善用數(shù)學(xué)模型，秒解中考試題

舒盛花

[摘? 要] 隨著課改的深入，數(shù)學(xué)更注重抽象思維能力的培養(yǎng)，更貼近解決生活中的實(shí)際問(wèn)題. 平移模型，“K”形模型，將軍飲馬模型等是初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的常見(jiàn)模型，這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)能力要求較高，需要教師引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容整理歸納出類(lèi)型和方法，并經(jīng)過(guò)加工提煉和保存.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)模型;平移模型;K形模型;將軍飲馬模型

平移模型、“K”形模型、將軍飲馬模型是中考的熱點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題既充滿生活的趣味性，又是對(duì)數(shù)學(xué)思維的挑戰(zhàn)，對(duì)能力要求較高，需要靈活地運(yùn)用圖形特點(diǎn)抽象概括出解題方法，并加以應(yīng)用和拓展，形成解題經(jīng)驗(yàn)，我們把這些圖形或數(shù)學(xué)問(wèn)題稱(chēng)為數(shù)學(xué)模型. 在平時(shí)教學(xué)中，老師如果善于總結(jié)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型，會(huì)給復(fù)習(xí)帶來(lái)事半功倍的效果. 本文結(jié)合筆者平時(shí)的教學(xué)，談?wù)勗诔跞龔?fù)習(xí)中如何善用數(shù)學(xué)模型，秒解中考試題.

平移模型

浙教版教材七年級(jí)下冊(cè)1.5中我們學(xué)過(guò)了“圖形的平移”，移動(dòng)的特點(diǎn)是在移動(dòng)過(guò)程中原圖形上所有的點(diǎn)都沿著同一方向移動(dòng)相等的距離. 利用這一特性，教學(xué)時(shí)可以把“圖形的平移”轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)”的平移來(lái)解決類(lèi)似平行四邊形的問(wèn)題.

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，0），A（1，-1），B（4，0），點(diǎn)M為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)O，A，B，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是______.

分析? 由O，A，B，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可分2種情況.

解答? （1）以O(shè)A為一邊，即OA∥BM，此時(shí)，①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的下方，則O（0，0）平移到A（1，-1），可知橫坐標(biāo)增大1，縱坐標(biāo)減小1，由平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等）可知B（4，0）平移到點(diǎn)M，則其橫坐標(biāo)增大1，縱坐標(biāo)減小1，故M₁（5，-1）;②若點(diǎn)M在點(diǎn)B的上方，則A（1，-1）平移到O（0，0），可知橫坐標(biāo)減小1，縱坐標(biāo)增大1，由平行四邊形的性質(zhì)可知，B（4，0）平移到點(diǎn)M，則其橫坐標(biāo)減小1，縱坐標(biāo)增大1，故M₂（3，1）.

（2）以O(shè)A為對(duì)角線，則OM∥BA，此時(shí)B（4，0）平移到A（1，-1），可知橫坐標(biāo)減小3，縱坐標(biāo)減小1. 由平行四邊形的性質(zhì)可知，O（0，0）平移到點(diǎn)M，則橫坐標(biāo)減小3，縱坐標(biāo)減小1，故M₃（-3，-1）.

點(diǎn)評(píng)? 采用了“點(diǎn)的平移”這個(gè)模型后，解題快捷方便，在方法上，學(xué)生由被動(dòng)接受變?yōu)橹鲃?dòng)探索，使學(xué)生能把以前所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái).

“K”形模型

“K”形模型，是常見(jiàn)的“一線三等角”的相似模型（由三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或者鈍角）. 追溯其根源，可以歸納為三角形基架和矩形基架（如圖2和圖3所示）. “K”形模型在中考中出現(xiàn)的頻率相當(dāng)高.

例2 如圖4，AB=4，射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上， 且BE=1/2BD，作EF⊥DE并截取EF=DE，連接AF并延長(zhǎng)交射線BM于點(diǎn)C.? 設(shè)BE=x，BC=y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（? ? ? ）

A. y=-12x/（x-4）? ? ? ? ? ? ? ?B. y=-2x/（x-1）

C. y=-3x/（x-1）? ? ? ? ? ? ? ? ?D. y=-8x/（x-4）

分析? 過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，則可構(gòu)成“K”形模型.

點(diǎn)評(píng)? 利用“K”形模型，關(guān)鍵是如何去構(gòu)造這個(gè)模型，有時(shí)是“K”字相似，有時(shí)是“K”字全等. 教學(xué)中，我們要善于抓住此類(lèi)問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和本質(zhì)規(guī)律來(lái)提煉歸類(lèi)成簡(jiǎn)單的解題模型.

將軍飲馬模型

傳說(shuō)古羅馬亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，一天，一位羅馬將軍專(zhuān)程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：將軍每天從軍營(yíng)B出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的A地開(kāi)會(huì)，如圖5所示，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？

分析 飲水點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)，顯然可以用構(gòu)造對(duì)稱(chēng)點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題. 只需連接A′B，與l的交點(diǎn)C，即為路程最短點(diǎn).

解答? 作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，A′B與l的交點(diǎn)C即為所求點(diǎn).

評(píng)析? 若取l上異于C點(diǎn)的點(diǎn)C′，顯然AC′+BC′>A′B.

將軍飲馬模型的原理：在“圖形的軸對(duì)稱(chēng)”一節(jié)中出現(xiàn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的原理求最短距離的一個(gè)方法模型. 常用于解決最短路徑問(wèn)題.

例3 如圖6，MN為⊙O的直徑，A，B是⊙O上的兩點(diǎn)，過(guò)A作AC⊥MN于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥MN于點(diǎn)D，P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN=20，AC=8，BD=6，則PA+PB的最小值是______.

分析? P為直徑MN上的動(dòng)點(diǎn)，將直徑MN所在的直線看成是模型中的河流，A點(diǎn)和B點(diǎn)分別看成是山峰A和營(yíng)地B，構(gòu)造A或者B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可.

點(diǎn)評(píng)? 該題型是“兩定點(diǎn)在直線同側(cè)，在直線上找到一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和最短”這一模型，也就是上文提到的“將軍飲馬”模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

例4 如圖7，∠AOB=30°，點(diǎn)M，N分別在邊OA，OB上，且ON=1，OM=3，點(diǎn)P，Q分別在邊OB，OA上，則NP+PQ+QM的最小值是______.

分析 學(xué)生剛接觸到這個(gè)題目時(shí)，不知道如何去解，因?yàn)樵谒麄兊挠∠笾校?lèi)似將軍飲馬問(wèn)題都是“已知兩個(gè)定點(diǎn)，求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到它們之間的距離和最小”，而此題卻是求兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到已知兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離和最小，好像無(wú)法使用我們熟知的模型了. 此時(shí)筆者引導(dǎo)學(xué)生，我們可以假設(shè)點(diǎn)Q固定，先求解NP+PQ的最小值，這時(shí)自然會(huì)聯(lián)想到利用將軍飲馬的模型作點(diǎn)N關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)N₁;接著求解PQ+QM的最小值，同樣可以假設(shè)P點(diǎn)固定，也可以利用將軍飲馬的模型作點(diǎn)M關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)M₁，分步驟來(lái)求解.

點(diǎn)評(píng)? 本題滲透了轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)建模等思想，而主導(dǎo)思想在于轉(zhuǎn)化，通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換把該類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決的問(wèn)題，從而達(dá)到“化折為直”“化和為一”，將折線、線段的問(wèn)題歸結(jié)為直線問(wèn)題的目的.

通過(guò)以上基本模型，我們發(fā)現(xiàn)在平時(shí)復(fù)習(xí)時(shí)，要善于提煉數(shù)學(xué)模型，當(dāng)遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先辨認(rèn)其屬于哪一類(lèi)基本模型，再利用模型探索解決問(wèn)題的策略，這比單純教會(huì)學(xué)生解題更為重要，意義更加重大.