高考立體幾何基本題型聚焦

王海英

常言道：知己知彼，百戰(zhàn)不殆.在高考中，立體幾何有哪些基本題型呢？本文舉例說明，供同學(xué)們參考.

題型一、判斷命題的真假

給出幾個有關(guān)立體幾何直線與平面位置關(guān)系的命題，要求判斷其真?zhèn)?，這類問題一般在小題中出現(xiàn)，難度不大.

例1設(shè)a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列四個命題

①若a⊥b，a⊥α，則b∥α

②若a∥α，α⊥β，則a⊥β

③若a⊥β，α⊥β，則a∥α

④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β

其中正確的命題的個數(shù)是.

答案：1個；

解析：注意①中b可能在α上；②中a可能在β上，也可能平行于β；③中a可能在α上；④中b∥α，或b∈α均有α⊥β，

故只有一個正確命題.

評注：線線、線面、面面垂直與平行的判定和性質(zhì)定理，是解決此類問題的依據(jù)，實物的簡單演示法、特例法，是解決問題的法寶.

題型二、計算幾何體的體積

計算旋轉(zhuǎn)體、椎體、柱體或其組合體的體積或體積比，一般以小題形式出現(xiàn)，或出現(xiàn)在解答題中，難度中等或中等偏上.

例2（1）如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設(shè)三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1∶V2=.

（2）已知△ABC的三邊長分別是AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.

解析：（1）三棱錐FADE與三棱錐A1ABC的相似比為1∶2，故體積之比為1∶8.又因三棱錐A1ABC與三棱柱A1B1C1ABC的體積之比為1∶3.所以，三棱錐FADE與三棱柱A1B1C1ABC的體積之比為1∶24.

（2）如圖，在△ABC中，過C作CD⊥AB，垂足為D.

由AC=3，BC=4，AB=5，知AC2+BC2=AB2，則AC⊥BC.

∵BC·AC=AB·CD，∴CD=125，記為r=125，那么△ABC以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個同底的圓錐，且底半徑r=125，母線長分別是AC=3，BC=4，所以S表面積=πr·（AC+BC）=π×125×（3+4）=845π，

V=13πr2（AD+BD）=13πr2·AB=13π×（125）2×5=485π.

所以，所求旋轉(zhuǎn)體的表面積是845π，體積是485π.

評注：（1）求組合體的表面積與體積的關(guān)鍵是弄清組合體中各簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征及組合形式，對于與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問題，要根據(jù)條件分清各個簡單幾何體的底面半徑及母線長，再分別代入公式求解.（2）對于規(guī)則的幾何體的體積計算，可直接利用體積公式；對于不規(guī)則幾何體的體積問題，通常通過“割”與“補”的方法，將其轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則幾何體的體積的和與差.

題型三、與球有關(guān)的問題

與球有關(guān)的問題包括與球有關(guān)的體積、表面積等問題，一般以小題形式出現(xiàn)，難度不大.尤其是一類與球有關(guān)的切接問題，應(yīng)引起大家的關(guān)注.

1.正四面體的內(nèi)切球

例3若一個正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則S1S2=.

解析：設(shè)正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S1=4·34·a2=3a2，其內(nèi)切球半徑為正四面體高的14，即r=14·63a=612a，因此內(nèi)切球表面積為S2=4πr2=πa26，則S1S2=3a2π6a2=63π.

2.三棱錐的外接球

例4已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點.若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為.

解析：因為V三棱錐OABC=V三棱錐COAB，所以三棱錐OABC體積的最大值即三棱錐COAB體積的最大值，所以當C到平面OAB的距離最大時，即CO⊥平面OAB時，體積最大，設(shè)球的半徑為r，則V三棱錐OABC=V三棱錐COAB=16r3=36，所以r=6，則球O的表面積S=4πr2=144π.

3.四棱錐的外接球

例5正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為.

解析：如圖所示，設(shè)球半徑為R，底面中心為O′且球心為O，

∵正四棱錐PABCD中AB=2，∴AO′=2.

∵PO′=4，∴在Rt△AOO′中，AO2=AO′2+OO′2，∴R2=（2）2+（4-R）2，解得R=94，

∴該球的表面積為4πR2=4π×（94）2=81π4.

評注：“切”“接”問題的處理方法

（1）“切”的處理：解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.

（2）“接”的處理：把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.

題型四、空間平行與垂直關(guān)系的證明

空間平行（垂直）關(guān)系包括線線平行（垂直）、線面平行（垂直）和面面平行（垂直），一般出現(xiàn)在解答題中，以證明題為主，難度中等.

1.空間中的平行問題

例6如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點，求證：

（1）直線EG∥平面BDD1B1；

（2）平面EFG∥平面BDD1B1.

證明：（1）如圖，連接SB，endprint