數(shù)學(xué)老師和他的學(xué)生

遼寧撫順市四方高級(jí)中學(xué)(113122) 孟慶杰

數(shù)學(xué)老師和他的學(xué)生

遼寧撫順市四方高級(jí)中學(xué)(113122) 孟慶杰

一、數(shù)學(xué)老師教會(huì)學(xué)生的方案

1.學(xué)生眼中的數(shù)學(xué)老師

學(xué)生眼中的數(shù)學(xué)老師非?！皞ゴ蟆?因?yàn)楹孟袼裁炊紩?huì).講課時(shí)常說(shuō):這個(gè)問(wèn)題很容易,因?yàn)椤?所以…就解決了.有時(shí)我們還沒(méi)弄清題設(shè)和結(jié)論,老師就解答完了(其實(shí)老師有多年經(jīng)驗(yàn),這個(gè)問(wèn)題可能講過(guò)多次,而且課前已經(jīng)備過(guò),再有老師常用綜合法…).上課提問(wèn)時(shí)常說(shuō):提問(wèn)一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題或提問(wèn)一個(gè)你能會(huì)的問(wèn)題.有時(shí)老師提問(wèn)的我們很多都不會(huì),甚至不知道老師問(wèn)什么(其實(shí)這個(gè)問(wèn)題可能是老師備課時(shí)設(shè)計(jì)好的非常熟悉).我們問(wèn)老師問(wèn)題時(shí),老師常說(shuō):這個(gè)題都不會(huì)?這個(gè)題不是我剛講過(guò)嗎?我們問(wèn)就是不會(huì),老師講過(guò)的題有許多我們都不會(huì)(其實(shí)老師不了解你們).考數(shù)學(xué)時(shí),我們要是數(shù)學(xué)老師就好了(其實(shí)老師不比你們聰明,只是老師對(duì)數(shù)學(xué)概念公式等理解深刻,數(shù)學(xué)題比你們做得多).總之,對(duì)待數(shù)學(xué)問(wèn)題老師的眼神好像是小學(xué)算數(shù)1+2,而我們好像是數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)研究的1+2.

2.數(shù)學(xué)老師眼中的學(xué)生

數(shù)學(xué)老師眼中的學(xué)生好像很“渺小”,因?yàn)楹孟袼麄兪裁炊疾粫?huì).講課時(shí)感到:這個(gè)定義講了多遍他們還是不理解…(其實(shí)這個(gè)定義老師講過(guò)多年,而學(xué)生是一張白紙).上課提問(wèn)時(shí):怎么啟發(fā)他們都不會(huì)…(其實(shí)問(wèn)題是老師備課時(shí)設(shè)計(jì)好的,而學(xué)生無(wú)準(zhǔn)備或前面的沒(méi)聽(tīng)懂后面的也不會(huì)).學(xué)生問(wèn)的問(wèn)題:就是公式的直接應(yīng)用或簡(jiǎn)單變形應(yīng)用,他們都不會(huì)…(其實(shí)老師對(duì)公式的正用、逆用和變形用非常熟悉,而學(xué)生剛學(xué)公式,有時(shí)對(duì)公式中字母的含義都不清楚).每個(gè)數(shù)學(xué)老師都希望他的學(xué)生:一講就會(huì),一問(wèn)就答會(huì),一算就對(duì),一考就滿分…,要想達(dá)到這種效果,老師必須了解學(xué)生的認(rèn)知水平,不斷的研究探索適合學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的教學(xué)法.

3.數(shù)學(xué)老師教會(huì)學(xué)生的方案

(1)備課

①備基礎(chǔ)再現(xiàn),即找出本節(jié)涉及到的學(xué)過(guò)的基礎(chǔ)知識(shí)或可能影響新知識(shí)學(xué)習(xí)的學(xué)過(guò)的知識(shí).

②考慮學(xué)生的認(rèn)知水平,把課備到熟時(shí)似生的境界.

大數(shù)學(xué)家希爾伯特的老師富克斯,在課堂上現(xiàn)想現(xiàn)推,常把自己置于危險(xiǎn)的境地,然后再走出來(lái),這使他的學(xué)生“得到一個(gè)機(jī)會(huì),瞧一瞧最高超的數(shù)學(xué)思維的實(shí)際過(guò)程”.如果數(shù)學(xué)老師能考慮學(xué)生的認(rèn)知水平,適當(dāng)?shù)挠袦?zhǔn)備的學(xué)生看不出來(lái)的設(shè)計(jì)一條或兩條錯(cuò)路(或?qū)W生可能走錯(cuò)的路),然后再走回正路(有可能是學(xué)生發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)路讓你走回來(lái),這是最好的,達(dá)到了預(yù)期效果.),把思考問(wèn)題的全過(guò)程展現(xiàn)給學(xué)生看,那么你的學(xué)生不僅學(xué)會(huì)解題,更重要的是學(xué)會(huì)分析和思考問(wèn)題的方法.因此備課不在于把教材背熟,而在于設(shè)法讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)思維的全過(guò)程.備課很熟(老師教起來(lái)容易,學(xué)生聽(tīng)起來(lái)高高在上,與學(xué)生的認(rèn)知水平銜接不上)不是最好目標(biāo),備課備到熟時(shí)似生才是最高境界.這個(gè)“生”是“熟”的基礎(chǔ)上的“生”,即對(duì)所教內(nèi)容好像第一次接觸一樣有新奇感(這可以感染學(xué)生)、有一個(gè)從未知到已知的過(guò)程(這是學(xué)生需要的)、有一種逐步獲取知識(shí)的體驗(yàn)(這與學(xué)生認(rèn)知水平接近,學(xué)生容易學(xué)到知識(shí)).

③精選漸近反復(fù)試題,試題以教材為主課外為輔.

“反復(fù)”就是學(xué)過(guò)定義解題,會(huì)解題后總結(jié)由定義能解決什么問(wèn)題,這是第一次反復(fù)(一般是定義的直接應(yīng)用,學(xué)生模仿老師可以解決).總結(jié)好解題方法后再做題,會(huì)做題后再總結(jié)由定義能解決什么問(wèn)題,這是第二次反復(fù)(一般是定義的逆用和變形用,課堂上讓學(xué)生研討交流可以完成).每一次反復(fù)都是螺旋式提高,所以叫“漸近”.第三次反復(fù)是課后作業(yè),用課堂總結(jié)的方法,獨(dú)立完成老師精選的試題;完成作業(yè)后必須總結(jié)由定義能解決什么問(wèn)題,或什么問(wèn)題可以用定義解決,將總結(jié)的方法寫在作業(yè)本上一起上交,老師將選擇較好的方法在班級(jí)固定位置展示(這是定義正用、逆用和變形用的綜合).一節(jié)課完成了兩個(gè)反復(fù),加上作業(yè)完成三個(gè)反復(fù)(這是數(shù)學(xué)初級(jí)),這足可以學(xué)會(huì)本節(jié)知識(shí).而數(shù)學(xué)老師已經(jīng)達(dá)到了四個(gè)反復(fù)(定義深層次的內(nèi)涵及綜合,這是數(shù)學(xué)中級(jí))或五個(gè)反復(fù)(定義的外延及綜合,這是數(shù)學(xué)高級(jí))或更多的反復(fù).

④考慮一下講課或提問(wèn)時(shí)的語(yǔ)氣、語(yǔ)調(diào)及學(xué)生愛(ài)聽(tīng)或聽(tīng)起來(lái)舒服的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.

(2)基礎(chǔ)再現(xiàn)

法國(guó)生物學(xué)家貝爾納說(shuō)過(guò):妨礙學(xué)習(xí)的最大障礙,并不是未知的東西,而是已知的東西.基礎(chǔ)再現(xiàn)的目的就是掃清學(xué)習(xí)新知識(shí)的障礙.把本節(jié)涉及到的學(xué)過(guò)的知識(shí),以試題的形式在上課的前一天發(fā)給學(xué)生,要求必須完成,這不僅能掃清學(xué)習(xí)障礙,還能讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)方法.

(3)上課

①講課時(shí)老師多用分析法,少用綜合法.適當(dāng)?shù)陌丛O(shè)計(jì)好的走一條或兩條錯(cuò)路,再走回來(lái),讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)思維的全過(guò)程.

②講完定義,老師按定義做題,然后學(xué)生模仿開(kāi)始漸近反復(fù)訓(xùn)練.

③老師講課提問(wèn)注意教學(xué)語(yǔ)言.

(4)課后作業(yè)即第三次反復(fù).

二、具體實(shí)施教會(huì)學(xué)生的方案

以高中數(shù)學(xué)人教B版數(shù)學(xué)選修2-1“2.2.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”為例,具體說(shuō)明教會(huì)學(xué)生的方案.

1.備課

除常規(guī)備課外,重點(diǎn)放在(1)找出橢圓一節(jié)的基礎(chǔ)再現(xiàn);(2)精心設(shè)計(jì)兩條錯(cuò)路,讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)思維的過(guò)程.有準(zhǔn)備的走錯(cuò)路和不知路線走錯(cuò)路,在感覺(jué)、語(yǔ)言、表情等方面是有很大區(qū)別的.如果讓學(xué)生看不出來(lái),好像就是第一次接觸,那就是教學(xué)藝術(shù);(3)備好漸近反復(fù)試題;(4)想好教學(xué)語(yǔ)言.

2.基礎(chǔ)再現(xiàn)

這些問(wèn)題你還會(huì)嗎?老師相信你能完成下列問(wèn)題:

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程的一般步驟是____;

(2)已知點(diǎn)A(a,?b)和B(x,y),則|AB|=____;

(6)你還記得待定系數(shù)法嗎?請(qǐng)用你自己的語(yǔ)言敘述___.

3.上課

推導(dǎo)完橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程后,進(jìn)行第一次反復(fù)訓(xùn)練.老師示范解如下問(wèn)題:

例1.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

例2.求下列方程表示的橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo):

學(xué)生模仿解如下問(wèn)題:

(1)求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

①焦點(diǎn)坐標(biāo)為(?5,0)和(5,0),橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離的和是26;

(2)求下列方程表示的橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo):

做完上述試題后,學(xué)生按下列提綱總結(jié)并且寫在筆記本上:

(1)什么條件下可以求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(包括坐標(biāo)系);

(2)如何判斷橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上;

(3)已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程你能知道什么?給學(xué)生機(jī)會(huì)展示總結(jié)成果,經(jīng)過(guò)研討、補(bǔ)充得到較完整的解題方法及經(jīng)驗(yàn).

再給出如下問(wèn)題,讓學(xué)生思考、討論、交流等解決,進(jìn)行第二次反復(fù)訓(xùn)練.

(1)已知橢圓方程2x2+4y2=t(t＞0),求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的a、b、c;

(2)設(shè)M是橢圓9x2+25y2=225上一點(diǎn),F1,F2是橢圓的焦點(diǎn).如果點(diǎn)M與焦點(diǎn)F1的距離為4,則點(diǎn)M與焦點(diǎn)F2的距離是___;

(3)已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,?3),作一個(gè)三角形,使它的一個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)F1,另兩個(gè)頂點(diǎn)D、E在橢圓上且邊DE過(guò)焦點(diǎn)F2.如果三角形的周長(zhǎng)是16,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(4)已知B、C是兩個(gè)定點(diǎn),|BC|=8,且△ABC的周長(zhǎng)等于18,試判斷三角形頂點(diǎn)A的軌跡,若軌跡是橢圓,求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

探討解決上述試題后,學(xué)生按下列提綱總結(jié)并且寫在筆記本上:

(1)已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程你能解決什么問(wèn)題?

(2)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程需要幾個(gè)獨(dú)立的條件?你能舉幾個(gè)實(shí)例嗎?

(3)什么條件下動(dòng)點(diǎn)的軌跡可能是橢圓?

(4)舉例說(shuō)明橢圓定義的作用.給學(xué)生機(jī)會(huì)展示總結(jié)成果,經(jīng)過(guò)研討、補(bǔ)充得到較完整的解題方法及經(jīng)驗(yàn).

4.課后作業(yè)即第三次反復(fù)

(1)判斷方程Ax2+By2=1(A,B≠0)所表示的曲線;

(3)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(?1,0)和F2(1,0),點(diǎn)A是橢圓上一點(diǎn)且AF2⊥F1F2.若線段AF1的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(4)設(shè)圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,點(diǎn)A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn),Q為圓周上任意一點(diǎn),AQ的垂直平分線與CQ的連線的交點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的軌跡方程.

完成作業(yè)后,按下列提綱總結(jié)并且寫在作業(yè)本上一起上交:

(1)已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程你都能知道什么?(至少寫出四個(gè))

(2)什么條件下你能求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程?(至少寫出四個(gè))

(3)利用橢圓定義你能解決什么問(wèn)題?(至少寫出三個(gè))

總之,若按上述方案教學(xué),數(shù)學(xué)老師和他的學(xué)生的矛盾就可以解決.解決了矛盾就是學(xué)生學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué),學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)就是學(xué)生能像老師那樣“什么都會(huì)”或超過(guò)老師.