徑向極化壓電陶瓷管建模與仿真

楊明明，汪焰恩，魏生民，柴衛(wèi)紅，魏慶華

（1. 西北工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院，陜西 西安 710072；2. 西北工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計與集成制造教育部重點實驗室，陜西 西安 710072）

研究與試制

徑向極化壓電陶瓷管建模與仿真

楊明明1,2，汪焰恩1，魏生民1,2，柴衛(wèi)紅1，魏慶華1

（1. 西北工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院，陜西 西安 710072；2. 西北工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計與集成制造教育部重點實驗室，陜西 西安 710072）

基于平面應(yīng)變假設(shè)，推導(dǎo)了徑向極化壓電陶瓷管在外電場作用下形變的計算公式。作為擠壓式噴嘴的執(zhí)行器，徑向極化壓電陶瓷管在與極化方向一致的外電場的作用下主要發(fā)生徑向變形。利用有限元分析軟件ANSYS14.0，對模型進行有限元仿真。利用這兩種方法計算不同結(jié)構(gòu)尺寸的壓電陶瓷管在100 V電壓作用下的內(nèi)壁徑向位移，兩種方法計算結(jié)果之差小于 5%，結(jié)果的一致性，驗證了理論公式的正確性。該理論分析模型可預(yù)測擠壓式壓電噴嘴在外電場作用下的響應(yīng)，指導(dǎo)噴嘴結(jié)構(gòu)設(shè)計，降低噴嘴設(shè)計成本，提高噴嘴結(jié)構(gòu)設(shè)計可靠性和設(shè)計效率。

壓電陶瓷管；理論分析；徑向位移；有限元分析；擠壓式；壓電噴嘴

作為一種新興的快速成形工藝，微滴噴射已在微結(jié)構(gòu)制造、生物制造、功能梯度材料制備等許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。自從美國學(xué)者 Vladimir和Boland于1999年提出“生物打印”（Organ Printing，又譯作“器官打印”）的概念以來[1]，利用快速原型技術(shù)實現(xiàn)生物活性材料的三維打印已成為目前生物制造領(lǐng)域的研究熱點[2-3]。國內(nèi)外研究者已通過改造壓電文件打印機的方法驗證了生物打印的技術(shù)可行性[4-6]。然而，目前文件打印機，特別是打印噴頭很難實現(xiàn)高黏度材料的打印，故重新研發(fā)可打印高黏度生物活性材料的壓電噴嘴對于實現(xiàn)和研究生物打印技術(shù)具有重大意義。

壓電噴墨利用噴嘴上壓電陶瓷（執(zhí)行器）的逆壓電效應(yīng)，在外電場的驅(qū)動下使得噴嘴液腔壁產(chǎn)生機械位移，改變液腔體積，從而在液腔內(nèi)部產(chǎn)生壓力波，利用壓力波驅(qū)動墨水形成液滴，并從噴嘴噴出。按照壓電陶瓷的位置及極化方式的不同，壓電噴嘴包括撞擊式（Push）、彎曲式（Bend）、剪切式（Shear）及擠壓式（Squeeze）四種典型結(jié)構(gòu)[7]。撞擊式和剪切式結(jié)構(gòu)以其結(jié)構(gòu)緊湊，便于集成在多噴嘴噴頭中的特點在當(dāng)前文件打印領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，而擠壓式結(jié)構(gòu)與墨水有較大的接觸面積，可望利用該結(jié)構(gòu)實現(xiàn)高黏度材料的打印。相應(yīng)地，新加坡學(xué)者Li等[8]于2010年研發(fā)了以PET/PTFE材料作為襯底材料的壓電擠壓式噴頭，該噴頭打印黏度可達0.1 Pa·s，大大高于一般商用打印噴頭的黏度上限（大部分商用打印機打印黏度不高于 0.02 Pa·s）。

建立準(zhǔn)確的理論模型是優(yōu)化噴嘴結(jié)構(gòu)、提高打印性能和打印材料范圍的基礎(chǔ)。特別是由于噴嘴尺寸通常非常小（特征尺寸1～100 μm），且液滴生成時間很短，這使得實驗研究噴射原理非常困難且實驗成本昂貴[7]。準(zhǔn)確的理論分析模型可初步預(yù)測壓電噴嘴在外電場作用下的響應(yīng)，從而可以顯著降低噴嘴設(shè)計成本，提高設(shè)計效率。本文針對擠壓式壓電噴嘴，基于平面應(yīng)變假設(shè)，建立了擠壓式壓電噴嘴執(zhí)行器的靜力學(xué)模型，并利用ANSYS14.0商用分析軟件對該執(zhí)行器實施了力學(xué)仿真，驗證了本文所建立模型的正確性。

1 擠壓噴嘴結(jié)構(gòu)及壓電方程

所研究的擠壓式壓電噴嘴結(jié)構(gòu)如圖 1所示，內(nèi)、外徑分別為D1、D2，長度為L0的玻璃（或塑料）襯管內(nèi)充滿墨水，襯管的一端與輸墨管相連接，另一端為直徑為d的噴嘴；套在襯管外部的鋯鈦酸鉛（PZT-5H）壓電陶瓷管長為L，外徑為D3；該陶瓷管的內(nèi)外壁表面均覆蓋有一層很薄的電極，電極層厚度遠(yuǎn)小于壓電陶瓷管厚度，為簡化結(jié)構(gòu)，本文不考慮電極層對壓電陶瓷管變形的影響。壓電陶瓷管沿徑向極化，由電極分布可知外電場方向同樣沿徑向方向。

圖1 壓電噴頭示意圖Fig.1 Sketch diagram of piezoelectric nozzle

壓電陶瓷在外加電場E的作用下，會產(chǎn)生與電場強度呈線性關(guān)系的機械形變，該現(xiàn)象被稱為逆壓電效應(yīng)。逆壓電效應(yīng)可用壓電方程[8]表示：

為了研究壓電擠壓管運動，還需綜合考慮如下結(jié)構(gòu)和靜電方程[9-10]：

式中：T,S分別是應(yīng)力矢量和應(yīng)變矢量；cE，εs分別是壓電陶瓷短路剛度矩陣及夾持介電常數(shù)矩陣；e為壓電常數(shù)矩陣；u為位移矢量；D是電位移矢量；E，V分別是外電場強度矢量和電勢；ρ為壓電陶瓷密度；?是哈密頓算子；分別為應(yīng)變梯度算符和應(yīng)力散度算符[10]。

壓電陶瓷材料屬性與六方（6mm）點群相似，對于沿z軸極化的壓電陶瓷材料其彈性矩陣cE、壓電矩陣e和介電常數(shù)矩陣εs具有如下形式[9]：

2 理論分析

選取柱坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系，z軸沿著微管中心線并指向噴嘴方向，根據(jù)結(jié)構(gòu)和激勵的特點可作如下假設(shè)：

（1）軸對稱假設(shè)：此時，沿圓周方向的位移為零，且各場變量（如應(yīng)力場、外電場等）與軸向坐標(biāo)無關(guān)。

（2）平面應(yīng)變假設(shè)：通常，為增大驅(qū)動面積，壓電陶瓷管軸向長度L遠(yuǎn)大于徑向尺寸，且外電場方向沿徑向（與軸向垂直），故可假設(shè)壓電陶瓷管屬于平面應(yīng)變問題范疇；此時徑向位移與軸向坐標(biāo)無關(guān)，且軸向位移等于零。

（3）電場E分布與軸向坐標(biāo)z無關(guān)：壓電陶瓷管內(nèi)外表面為等勢面，且軸向尺寸遠(yuǎn)大于徑向大小，故可認(rèn)為外電場在壓電陶瓷管內(nèi)分布與軸向坐標(biāo)無關(guān)。

（4）內(nèi)襯玻璃管壁厚（2～10 mm）遠(yuǎn)小于壓電陶瓷厚度，分析時，可認(rèn)為該內(nèi)襯微管并不影響陶瓷管位移。

如上假設(shè)可寫作：

代入柱坐標(biāo)幾何方程（3）可得：

此時壓電陶瓷管徑向電場的作用下主要做徑向伸縮運動，將式（8）和式（9）及材料矩陣（7）分別代入壓電方程（1）、（2）可得：

從而平衡方程（4）及靜電方程（5）可化簡為：

同時，徑向場強應(yīng)滿足：

方程（8）～（18）即為壓電陶瓷管在外電場作用下的靜力學(xué)模型。

由式（15）知徑向電位移Dr只是徑向坐標(biāo)r的函數(shù)，故式（17）可化簡為：Dr=D0/r，其中D0為常數(shù)，將表達式代入式（15）可得：

聯(lián)立方程（9）、（11）、（12）、（16）和（19）可得徑向位移ur的方程：

求解該方程可得：

C1，C2和D0均為任意常數(shù)。由力學(xué)及靜電邊界條件:壓電陶瓷管內(nèi)壁處(r=r2=D2/2)徑向應(yīng)力Tr等于液腔壓力P（由壓力波在液腔中的傳播規(guī)律決定），外壁自由；場強Er沿徑向積分等于電勢差V，即：

聯(lián)立求解（23）所包含的三個邊界方程組即可求得方程（21）中常數(shù)C1，C2和D0，具體表達式見附錄。

3 計算與仿真實例

為直觀說明壓電陶瓷管在外電場作用下的響應(yīng)并驗證上文推導(dǎo)的理論模型，本文將分別使用所推導(dǎo)理論模型和 ANSYS商用有限元軟件，計算參數(shù)如表1所述壓電陶瓷管徑向形變。

表1 結(jié)構(gòu)尺寸Tab.1 Parameters of structure

PZT-5H壓電陶瓷材料的材料屬性[10]：

將上述參數(shù)代入方程（20），利用符號計算軟件Maple求解參數(shù)C1，C2和D0?？捎嬎愕盟鰤弘娞沾晒茉?00 V電壓作用下ur表達式為：

圖2即為形變ur沿徑向的分布曲線。

圖2 徑向位移沿壁厚分布曲線Fig.2 Curve of radial displacement changing with wall thickness

利用有限元分析軟件ANSYS 14.0對該結(jié)構(gòu)進行計算仿真，選用耦合單元Solid223來完成壓電效應(yīng)的仿真，有限元模型參數(shù)如表 2。利用后處理中的Path方法，可繪制ur關(guān)于徑向坐標(biāo)的分布曲線如圖3所示。圖4為分析所得徑向形變ur的云圖。

表2 ANSYS模型邊界條件Tab.2 ANSYS model boundary conditions

圖3 ANSYS計算徑向位移分布Fig.3 Radial displacement calculated by ANSYS

圖4 徑向位移云圖Fig.4 Contour of radial displacement

比較圖2與圖3，可發(fā)現(xiàn)本文推導(dǎo)理論公式計算的徑向形變分布與 ANSYS有限元分析結(jié)果吻合。壓電陶瓷管內(nèi)壁徑向位移是決定擠壓式壓電噴嘴效率的決定性因素，表 3列出了理論公式與ANSYS有限元方法對內(nèi)壁徑向位移的計算結(jié)果，可以看出兩者之差小于 5%，進一步驗證了所推導(dǎo)模型的正確性。

表3 內(nèi)壁徑向位移Tab.3 Radial displacement of inner wall

4 結(jié)論

本文基于平面應(yīng)變假設(shè)，推導(dǎo)了作為擠壓式噴嘴執(zhí)行器的壓電陶瓷管在徑向電場作用下徑向形變計算表達式。利用有限元計算軟件ANSYS14.0，對模型進行有限元仿真，兩種方法的計算結(jié)果之差小于 5%，結(jié)果的一致性，驗證了理論建模的正確性。該理論模型的建立對于提高壓電噴嘴性能和優(yōu)化噴嘴結(jié)構(gòu)具有重要意義。

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Modeling and simulation of radial polarized piezo tube

YANG Mingming1,2, WANG Yanen1, WEI Shengmin1,2, CHAI Weihong1, WEI Qinghua1
(1. School of Mechatronics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China; 2. The Laboratory of Contemporary Design and Integrated Manufacturing Technology, Ministry of Education, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

Based on plane strain hypothesis, radial displacement formula of polarized piezo ceramic cylinder excited by radial electric field was derived. Radial polarized piezo ceramic cylinder, which is actuator of squeeze-mode piezoelectric inkjet printhead, perform mainly radial deformation under radial external electric field. Finite element (FE) simulation was also carried out using the software of ANSYS 14.0. Inner surface radial displacements of different piezo tubes were analyzed using the two methods at 100 V. The difference between results of the analytic formula and FE simulation is less than 5%. Consistent results of two different methods verify qualification of the derived formula. The analytic model could be used to predict the response of squeeze-mode inkjet printer under external electric field, reduce design costs and improve design reliability and efficiency.

piezo tube; theoretic analysis; radial deformation; finite element simulation; squeeze-mode; piezoelectric printhead

10.14106/j.cnki.1001-2028.2018.01.005

TM28

A

1001-2028（2018）01-0023-05

國家自然科學(xué)基金資助項目（51175432）；教育部高校博士點專項科研基金資助項目（20116102110046）；中央高?；A(chǔ)研究基金資助項目（3102014JCS05007）；陜西省工業(yè)科技攻關(guān)項目（2015GY047）；西北工業(yè)大學(xué)博士論文創(chuàng)新基金資助（201213）

2017-10-08

汪焰恩

汪焰恩（1976－），男，江西婺源人，教授，主要從事人工骨設(shè)計與快速成型、計算機輔助數(shù)值分析；楊明明（1988－），男，甘肅天水人，博士研究生，主要從事生物壓電打印工藝的研究。

附錄：

ur方程中常數(shù)C1，C2和D0計算公式：

其中：

曾革）