多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與分析
——?jiǎng)恿?矩)定理的應(yīng)用

王曉軍 呂 敬 王 琪

?(常州工學(xué)院機(jī)械與車輛工程學(xué)院，江蘇常州213032)

?(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100083)

多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與分析
——?jiǎng)恿?矩)定理的應(yīng)用

王曉軍?,1)呂 敬?,2)王 琪?

?(常州工學(xué)院機(jī)械與車輛工程學(xué)院，江蘇常州213032)

?(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100083)

應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理和相對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，建立了多個(gè)節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.通過數(shù)值仿真，分析了其同步現(xiàn)象，并通過實(shí)驗(yàn)給予了驗(yàn)證.該問題可用于理論力學(xué)課堂教學(xué)，豐富教學(xué)內(nèi)容，增強(qiáng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力.

節(jié)拍器，動(dòng)量矩定理，耦合，同步

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是理論力學(xué)教學(xué)基本內(nèi)容，可用于分析求解質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題，在運(yùn)動(dòng)特性分析方面有獨(dú)特的作用[1].在理論力學(xué)的教學(xué)中，很多教材都介紹了在慣性參考系下對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理和相對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理[25]；一些教改論文還對(duì)相對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用做了深入地探討[58]，相對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理易用于研究某些實(shí)際問題[2,5,910].目前，在理論力學(xué)教材中，或在課堂教學(xué)中，均有關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量 (矩)定理應(yīng)用的實(shí)例.若進(jìn)一步補(bǔ)充既有動(dòng)力學(xué)建模，又有數(shù)值仿真和實(shí)物實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用實(shí)例，則更有助于提高學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)以及分析問題和解決問題的能力.

本文以多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)(如圖1所示)作為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量(矩)定理的應(yīng)用實(shí)例.首先，根據(jù)單個(gè)節(jié)拍器的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和機(jī)械結(jié)構(gòu)，建立單個(gè)節(jié)拍器簡(jiǎn)化的力學(xué)模型；然后，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理和相對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理建立多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程；最后，通過數(shù)值仿真和實(shí)物實(shí)驗(yàn)再現(xiàn)并分析該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的同步現(xiàn)象.

圖1 三個(gè)節(jié)拍器耦合系統(tǒng)

1 系統(tǒng)的力學(xué)模型及其動(dòng)力學(xué)方程

1.1 單個(gè)節(jié)拍器的力學(xué)模型及其動(dòng)力學(xué)方程

設(shè)節(jié)拍器的擺桿為相對(duì)其支座轉(zhuǎn)軸O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體(圖2所示)，其中：支座質(zhì)量為mt，擺桿質(zhì)量為mR，擺桿質(zhì)心為點(diǎn)C，偏心距為L(zhǎng)，繞O軸的回轉(zhuǎn)半徑為ρ，擺桿與鉛垂線的夾角為θ.

根據(jù)節(jié)拍器的結(jié)構(gòu)特性和節(jié)拍器的實(shí)物實(shí)驗(yàn)可知，當(dāng)擺桿在某些范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，節(jié)拍器的擒縱機(jī)構(gòu)會(huì)對(duì)擺桿施加一個(gè)驅(qū)動(dòng)力矩MD，其數(shù)學(xué)模型可簡(jiǎn)化為

圖2 節(jié)拍器模型

式中β2＞β1＞0,MOD為常量.

若 β1=0,式 (1)所示模型與文獻(xiàn)[11-12]給出的模型相同.但我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)節(jié)拍器擺桿的擺角較小時(shí)，驅(qū)動(dòng)力矩MD為零.

擺桿還受到阻力矩作用，將其視為線性阻尼力矩[11-12]

式中ci為阻尼系數(shù).

若節(jié)拍器支座固定不動(dòng)，則應(yīng)用對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，可得到擺桿的動(dòng)力學(xué)方程

1.2 多個(gè)節(jié)拍器運(yùn)動(dòng)耦合的力學(xué)模型及其動(dòng)力學(xué)方程

設(shè)多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)由n個(gè)節(jié)拍器與一個(gè)質(zhì)量為mT的平移滑板固連而成，如圖3所示.滑板放置在兩個(gè)小輪(忽略其質(zhì)量)上，滑板質(zhì)心CO的水平坐標(biāo)為x，其上受到水平阻尼力[1112]FR=?cR˙x的作用(cR為滑板的阻尼系數(shù)).

圖3 多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)模型

應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，可得該耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程(動(dòng)量形式)

根據(jù)相對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，擺桿i繞軸Oi轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中PMOi為作用在擺桿i上所有外力對(duì)Oi軸之矩的代數(shù)和；MIOi是牽連慣性力?mRiaOi對(duì)Oi軸之矩 (aOi為滑板的加速度)，該力矩體現(xiàn)了節(jié)拍器間的慣性耦合.由上式可得第i個(gè)節(jié)拍器擺桿的動(dòng)力學(xué)方程

式(4)和式(6)為該多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.

2 數(shù)值仿真算例

系統(tǒng)參數(shù):mR=0.1kg,mt=mT=0.2kg,ρi=0.02m,Li=6.5mm,β2=0.2rad,β1=0.1rad,ci=2.0 × 10?5N·m·s/rad,cR=1.0 × 10?5N·s/m,MODi=1.5N·mm.

算例1 單個(gè)節(jié)拍器的動(dòng)力學(xué)仿真

設(shè)單個(gè)節(jié)拍器固定放置在水平地面上，擺桿的初始條件為θ0=0.6rad,˙θ0=0.0rad/s.情況1：節(jié)拍器無擾動(dòng)力矩作用；情況2：節(jié)拍器在t∈[0.7,1.7]時(shí)受到擾動(dòng)力矩 Md=0.002N·m 的作用.圖 4給出了上述兩種情況下擺桿擺角的時(shí)間歷程.圖中虛線為無擾動(dòng)力矩作用時(shí)擺桿擺角的運(yùn)動(dòng)情況，實(shí)線為有擾動(dòng)力矩作用時(shí)擺桿擺角的運(yùn)動(dòng)情況.由圖可見，擾動(dòng)力矩的作用改變了擺桿振動(dòng)的振幅和相位.在這兩種情況下，由于阻尼的作用，擺桿的振幅逐步趨于相同，但引起了相位差.數(shù)值仿真單擺的振幅和周期與實(shí)物實(shí)驗(yàn)吻合.

圖4 單個(gè)節(jié)拍器擺角的時(shí)間歷程

算例2 多個(gè)節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)仿真

設(shè)n個(gè)節(jié)拍器固定放置在可沿水平方向平移的滑板上，滑板和節(jié)拍器的參數(shù)同上.

當(dāng)n=2時(shí)，設(shè)初始條件分別為θ01=0.6rad，˙θ01=0.0rad/s，θ02=?0.3rad,˙θ02=0.0rad/s.圖 5(a)為 θ1(實(shí)線)和 θ2(虛線)的時(shí)間歷程，圖5(b)為兩個(gè)擺桿的擺角相位差 Δθ=θ1?θ2的時(shí)間歷程.可見兩個(gè)節(jié)拍器的運(yùn)動(dòng)最終實(shí)現(xiàn)了同步.初始時(shí)段，擺桿運(yùn)動(dòng)不同步，作用在其桿上的力矩和也不同，如圖5(c)所示(實(shí)線為M1的時(shí)間歷程，虛線為M2的時(shí)間歷程)；在該力矩的作用下，使得擺桿的擺角不斷調(diào)整，經(jīng)過一段時(shí)間后，兩個(gè)擺桿的運(yùn)動(dòng)達(dá)到了同步，此時(shí)作用在其上的M1和M2也相同，如圖5(d)所示，進(jìn)而保持了系統(tǒng)的同步運(yùn)動(dòng).

圖5 2個(gè)節(jié)拍器耦合系統(tǒng)

當(dāng)n=3時(shí)，初始角度分別為：θ01=0.6rad，θ02=?0.4rad，θ03=?0.5rad，初始角速度均為零.圖6給出了數(shù)值仿真的時(shí)間歷程，由該圖可知，3個(gè)節(jié)拍器最終達(dá)到同步運(yùn)動(dòng)，圖1為3個(gè)節(jié)拍器達(dá)到同步時(shí)的實(shí)驗(yàn)照片.上述仿真結(jié)果均與實(shí)物實(shí)驗(yàn)的運(yùn)動(dòng)特性吻合.

圖6 3個(gè)節(jié)拍器耦合系統(tǒng)Φ的時(shí)間歷程圖

值得指出的是，多個(gè)節(jié)拍器耦合系統(tǒng)有豐富的動(dòng)力學(xué)行為.兩個(gè)節(jié)拍器的耦合系統(tǒng)，不僅有同向同步 (如本文給出的運(yùn)動(dòng))，還會(huì)有反向同步；三個(gè)節(jié)拍器的耦合系統(tǒng)還會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)；具體是哪種運(yùn)動(dòng)形式，與系統(tǒng)的參數(shù)有關(guān)，也與系統(tǒng)的初始條件有關(guān)；詳細(xì)仿真與分析可參閱文獻(xiàn)[11-12].

本文將多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)作為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量(矩)定理的應(yīng)用實(shí)例，在課堂教學(xué)的實(shí)施過程中有以下特點(diǎn)：(1)該系統(tǒng)易于在課堂上演示，其力學(xué)現(xiàn)象易激發(fā)學(xué)生的興趣；(2)通過講解該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模過程，有助于進(jìn)一步提高學(xué)生分析和解決問題的能力；(3)通過數(shù)值仿真與實(shí)物實(shí)驗(yàn)在課堂上的演示與對(duì)比，可說明模型建立的合理性.綜上所述，在課堂教學(xué)中講解該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與仿真分析過程，在某種程度上能讓學(xué)生體會(huì)解決實(shí)際問題的全過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力和綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

1賈書惠,質(zhì)系動(dòng)量矩定理應(yīng)用二例.力學(xué)與實(shí)踐，2003,25(5):64-66

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8梅鳳翔，關(guān)于對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理——理論力學(xué)札記之八.力學(xué)與實(shí)踐,2011,33(3):67-69

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O313

A

10.6052/1000-0879-17-337

2017–09–28收到第1稿，2017–11–08 收到修改稿.

1)王曉軍，副教授，主要研究方向?yàn)閯?dòng)力學(xué)與控制.E-mail:wangxiaojunpz@163.com

2)呂敬,通訊作者，副教授，主要研究方向?yàn)閯?dòng)力學(xué)與控制.E-mail:lvjing@buaa.edu.cn

王曉軍,呂敬,王琪.多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與分析——?jiǎng)恿?矩)定理的應(yīng)用.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(6):606-609

Wang Xiaojun,Lu¨ Jing,Wang Qi.Dynamic modeling and analysis of multi-metronome coupling systems—application of momentum(angular momentum)theorem.Mechanics in Engineering,2017,39(6):606-609

(責(zé)任編輯:胡 漫)