng)作作品的時(shí)候帶入情緒，他認(rèn)為音樂中的情緒會(huì)在作曲家工作的過程中自發(fā)地呈現(xiàn)出來，“的確，我創(chuàng)作的音樂中總是會(huì)帶有一定的情緒氛圍，但是這與我創(chuàng)作過程中的個(gè)人意志是無關(guān)的。”事實(shí)上，真正能夠影響作品氛圍的是音樂的結(jié)構(gòu)以及內(nèi)在邏輯。

另一方面，數(shù)學(xué)的發(fā)展卻往往與情緒的滋生、熱情的點(diǎn)燃有關(guān)。數(shù)學(xué)并不像大家想象中那樣，只是事實(shí)與數(shù)字的單純羅列，與其說數(shù)學(xué)家是一群古板的書呆子，不如說他們是編織故事的造夢(mèng)師。數(shù)學(xué)家很會(huì)講故事，他們故事中的角色就是數(shù)字和圖形，他們講述的就是這些角色之間的證明題，每一條公式都是一次訴說。

我是一名數(shù)學(xué)家，與藝術(shù)家共事多年，多年的工作經(jīng)歷告訴我，我們的實(shí)踐有著極其多的相似之處：藝術(shù)家在創(chuàng)作作品的時(shí)候，往往要和我一樣構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，在構(gòu)建模型的方式上，我們或許有些不同，但是作品的框架和結(jié)構(gòu)總是我們關(guān)注的核心。更有趣的是，我們工作靈感的來源往往都來自自然的造化，而藝術(shù)與數(shù)學(xué)都是我們各自改造生存環(huán)境的利器，正如人類發(fā)明許許多多的語言，我們也發(fā)明了許多“語言”，幫助我們探索周邊的環(huán)境。

旋律之間

音樂可能是這個(gè)世界上最接近數(shù)學(xué)的藝術(shù)形式，正如德國(guó)哲學(xué)家萊布尼茨所說：“音樂能夠通過計(jì)算帶給人心靈的愉悅，盡管人們并沒有意識(shí)到自己是在計(jì)算。”事實(shí)上，音樂與數(shù)學(xué)直接的聯(lián)系比他描述的還要緊密。正如畢達(dá)哥拉斯著名的發(fā)現(xiàn)，我們?cè)谝魳分懈惺艿降暮椭C基于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)支撐起了樂曲的建筑。

大家可以先聽聽下面這首梅西安的《時(shí)間終結(jié)四重奏》，在這首樂曲中，梅西安用質(zhì)數(shù)的概念構(gòu)建了一首充滿著緊張情緒的作品。在第一樂章《純潔的禮拜儀式》里，梅西安希望營(yíng)造出一種時(shí)間無休無止的感覺，而質(zhì)數(shù)17和29便在其中發(fā)揮了關(guān)鍵作用，它們分別作為韻律和和弦序列的基礎(chǔ)，整個(gè)樂曲要到17×29個(gè)音符處才會(huì)重復(fù)，樂章也就在那一時(shí)刻終結(jié)。

令我感興趣的是，音樂家和數(shù)學(xué)家共同關(guān)注的這種不同步性也存在于大自然中。在北美的森林里生活著一種蟬，它們遵循著一種神奇的生命循環(huán)，它們需要在地下蟄伏17年才能破土生長(zhǎng)，在第17年中最后的6個(gè)星期尋找其他蟬交配產(chǎn)卵然后死去，再過17年才能等到下一代破土而出。這個(gè)循環(huán)周期的數(shù)字的選擇使得它們避開了天敵——一種同樣周期性出現(xiàn)在森林里的食肉動(dòng)物。

線條之間

不僅音樂的抽象特質(zhì)使得它與數(shù)學(xué)產(chǎn)生了自然的聯(lián)系，在其他藝術(shù)形式之中同樣蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的光芒：藝術(shù)家們對(duì)于數(shù)學(xué)美的探索也會(huì)帶來靈感的火花。

視覺藝術(shù)領(lǐng)域與數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)就非常明顯。當(dāng)你在畫布上描繪一條線，或者在石像上雕刻出一個(gè)圖形的時(shí)候，你就在進(jìn)行一次數(shù)學(xué)建模，顯而易見，視覺藝術(shù)當(dāng)然與幾何有關(guān)。而在建筑藝術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)則是必須的，你必須通過數(shù)學(xué)計(jì)算才能保證設(shè)計(jì)出的建筑不是紙上樓閣，而建筑的外形與線條也必須經(jīng)過精心的幾何設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)分析，才能保證它呈現(xiàn)在城市的天際線的時(shí)候，能保持內(nèi)在與外在的和諧美觀。

對(duì)我而言，最讓我感到震驚的是，即使是用文字呈現(xiàn)的藝術(shù)杰作，它們的內(nèi)在仍然閃現(xiàn)有數(shù)學(xué)的律動(dòng)。無論是詩(shī)人、小說家還是劇作家，他們往往都以自己作品中呈現(xiàn)出的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)、表征以及內(nèi)在邏輯為豪，而構(gòu)建這種邏輯的毫無疑問是數(shù)學(xué)。

我曾經(jīng)主持過一檔廣播節(jié)目《秘密數(shù)學(xué)家》，這檔節(jié)目的核心就是尋找藝術(shù)作品中暗含的數(shù)學(xué)邏輯。在無數(shù)作曲家、作家、建筑師以及其他藝術(shù)家的作品中，我發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的影子，雖然有時(shí)候創(chuàng)作出這些作品的人并沒有察覺到。

菲利普·格拉斯可能算是藝術(shù)家群體中的某種異類，他對(duì)于探尋旋律中的數(shù)學(xué)奧秘非常著迷，他通常會(huì)把大自然中的節(jié)奏與自己的旋律結(jié)合，并希望以此讓聽眾進(jìn)入他創(chuàng)造的異想音樂世界。阿根廷文豪博爾赫斯的作品中時(shí)常體現(xiàn)著從數(shù)學(xué)中推演的有限宇宙觀，他的《巴別圖書館》就是這種思想的體現(xiàn)。英國(guó)女建筑師扎哈·哈迪德所推行的“參數(shù)運(yùn)動(dòng)”則旨在將城市環(huán)境呈現(xiàn)為數(shù)學(xué)與自然的結(jié)合。

在我的節(jié)目中，我曾經(jīng)做過一項(xiàng)關(guān)于“文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家如何幫助當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家重現(xiàn)古希臘數(shù)學(xué)模型中的奧秘”的研究：古希臘的不少數(shù)學(xué)成果在中世紀(jì)后期早已遺失，而藝術(shù)家在繪畫技法的發(fā)展中重新發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)學(xué)知識(shí)。我同時(shí)也在超現(xiàn)實(shí)主義藝術(shù)家薩爾瓦多·達(dá)利最著名的作品之一《刑罰》中發(fā)現(xiàn)了強(qiáng)有力的“超維度”概念，同時(shí)，杰克遜·波洛克在他的作品中無意呈現(xiàn)出了一項(xiàng)20世紀(jì)才發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型——分形，這位美國(guó)藝術(shù)家因?yàn)槿狈ζ胶夂途凭^度而成了一位秘密數(shù)學(xué)家，在他搖搖晃晃地創(chuàng)造他的滴畫時(shí)，使用了一種被數(shù)學(xué)界稱為“混沌擺”的數(shù)學(xué)原理。

當(dāng)代藝術(shù)家安尼什·卡珀?duì)栐?jīng)想成為一名建筑師，卻因?yàn)閷W(xué)建筑需要太多的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而放棄了這個(gè)夢(mèng)想。但是，他的作品中仍然包含著相當(dāng)靈敏的數(shù)學(xué)嗅覺，并因此造就了不少跨越文化語境的“環(huán)球”作品。他在2009年制作了一件名為《喬木與眼睛》的雕塑作品，由多個(gè)金屬球體構(gòu)成，它反映了自然界中的分形原則，同時(shí)，雕塑上的鏡面材料則把現(xiàn)實(shí)世界折射成另一種形態(tài)，而這恰好是宇宙本來的模樣——彎曲、折射，而宇宙空間中的萬物反射出來的光芒在到達(dá)我們眼睛的過程中，也會(huì)經(jīng)歷多次彎曲。這個(gè)作品反映了數(shù)學(xué)與人們直覺的差異。

（作者系牛津大學(xué)數(shù)學(xué)教授）