提煉基本模型 提高解題能力

馬曉琴

[摘? 要] 在幾何學(xué)習(xí)中，我們要善于歸納、提煉并儲備基本圖形，并讓學(xué)生慧眼識圖，當(dāng)不完全的“形”呈現(xiàn)于眼前，自然想到去構(gòu)造基本圖形，從而找到解決問題的突破口，出奇制勝.

[關(guān)鍵詞] 基本模型;解題能力

幾何與圖形領(lǐng)域中存在著許多基本圖形，在具體的情境中加強(qiáng)對基本圖形的研究，并讓學(xué)生慧眼識圖，從復(fù)雜圖形中找出基本圖形，強(qiáng)化模型意識，往往可以找到解決問題的突破口，出奇制勝. 筆者結(jié)合平時(shí)教學(xué)梳理了幾種常見的基本圖形與大家一起分享.

基本圖形一：“角平分線+垂直”證全等

已知，如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，求證：△ABD≌△ACD.

分析? 根據(jù)“ASA”即可證得.

例1？搖 如圖2，Rt△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BD，且交BD的延長線于E. 試猜想BD與2CE的關(guān)系，并說明理由.

分析? 此題中既有角平分線，又有垂直，聯(lián)想基本圖形，如圖3，想到延長BA，CE相交于點(diǎn)F，利用基本圖形，可證△FBE≌△CBE，得CE=EF，即CF=2CE，欲找BD與2CE的關(guān)系，只要找BD與CF的關(guān)系，于是只要證明△ABD≌△ACF即可.

基本圖形二：“垂直+垂直”證兩個(gè)角相等

已知，如圖4，∠BAC=90°，AD⊥BC，求證：∠BAD=∠C，∠CAD=∠B.

分析? 由∠BAC=90°，得∠BAD+∠DAC=90°，由AD⊥BC，得∠C+∠DAC=90°，兩式結(jié)合，得∠BAD=∠C，同理可得∠CAD=∠B.

例2？搖 已知，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).

（1）如圖5，直線BF⊥CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G，求證：AE=CG;

（2）如圖6，直線AH⊥CE于點(diǎn)H，交CD的延長線于點(diǎn)M，找出圖中與BE相等的線段，并證明.

分析 （1）由∠ACB=90°，BF⊥CE，想到利用基本圖形，證得∠ACE=∠CBG，欲證AE=CG，只要證△ACE≌△CBG即可.

（2）由∠ACB=90°，AH⊥CE，想到利用基本圖形，證得∠MAC=∠ECB，再證△MAC≌△ECB即可找到與BE相等的線段.

基本圖形三：“平行+中點(diǎn)”證全等

已知，如圖7，AB∥CD，E是AD的中點(diǎn)，求證：△ABE≌△DCE.

分析? 由AB∥CD，得∠A=∠D， ∠B=∠C，由E是AD的中點(diǎn)，得AE=DE，即可證得△ABE≌△DCE.

分析? 由AB⊥BC，AB⊥AD，可證得AD∥BC，由點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，聯(lián)想基本圖形，想到延長AE交BC于點(diǎn)F，即可證△ADE≌△CFE，得CF=AD=5，由BC=10，得BF=5，由AB⊥BC，AB=12，得AF=13，由△ADE≌△CFE，得AE=1/2AF=13/2.

基本圖形四：“等邊三角形+等邊三角形”證全等

已知：如圖10，△ABC和△CDE都是等邊三角形，求證：△ACD≌△BCE.

分析? 由△ABC和△CDE都是等邊三角形，得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE. 等式兩邊同時(shí)加上∠BCD，得∠ACD=∠BCE，即可證得△ACD≌△BCE.

例4? 如圖11，△ABC和△EFC都是等邊三角形，AD是△ABC的高，AB=4，若點(diǎn)E在直線AD上運(yùn)動，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，求線段DF的最小值.

分析? 由△ABC和△EFC都是等邊三角形，聯(lián)想基本圖形，想到證全等，但是這樣的三角形不存在，于是想到連接BF，構(gòu)造△BFC≌△AEC. 由△ABC是等邊三角形，AD是△ABC的高，得D是BC的中點(diǎn)，想到取AC的中點(diǎn)D′，連接D′E，如圖12，于是DF的長相當(dāng)于△AEC中對應(yīng)位置D′E的長，要使DF最小，只要使D′E最小即可，因?yàn)镈′是定點(diǎn)，E是動點(diǎn)，顯然當(dāng)D′E⊥AD時(shí)最小，即可求出最小值.

基本圖形五：“平行+角平分線”證等腰三角形

已知，如圖13，AB∥CD，CB平分∠ACD，求證：AC=AB.

分析? 由AB∥CD，得∠B=∠BCD，由CB平分∠ACD，得∠ACB=∠BCD，于是∠B=∠ACB，證得AC=AB.

例5?如圖14，若BD，CD分別平分△ABC的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角，DE∥BC分別與AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，DE=8，EF=3.5，求BE+CF的值.

分析? 由DE∥BC，BD平分△ABC的一個(gè)內(nèi)角，聯(lián)想基本圖形，想到證BE=DE;由DE∥BC， CD平分△ABC的一個(gè)外角，聯(lián)想基本圖形，想到證CF=DF，由DE=8，得到BE=8，由EF=3.5，得DF=4.5，于是CF=4.5，所以BE+CF=12.5.

波利亞曾說過：“解題的成功，要靠正確的轉(zhuǎn)化. ”在幾何學(xué)習(xí)中，我們要善于歸納、提煉并儲備基本圖形. 心理學(xué)研究表明：當(dāng)不完全的“形”呈現(xiàn)于眼前時(shí)，視覺中有一種強(qiáng)烈的追求完整、和諧、簡潔的傾向，在解題中自然會想到去構(gòu)造基本圖形，那么解題思路就會豁然開朗，可以大大提高解題的速度和正確率，從而提高解題能力.