透徹理解定義，巧妙解決難題

賀靜

[摘? 要] 數(shù)學(xué)中的概念定義是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、研究數(shù)學(xué)理論、進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)，在教學(xué)中，學(xué)生解題的技巧靈活性不僅僅來源于對公式定理、通性通法的理解和把握，在透徹理解定義的基礎(chǔ)上，同樣可以巧妙解決難題.

[關(guān)鍵詞] 概念定義;技巧靈活性;透徹理解

在數(shù)學(xué)家波利亞的《怎樣解題》這本書中，有一個著名的怎樣解題表，表中有一句經(jīng)典的“回到定義去”. 這句經(jīng)典的話如果能夠理解并應(yīng)用得好，對我們的教學(xué)將起到事半功倍的效果，尤其是在當(dāng)今大力提倡減負(fù)增效的時候，我們更應(yīng)該注意這方面的訓(xùn)練. 各種雜志中關(guān)于這方面的研究文章已經(jīng)很多了，本文僅就初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)問題的解決再做一個淺解，希望在教學(xué)中能夠進(jìn)一步提升對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng).

巧妙利用定義解決“超范圍”難題

數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會解題是其中的一個重要方面，最基本的要求是要學(xué)生會用和善于用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和方法解決數(shù)學(xué)問題. 在這里，我們更希望看到的是學(xué)生的巧解和靈活應(yīng)用，而個別老師喜歡把后面的知識或者數(shù)學(xué)結(jié)論拿來提前講，然后讓學(xué)生記憶和模仿，以期用所謂的簡便方法解決問題，這是很不好的，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，也不利于學(xué)生解題能力的提高. 筆者認(rèn)為，需要給學(xué)生講的應(yīng)該是怎樣用現(xiàn)有知識和方法，巧妙地解決一些復(fù)雜的甚至“超范圍”的難題.

其實，不僅如此，許多看似復(fù)雜的問題，如果我們注意相關(guān)定義，也會迎刃而解.

用定義解決函數(shù)與方程的綜合題

有些綜合題目，看似很復(fù)雜，無從下手，但如果我們注意有關(guān)定義，注意它們之間的相互聯(lián)系，問題往往能夠迎刃而解.

例2? 設(shè)y=（x-a）（x-b）-3（a，b是實數(shù)，a<b），方程y=0存在兩個不相等的實根α，β（α<β）.

（1）若a+b=-4，a·b=3時，求α，β之值，并求函數(shù)在α≤x≤β時y的取值范圍;

（2）試把a，b，α，β按從小到大的順序排列出來，并說明你的排序理由.

本題作為初三后期復(fù)習(xí)考試的一次聯(lián)合考試試題，第（2）小題的得分率非常低，大部分同學(xué)不知道如何下手，個別同學(xué)展開用求根公式討論. 其實，注意題目條件：方程y=0存在兩個不相等的實根α，β（α<β），為什么用這樣一種表示方式？再聯(lián)想方程根的定義，即y=0時x的取值，也就是函數(shù)圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)，于是得解法如下：

因為y=（x-a）（x-b）-3，令y₁=y+3=0，則a，b為y₁=0的兩根，因為y₁的圖像是將y的圖像向上平移3個單位得到，y₁和y的草圖如圖1所示，所以α<a<b<β.

本題的成功關(guān)鍵是用幾何意義解題.

例3? 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M過原點O，與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，3），點C為劣弧AO的中點，連接AC并延長到D，使DC=4CA，連接BD.

（1）求⊙M的半徑;

（2）證明：BD為⊙M的切線;

（3）在直線MC上找一點P，使DP-AP最大.

這題的第（2）小題許多考生不知道如何證明，而在一些官方給出的答案是：求出點A，B與D的坐標(biāo)，然后求出直線方程，利用斜率乘積等于-1而得到垂直，得到切線的證明. 而這些都是高中數(shù)學(xué)要求的，初中都沒有涉及. 為此，看著好像是超范圍了，但研究以后可以發(fā)現(xiàn)另一種解法，如下：

其實，初中勾股定理是要求學(xué)生掌握好的，利用勾股定理及相關(guān)知識就可以輕而易舉地解決. 而要證明直角，自然就是要看是不是有一邊的平方是另外兩邊的平方和，于是計算有關(guān)三角形的邊長的平方是關(guān)鍵.

如圖2，過點D分別作x軸、y軸的垂線，交x軸、y軸于H，G兩點，因為D（-6，-5），所以H（-6，0），G（0，-5），于是AH=10，DH=5，DG=6，BG=8.由勾股定理可得BD2+AB2=AD2，從而垂直得證. 這樣所用到的知識點極少，也不需要用兩點間距離公式，因為兩點間距離公式也不是初中課程標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一要求的，但勾股定理是必須掌握的. 至于AH，BG等長度，作為初中生來說是必須掌握的，而作為點的坐標(biāo)的原始定義，就需要從各點引坐標(biāo)軸的垂線，因此這種解法是每個初中生都應(yīng)該掌握好的.

用定義解決一類幾何計數(shù)問題

給初一學(xué)生講解有關(guān)幾何計數(shù)問題往往令許多老師為難，覺得不好講，學(xué)生也不好接受. 下面我們從相關(guān)定義入手來解決，我們還會發(fā)現(xiàn)，以下系列題目的解決方法基本上是一模一樣的.

例4? 一直線上有n個點，以這些點為端點的線段有多少條？

分析：每條線段有兩個端點，解決的突破口就在這里. 因為每個點可以和另外的一個點組成一條線段，這樣，每個點都可以和另外n-1個點中的每一個組成一條線段，但對于一條線段來說，可以分別從兩個端點來計算，故結(jié)果要除去重復(fù)計算的，應(yīng)該是1/2n（n-1）.

與此類似，平面上有n個點，以這些點為端點的線段也是1/2n（n-1）條.

例5? 我們知道，兩條直線被第三條直線所截，可以形成4對同位角，請問，在平面上n條直線兩兩相交，無三線共點，可以形成多少對同位角？

這題看似很難做，也有一些老師研究過其解法，但給出的解法學(xué)生都很難理解. 在思考之初，部分同學(xué)想歸納出來，發(fā)現(xiàn)n=3時，是12對，n=4時，是48對，沒有辦法數(shù)，更不好找規(guī)律. 其實，如果我們注意同位角的定義所指：“兩條直線被第三條直線所截，可以形成4對同位角”，只要能夠把這些直線這樣分開，分成一個個獨立不重復(fù)的“兩條直線被第三條直線所截”的“三線小組”，問題就迎刃而解了：

每條直線與另外的n-1條直線中的任意一條都可以形成一個兩條直線組合，剩下的n-2條中的每一條都可以用來截這個兩條直線組合;而這樣的兩條直線組合有1/2n（n-1）個，總的就有這樣的“三線組合”1/2n（n-1）（n-2）個，同位角就有4×1/2n（n-1）（n-2）=2n（n-1）（n-2）對.

當(dāng)然，我們也能同時得到：在平面上n條直線兩兩相交，無三線共點，可以得到同旁內(nèi)角和內(nèi)錯角都是n（n-1）（n-2）對.

用這種思考方式，我們很容易得到：n條直線交于一點共有n（n-1）對對頂角.

可見，這類計數(shù)問題都可以用這種方式來解決，突破口都是相關(guān)定義的理解并應(yīng)用.

正如著名數(shù)學(xué)家、首屆國家級數(shù)學(xué)名師李尚志先生在他的《數(shù)學(xué)的神韻》中所說：“人們總認(rèn)為數(shù)學(xué)是煩瑣的、復(fù)雜的. 數(shù)學(xué)當(dāng)然有算法，算法也許是煩瑣的，具體過程更是煩瑣. 但是，指揮這些算法的想法一定是簡單的，這才是最有威力的. ”而要達(dá)到這樣的境界，就必須要真正理解有關(guān)數(shù)學(xué)概念，把用定義解題做到極致.

總之，如果我們能夠真正理解有關(guān)數(shù)學(xué)概念的定義，能夠真正理解數(shù)學(xué)知識、方法與數(shù)學(xué)問題之間的本質(zhì)聯(lián)系，學(xué)數(shù)學(xué)和做數(shù)學(xué)就會其樂無窮，學(xué)生自然能夠?qū)?shù)學(xué)學(xué)得很好. 這樣給學(xué)生講解數(shù)學(xué)，也遠(yuǎn)比進(jìn)行題海戰(zhàn)術(shù)效果好得多.