解析幾何最值問題的解題策略

解析幾何最值問題，歷來是新課標(biāo)高考的重要考點.此類問題涉及的知識面較廣，解法靈活多變.常常令考生“望題興嘆”.那么，破解這類問題有何良方？總體上說，主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解.下文舉例說明，供同學(xué)們參考.

一、利用定義，直奔主題

例1已知雙曲線C的兩個焦點分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），雙曲線C上一點P到F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于2.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知定點G（1，2），點D是雙曲線C右支上的動點，求|DF1|+|DG|的最小值.

解析：（1）依題意，得雙曲線C的實半軸長為a=1，半焦距為c=2，

所以其虛半軸長b=c2-a2=3.

又其焦點在x軸上，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y23=1.

（2）由已知，得|DF1|-|DF2|=2，即|DF1|=|DF2|+2，

所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2，當(dāng)且僅當(dāng)G，D，F(xiàn)2三點共線時取等號.

因為|GF2|=（1-2）2+22=5，所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2=5+2，

故|DF1|+|DG|的最小值為5+2.

評注：利用曲線的定義，不僅可以求曲線方程，還可以將圓錐曲線最值問題轉(zhuǎn)化為幾何問題處理.

二、函數(shù)思想，為你著想

例2已知拋物線C的頂點為C（0，0），焦點F（0，1）.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過點F作直線交拋物線C于A，B兩點.若直線AO與BO分別交直線l：y=x-2于M，N兩點，求|MN|的最小值.

解析：（1）由已知可得拋物線的方程為：x2=2py（p>0），且p2=1p=2，

所以拋物線方程是：x2=4y.

（2）設(shè)A（x1，x214），B（x2，x224），所以kAO=x14，kBO=x24，所以AO的方程是：y=x14x，

由y=x14xy=x-2，∴xM=84-x1，

同理由y=x24xy=x-2，∴xN=84-x2，

所以|MN|=1+12|xM-xN|

=2|84-x1-84-x2|

=82|x1-x216-4（x1+x2）+x1x2|（1）

設(shè)AB：y=kx+1，由y=kx+1x2=4y，∴x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4kx1x2=-4，

且|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2=4k2+1，代入（1）得，

|MN|=82|4k2+116-16k-4|=82k2+1|4k-3|，

設(shè)4k-3=t≠0，∴k=3+t4，

①當(dāng)t>0時，|MN|=8225+t2+6t4t

=221+25t2+6t≥22，

所以|MN|的最小值是22；

②當(dāng)t<0時，

|MN|=8225+t2+6t4t=221+25t2+6t=22（5t+35）2+1625≥22×45=825，

所以|MN|的最小值是825，此時t=-253，k=-43；

綜上所述，|MN|的最小值是825.

評注：函數(shù)法是研究數(shù)學(xué)問題的一種最重要的方法，用這種方法求解圓錐曲線的最值問題時，除了重視建立函數(shù)關(guān)系式這個關(guān)鍵點外，還要密切注意所建立的函數(shù)式中的變量是否有限制范圍，并用適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方法（如配方、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等）加以解決.

三、數(shù)形結(jié)合，立竿見影

例3若直線y=x+b與曲線y=3-4x-x2有公共點，則b的最小值是.

解析：由y=3-4x-x2，得（x-2）2+（y-3）2=4（1≤y≤3）.

∴曲線y=3-4x-x2是半圓，如圖所示.

當(dāng)直線y=x+b與圓相切時，|2-3+b|2=2.∴b=1±22.

由圖可知b=1-22.∴b的取值范圍是[1-22，3].

故b的最小值是1-22.

評注：解析幾何中，常利用一些表達(dá)式的幾何意義用圖形直觀助解.或?qū)缀螁栴}轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)問題求解.本例堪稱數(shù)形結(jié)合求最值的典范，如果用純粹的代數(shù)法來解，必“大動干戈”，同學(xué)們可以一試.

四、三角換元，最值速現(xiàn)

例4已知橢圓E：x225+y216=1，點P（x，y）是橢圓上一點.

（1）求x2+y2的最值；

（2）若四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，點A的橫坐標(biāo)為5，點C的縱坐標(biāo)為4，求四邊形面積的最大值.

解析：令x=5cosθy=4sinθ，θ∈[0，2π），

于是x2+y2=25cos2θ+16sin2θ=16+9cos2θ.

又∵cos2θ∈[0，1]，

∴x2+y2的最大值為25，最小值為16.

（2）如圖所示，易知A（5，0）、C（0，4），|AC|=41，

設(shè)B（5cosθ，4sinθ）為橢圓上任一點，

又AC方程為x5+y4=1，即4x+5y-20=0，

所以點B到直線AC的距離為

d1=|20cosθ+20sinθ-20|41

=|202sin（θ+π4）-20|41≤202-2041.endprint

同理可得，點D到直線AC的距離為

d2≤202+2041.

所以四邊形ABCD的最大面積為

S=12|AC|（d1+d2）=202.

評注：三角換元的目的是把目標(biāo)函數(shù)中兩個變量轉(zhuǎn)化為一個角變量，從而把原問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的三角函數(shù)最值問題.

五、建立不等關(guān)系，求出取值范圍

例5已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓x2a2+y2b2=1的兩個焦點，P在橢圓上且滿足PF1·PF2=c2，則此橢圓離心率的最大值是.

解析：將∠F1PF2的余弦值用a和c表示，再依據(jù)三角函數(shù)的有界性建立關(guān)于a和c的不等式.

由橢圓定義得，|PF1|+|PF2|=2a，

兩邊平方得，|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|×|PF2|=4a2①

又PF1·PF2=c2，∴|PF1|×|PF2|cos∠F1PF2=c2②

由余弦定理得，|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2=4c2③

由①②③得：cos∠F1PF2=c22a2-3c2，

因為PF1·PF2=c2>0，所以00，

于是由c22a2-3c2≤1，得2c≤a，故e=ca≤22，

所以此橢圓離心率的最大值是22.

評注：對于此類離心率最值問題，關(guān)鍵是如何建立a，b，c之間的關(guān)系.常用橢圓上的點（x，y）表示成a，b，c，并利用橢圓中x，y的取值來求解范圍問題，也可根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)建立不等關(guān)系，進而將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c之間的不等關(guān)系.

六、幾何性質(zhì)，為我所用

例6已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為.

解析：由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y=-1，過點A作AA1⊥l交l于點A1，過點B作BB1⊥l交l于點B1，設(shè)弦AB的中點為M，過點M作MM1⊥l交l于點M1，則|MM1|=|AA1|+|BB1|2.

因為|AB|≤|AF|+|BF|（F為拋物線的焦點），即|AF|+|BF|≥6，所以|AA1|+|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故點M到x軸的距離d≥2..

評注：解析幾何是“代數(shù)化”了的平面幾何，因此，求解解析幾何問題往往離不開幾何圖形的幾何性質(zhì)，尤其是對于某些最值問題，我們可以抓住圖形特征，將其轉(zhuǎn)化為平面幾何中最值問題.

七、巧妙設(shè)元，合理轉(zhuǎn)化

例7已知點P（x，y）是圓（x+2）2+y2=1上任意一點.

（1）求x2+y2的最大值和最小值；

（2）求y-2x-1的最大值和最小值.

解析：（1）設(shè)t=x2+y2，則t表示與圓（x+2）2+y2=1上的點與原點的距離的平方.而此圓的圓心到原點的距離為2，所以tmax=（2+r）2=（2+1）2=9，tmin=（2-r）2=（2-1）2=1，

所以x2+y2的最大值為9，最小值為1.

（2）設(shè)k=y-2x-1，則k表示圓外定點（1，2）與圓上的點的連線的斜率，直線kx-y-k+2=0與圓相切時，圓心（-2，0）到切線的距離等于半徑，即|-3k+2|1+k2=1，解得k=3±34，數(shù)形結(jié)合可知y-2x-1∈[3-34，3+34].所以y-2x-1的最大值為3+34，最小值為3-34.

評注：本題通過整體換元，將原問題轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點的位置關(guān)系問題，從而利用這個關(guān)系求出字母參數(shù)的取值范圍，來得到目標(biāo)關(guān)系式的最值.破解這類問題的關(guān)鍵是挖掘目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將最值問題等價轉(zhuǎn)化為解析幾何中的有關(guān)位置關(guān)系問題.如：形如u=y-bx-a形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；形如（x-a）2+（y-b）2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離平方的最值問題.

（作者：邵紅，太倉市教師發(fā)展中心）