探究變化 突破難點(diǎn) 總結(jié)方法

倉(cāng)春燕

[摘? 要] 教學(xué)“用方程解決行程問(wèn)題”時(shí)，可以以線形示意圖為切入點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生在操作活動(dòng)中經(jīng)歷不同情況、不同條件下探尋正確的線形示意圖的過(guò)程，學(xué)會(huì)有條理地思考與表達(dá).

[關(guān)鍵詞] 探究;體驗(yàn);突破;總結(jié)

基于價(jià)值判斷的教學(xué)分析

“用方程解決行程問(wèn)題”的教學(xué)價(jià)值往往被解讀為找到等量關(guān)系列方程的技能，這固然是用方程解決行程問(wèn)題的教學(xué)價(jià)值和學(xué)習(xí)要求，但它的價(jià)值不僅于此. 我們?cè)谡业攘筷P(guān)系之前，還需解決如下問(wèn)題：一，如何在整體層面上理解這個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程;二，如何通過(guò)媒介展示這個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，以便快速地找出等量關(guān)系后列方程. 因此，“用方程解決行程問(wèn)題”的教學(xué)價(jià)值還需繼續(xù)挖掘.

學(xué)生是在經(jīng)歷了從問(wèn)題到方程、解一元一次方程的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的. 小學(xué)時(shí)學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)用算術(shù)方法解決行程問(wèn)題，所以教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生在溫故的基礎(chǔ)上深刻體會(huì)用方程解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，并逐步建立起用方程刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，從而達(dá)到知新的目的. 在此過(guò)程中，我們不可避免地要借助媒介——“線形示意圖”來(lái)尋找相等關(guān)系.

基于教學(xué)分析的教學(xué)過(guò)程

1. 復(fù)習(xí)回顧，探尋策略

與學(xué)生一起回顧行程問(wèn)題涉及的路程、速度和時(shí)間的關(guān)系：路程=速度×?xí)r間.

（教師板書課題：用方程解決行程問(wèn)題）

（1）利用舊知，解決問(wèn)題

甲、乙兩站相距360 km，一列快車由甲站開(kāi)出，每小時(shí)行駛72 km;一列慢車由乙站開(kāi)出，每小時(shí)行駛48 km. 若兩車同時(shí)出發(fā)，相向而行，設(shè)兩車行駛x h相遇，則可以列出方程：______.

（學(xué)生迅速根據(jù)“兩車行駛的路程之和等于甲、乙兩站之間的距離”列出方程： 72x+48x=360）

（2）引出新知，尋求方法

甲、乙兩站相距360 km，一列快車由甲站開(kāi)出，每小時(shí)行駛72 km;一列慢車由乙站開(kāi)出，每小時(shí)行駛48 km. 若兩車同時(shí)出發(fā)，同向而行（快車在后、慢車在前），設(shè)行駛x h后快車追上慢車，則可以列出方程：______.

（學(xué)生思考片刻，認(rèn)為直接列方程不容易，于是筆者引導(dǎo)學(xué)生畫出線形示意圖）

2. 體驗(yàn)畫圖，探究變化

（1）初步感受線形示意圖的畫法并用它來(lái)找等量關(guān)系

筆者提示學(xué)生：假如有困難，可以畫出線形示意圖，并找到兩題的相同之處和不同之處.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：第一題是兩車相向而行，最后相遇;而第二題是快車追慢車，最后追上. 兩題的相同點(diǎn)是兩車的最終位置是同一個(gè)點(diǎn)，但畫圖時(shí)要注意各自的運(yùn)動(dòng)方向，以及兩車出發(fā)點(diǎn)的位置. 經(jīng)過(guò)分析，不少學(xué)生已經(jīng)能夠畫出示意圖（如圖1和圖2）.

學(xué)生可以迅速地從線形示意圖上看出，第二題可根據(jù)等量關(guān)系“快車行駛的路程-慢車行駛的路程=兩地的距離”列出方程：72x-48x=360.

（2）探究不同線形示意圖所表示的不同情況

教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：相遇問(wèn)題，兩車行駛的方向不同;而追及問(wèn)題，兩車行駛的方向相同.

（教師在黑板上板書：按方向不同分成兩類）

生1：對(duì)于兩車出發(fā)的時(shí)間，可以是同時(shí)出發(fā)，也可以是不同時(shí)出發(fā);對(duì)于兩車的出發(fā)地點(diǎn)，可以從同一地方出發(fā)，也可以從不同地方出發(fā).

師：很顯然，圖1和圖2都屬于從同一時(shí)間、不同地點(diǎn)出發(fā)，可將生1所說(shuō)的另外兩種情形分別補(bǔ)充在對(duì)應(yīng)的分類和各自的線形示意圖下.

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)上述不同情況仔細(xì)觀察線形示意圖（圖3和圖4），說(shuō)出它們是哪種情形，并分別找出各自的等量關(guān)系.

（學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論，教師巡視傾聽(tīng)，有目的地選擇分析清楚、表述清晰的學(xué)生來(lái)回答）

生2：圖3是方向相反的相遇問(wèn)題，慢車先出發(fā)一段時(shí)間，快車才出發(fā)，屬于不同時(shí)間不同地點(diǎn)出發(fā)的情況. 圖4是追及問(wèn)題，慢車本來(lái)就在快車前面，又先出發(fā)了一段時(shí)間，然后快車才出發(fā)去追慢車，圖4也屬于不同時(shí)間不同地點(diǎn)出發(fā)的情況.

（教師邊聽(tīng)邊板書，有目的地將各自的情形寫在對(duì)應(yīng)線形示意圖下，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生找到等量關(guān)系）

生3：圖3中，慢車先行駛的路程+慢車和快車一起行駛的路程之和=兩地之間的距離;圖4中，兩地之間的距離+慢車先行駛的路程+慢車后面行駛的路程=快車行駛的路程.

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)黑板上的分類想一想，是否還有不同的情況是我們沒(méi)有考慮到的.

生4：相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題中還有同時(shí)同地點(diǎn)出發(fā)、不同時(shí)間同地點(diǎn)出發(fā)這兩種情況.

（根據(jù)學(xué)生的回答，結(jié)合已有的線形示意圖，板書完成所有分類，如表1）

師：請(qǐng)同學(xué)們嘗試著畫一畫還沒(méi)有畫出線形示意圖的情形.

（分成兩組，左半組畫相遇問(wèn)題的另外兩種情形，右半組畫追及問(wèn)題的另外兩種情形）

設(shè)計(jì)意圖 為了分類的完整性，學(xué)生發(fā)現(xiàn)同時(shí)同地點(diǎn)出發(fā)沒(méi)有研究的意義，并發(fā)現(xiàn)還有環(huán)形行程線路可以研究，可在兩組中各挑一位學(xué)生在黑板上畫出這兩種情形.

師：請(qǐng)同學(xué)們找出圖5～圖8四個(gè)圖的等量關(guān)系.

生5：圖5中，快車行駛的路程+慢車行駛的路程=環(huán)形一圈的長(zhǎng);圖6中，快車行駛的路程-慢車行駛的路程=環(huán)形一圈的長(zhǎng);圖7中，慢車先行駛的路程+慢車和快車一起行駛的路程之和=環(huán)形一圈的長(zhǎng);圖8中，慢車先行駛的路程+慢車后行駛的路程=快車行駛的路程.

至此，行程問(wèn)題中一些主要變化情況的線形示意圖都畫出來(lái)了，下面就需要運(yùn)用線形示意圖來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題了.

3. 突破難點(diǎn)，解決問(wèn)題

例1 敵、我兩軍相距37 km，敵軍以6 km/h的速度逃跑，我軍同時(shí)以9 km/h的速度追擊，并在即將追上敵軍時(shí)與敵軍發(fā)生了戰(zhàn)斗. 已知發(fā)生戰(zhàn)斗時(shí)我軍距敵軍1 km，問(wèn)：戰(zhàn)斗是在開(kāi)始追擊后幾小時(shí)發(fā)生的？

設(shè)計(jì)意圖 這是一個(gè)追及問(wèn)題，但與上面的情形均不同——最后沒(méi)追上，所以最終雙方的位置不一樣，不過(guò)這不影響同學(xué)們用已熟悉的線形示意圖來(lái)展現(xiàn)這一變化. 此題主要考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力，避免學(xué)生停留在模仿層面.

例2 運(yùn)動(dòng)場(chǎng)跑道一周的長(zhǎng)是400 m，小紅跑步的速度是爺爺?shù)?/3倍，他們從同一地點(diǎn)沿跑道的同一方向同時(shí)出發(fā)，5 min后小紅第一次追上爺爺. 小紅和爺爺跑步的速度各是多少？

變式 運(yùn)動(dòng)場(chǎng)跑道一周的長(zhǎng)是400 m，小紅跑步的速度是爺爺?shù)?/3倍，他們從同一地點(diǎn)沿跑道的同一方向同時(shí)出發(fā)，5 min后小紅第一次追上爺爺. 如果小紅追上爺爺后立即轉(zhuǎn)身沿相反方向跑，幾分鐘后小紅又一次與爺爺相遇？

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)于環(huán)形路線問(wèn)題，前面只探索了如何畫出線形示意圖，并沒(méi)有用它來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，之所以安排這樣一個(gè)例題，目的是讓學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中感知并嘗試用剛剛所畫的線形示意圖來(lái)解決. 變式能讓學(xué)生再次充分體會(huì)畫線形示意圖找等量關(guān)系的優(yōu)勢(shì)，能完善原有的知識(shí)框架，也能充實(shí)本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容.

4. 梳理小結(jié)，總結(jié)方法

師生共同回顧線形示意圖在不同條件下的變化情況，以及根據(jù)找到的等量關(guān)系如何列方程. 教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生突破如何畫線形示意圖這一難點(diǎn)，讓學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合思想，鼓勵(lì)他們探究數(shù)學(xué)中的相關(guān)變化.

基于教學(xué)過(guò)程的教學(xué)思考

行程問(wèn)題一直是教學(xué)中的難點(diǎn)，之所以難，是因?yàn)檫@類問(wèn)題題型多，綜合變化多，要求學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行演繹和推理. 本節(jié)課在眾多的題型和變化中，僅局限于兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，先研究最基本的直線行程，當(dāng)直線行程已無(wú)研究?jī)r(jià)值時(shí)，研究環(huán)形行程. 學(xué)生以把文字描述的行程過(guò)程還原成對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)圖形為突破點(diǎn)，探究行駛方向、出發(fā)時(shí)間、出發(fā)地點(diǎn)三種情況的組合變化所對(duì)應(yīng)的不同的線形示意圖，教學(xué)時(shí)應(yīng)強(qiáng)化如何畫圖，從而帶領(lǐng)學(xué)生找出等量關(guān)系，最后列方程解決問(wèn)題.

1. 在畫圖體驗(yàn)中深化對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析與理解

本節(jié)課意在讓學(xué)生初步掌握行程問(wèn)題中的一些基本題型，課本上畫線形示意圖只是明確其是過(guò)程的輔助工具，并沒(méi)有要求學(xué)生能畫出不同情形的線形示意圖. 本節(jié)課如此安排，似乎浪費(fèi)了一些時(shí)間，但它是最有利于我們分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程的工具，所以研究不同情形的示意圖還是非常有必要的. 如果單純地就一題而畫一圖，學(xué)生只能就題論題，換條件后可能就不會(huì)畫圖，從而難以找到等量關(guān)系列方程. 所以，本節(jié)課從簡(jiǎn)單的情形入手，與學(xué)生一起探索如何畫圖以及畫圖的關(guān)鍵點(diǎn). 且教學(xué)中通過(guò)條件的變化組合，能讓學(xué)生經(jīng)歷畫出不同情形示意圖的過(guò)程，在體驗(yàn)中深化對(duì)過(guò)程的理解.

2. 在不同情形的變化拓展中提升對(duì)問(wèn)題的理解能力

本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同情形進(jìn)行分類后，筆者沒(méi)有讓學(xué)生畫圖，而是直接給出兩種情形的示意圖，讓學(xué)生找出對(duì)應(yīng)的情況. 之所以這樣安排，是著眼于學(xué)生已有的能力，讓學(xué)生在探究如何畫復(fù)雜示意圖的過(guò)程中有一個(gè)梯度，起到給學(xué)生示范如何畫復(fù)雜情形示意圖的作用. 隨后讓學(xué)生自己嘗試著畫剩下情形的示意圖，學(xué)生便有圖可依，會(huì)自己嘗試著改變圖形以體現(xiàn)條件的變化. 這樣既能促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，也能內(nèi)化數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)，提升學(xué)生的思維能力.

3. 在思維活動(dòng)中通過(guò)總結(jié)達(dá)到思維內(nèi)化、應(yīng)用提升

本節(jié)課最終總結(jié)出的技巧并沒(méi)有直白地告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中通過(guò)思維內(nèi)化而得到，這更符合知識(shí)學(xué)習(xí)的本質(zhì). 現(xiàn)代意義的問(wèn)題解決更注重解決問(wèn)題的過(guò)程、策略，以及思維方法，更注重解決問(wèn)題過(guò)程中情感、態(tài)度與價(jià)值觀的培養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)過(guò)程與結(jié)果并重. 只要我們長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生必能將學(xué)習(xí)過(guò)程中的思維過(guò)程、思維方法內(nèi)化為將來(lái)走向社會(huì)解決問(wèn)題的基本素養(yǎng). 其實(shí)，數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，會(huì)在培養(yǎng)學(xué)生的基本能力中起著潛移默化的作用.

結(jié)語(yǔ)

“探究—突破—總結(jié)”不僅是畫線路圖解決行程問(wèn)題的過(guò)程，還是所有探究式學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程，所以這樣的教學(xué)過(guò)程及設(shè)計(jì)理念適合所有的探究活動(dòng)設(shè)計(jì)與建構(gòu).

新一輪課程改革倡導(dǎo)自主、探索、合作的學(xué)習(xí)方式，倡導(dǎo)“以學(xué)生為主體”的理念，作為一線教師，急需逐步改變學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀，所以教師在改變教學(xué)方法的同時(shí)，更需要換位思考，即站在學(xué)生的角度思考問(wèn)題，切實(shí)可行地從學(xué)生的難點(diǎn)入手，關(guān)注知識(shí)的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的興趣，引導(dǎo)他們開(kāi)啟思維，探究問(wèn)題的前因后果，達(dá)到融會(huì)貫通、主動(dòng)學(xué)習(xí)、內(nèi)化思維的目的.