對(duì)一道例題的認(rèn)知與思考

張秒

[摘? 要] 一題多變，有助于發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，挖掘?qū)W生的思維深度和廣度. 教材中的例、習(xí)題一般都具有一定的研究?jī)r(jià)值，若能在學(xué)生認(rèn)知規(guī)律基礎(chǔ)上加以變式，以學(xué)生為主體展開教學(xué)，定能促進(jìn)思維變通，發(fā)展創(chuàng)造能力，提高學(xué)習(xí)效率.

[關(guān)鍵詞] 思維;推理能力;例題;平行線的性質(zhì)

開學(xué)初，筆者在上蘇科版七年級(jí)下冊(cè)第七章“平面圖形認(rèn)識(shí)（二）”的“探索平行線的性質(zhì)”后，上了一節(jié)習(xí)題課. 課堂上對(duì)一道例題進(jìn)行了5種變式延伸，現(xiàn)將上課實(shí)錄及個(gè)人的一些思考整理如下，以供與同行進(jìn)行交流.

例題呈現(xiàn)

例題? 如圖1，已知AB//CD，EG平分∠BEP，F(xiàn)H平分∠DFE. 判斷EG與FH的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由. （例題來(lái)源：蘇科版七年級(jí)下冊(cè)151頁(yè)例1改編）

設(shè)計(jì)意圖? 本節(jié)課是蘇科版七年級(jí)下冊(cè)7.2探索平行線的性質(zhì)后的一節(jié)習(xí)題課，通過(guò)本題考查學(xué)生對(duì)平行線的性質(zhì)與平行線的判定的掌握情況.

探索活動(dòng)

師：要判斷EG與FH是否平行可以通過(guò)圖1中的什么數(shù)量關(guān)系進(jìn)行判斷？（學(xué)生獨(dú)立思考了2分鐘左右）

生1：我們可以根據(jù)同位角相等兩直線平行，也就是通過(guò)說(shuō)明∠PEG與∠EFH相等來(lái)判斷EG∥FH.

生2：由AB∥CD可得∠BEP=∠DFE，根據(jù)兩直線平行，同位角相等;又因?yàn)镋G平分∠BEP，F(xiàn)H平分∠DFE，可得∠PEG=1/2∠BEP，∠EFH=1/2∠DFE，根據(jù)等量代換可得∠PEG=∠EFH，所以EG∥FH.

說(shuō)明? 在學(xué)生分析的過(guò)程中教師將圖1進(jìn)行分離，分離出一些關(guān)于平行線的性質(zhì)和判定的基本圖形，如圖2.

設(shè)計(jì)意圖? 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中明確指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.”所謂的幾何直觀就是能利用圖形描述和分析問題，它可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮著重要的作用. 通過(guò)該活動(dòng)學(xué)生學(xué)會(huì)了從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，同時(shí)采用數(shù)形結(jié)合的策略和從復(fù)雜的圖形中分離出基本圖形的方法，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明.

師：請(qǐng)同學(xué)們將本題的說(shuō)理過(guò)程書寫出來(lái).

生3： EG∥FH. 因?yàn)锳B∥CD（已知），所以∠BEP=∠DFE（兩直線平行，同位角相等），因?yàn)镋G平分∠BEP，F(xiàn)H平分∠DFE（已知），所以∠PEG=1/2∠BEP，∠PFH=1/2∠DFE（角平分線定義），所以∠PEG=∠PFH（等量代換），所以EG∥FH（同位角相等，兩直線平行）.

設(shè)計(jì)意圖? 通過(guò)本環(huán)節(jié)發(fā)展學(xué)生合情推理和初步的演繹推理能力. 推理在數(shù)學(xué)中具有重要的地位. 誠(chéng)如《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中所指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式. ”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就是要學(xué)習(xí)推理，推理能力是培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo).

變式? 如圖3，已知AB//CD，EG平分∠BEF，F(xiàn)H平分∠CFE. 判斷EG與FH的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

說(shuō)明? 通過(guò)學(xué)生的探討將變式的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如圖4，從而使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明. 并形成以下的推理過(guò)程.

生4：EG∥FH. 因?yàn)锳B∥CD（已知），所以∠BEF=∠CFE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），因?yàn)镋G平分∠BEF，F(xiàn)H平分∠CFE（已知），所以∠EFH=1/2∠CFE，∠FEG=1/2∠BEF（角平分線定義），所以∠EFH=∠FEG（等量代換），所以EG∥FH（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

設(shè)計(jì)意圖? 通過(guò)變式教學(xué)進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)和空間觀念，經(jīng)歷借助基本圖形思考問題的過(guò)程，初步建立幾何直觀;培養(yǎng)學(xué)生敢于表達(dá)自己的想法、敢于創(chuàng)新的良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這也體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）的基本理念.

師：根據(jù)以上活動(dòng)的探討你對(duì)例題還能做出怎樣的變式？

經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的獨(dú)立思考和小組合作，同學(xué)們得出了下面一些變式.

生5：如圖5，已知AB//CD，EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠DFE. 判斷EG與FG的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

師：哪位同學(xué)能對(duì)該題做出判斷并給出簡(jiǎn)要的說(shuō)理思路嗎？

生6：EG⊥FG. 因?yàn)锳B∥CD（已知），所以∠BEF+∠DFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）. 因?yàn)镋G平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠DFE（已知），所以∠FEG=1/2∠BEF，∠EFG=1/2∠DFE（角平分線定義）. 所以∠FEG+∠EFG=1/2×180°=90°，所以∠EGF=180°-90°=90°，所以EG⊥FG.

生7：如圖6，已知AB//CD，EG平分∠BEP，F(xiàn)H平分∠CFE. 判斷EG與FH的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

師：哪位同學(xué)能對(duì)該題做出判斷并給出簡(jiǎn)要的說(shuō)理思路嗎？

生8：EG⊥FH. 如圖7，延長(zhǎng)GE交FH于點(diǎn)M. （理由基本同生6所講，在此省略）

生9：如圖8，已知AB//CD，EG平分∠BEP，F(xiàn)H平分∠CFQ. 判斷EG與FH的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

師：哪位同學(xué)能對(duì)該題做出判斷并給出簡(jiǎn)要的說(shuō)理思路嗎？

生10：EG∥FH. （理由在此省略）

生11：如圖9，已知AB//CD，EG平分∠BEP，F(xiàn)H平分∠DFQ. 判斷EG與FH的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

師：哪位同學(xué)能對(duì)該題做出判斷并給出簡(jiǎn)要的說(shuō)理思路嗎？

生12：EG⊥FH. （理由在此省略）

設(shè)計(jì)意圖? 這樣的設(shè)計(jì)秉承了教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的理念，同時(shí)充分體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、猜想、推理、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程. 通過(guò)以上問題的探究，既復(fù)習(xí)了平行線的性質(zhì)也復(fù)習(xí)了兩直線位置關(guān)系的判定，達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

教后反思

1. 本節(jié)課的設(shè)計(jì)注重學(xué)生基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累. 通過(guò)對(duì)例題的深入分析和變式，揭示數(shù)學(xué)活動(dòng)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想. 通過(guò)將這些數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)為過(guò)程性的教學(xué)目標(biāo)，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 通過(guò)該活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生類比、猜想以及演繹推理的能力，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，充分落實(shí)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）的要求. 在教學(xué)中應(yīng)該注意挖掘相關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在聯(lián)系，加深學(xué)生對(duì)有關(guān)知識(shí)縱向和橫向聯(lián)系的理解. 因此，教師在平時(shí)教學(xué)中要充分挖掘典型問題的價(jià)值，以此培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì).

2. “圖形與幾何”是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分. 對(duì)于七年級(jí)學(xué)生而言，“圖形與幾何”教學(xué)設(shè)計(jì)一方面要激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的自信心;另一方面，要遵守《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中的兩個(gè)核心關(guān)鍵詞——“幾何直觀”“推理能力”. 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式. ”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)習(xí)推理，具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo). 七年級(jí)學(xué)生正處在由感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)發(fā)展的過(guò)渡期，推理能力還沒有形成，而推理能力的提高是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，不能急于求成. 因此，本節(jié)課筆者在學(xué)生已有認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上采取小步子、多層次，耐心地對(duì)學(xué)生進(jìn)行講解和引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生多感悟、多反思，不斷激發(fā)學(xué)生參與課堂的探究活動(dòng)，遵循了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）的理念.

3. 教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)以教材為抓手. 教材中安排了大量的操作性活動(dòng)，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生空間觀念，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)予以充分的重視. 要做好由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過(guò)渡，讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—證明”的問題探索過(guò)程;要做好從感性到理性、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的過(guò)渡，提高學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)知能力. 正如弗賴登塔爾曾經(jīng)指出：“幾何是對(duì)空間的把握，這個(gè)空間是兒童生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)的空間，在這個(gè)空間里，兒童學(xué)會(huì)去了解、探索，從而能夠更好地在其中生活、呼吸和活動(dòng). ”