控制系統(tǒng)延遲對(duì)軸扭振的影響

程天威, 王 爽, 楊 影

(上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院,上海 200072)

控制系統(tǒng)延遲對(duì)軸扭振的影響

程天威, 王 爽, 楊 影

(上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院,上海 200072)

控制系統(tǒng)中的軸扭振會(huì)引起系統(tǒng)控制量的振蕩,加大機(jī)械傳動(dòng)裝置磨損，甚至?xí)?dǎo)致傳動(dòng)軸斷裂。在工業(yè)應(yīng)用中，多采用陷波濾波器抑制軸扭振，而陷波頻率的選取通常未考慮控制系統(tǒng)延遲因素?；陔姍C(jī)角速度增量、軸轉(zhuǎn)矩增量和電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩增量的相位圖，分析了控制系統(tǒng)延遲對(duì)軸扭振頻率的影響。仿真結(jié)果對(duì)分析結(jié)論給予了驗(yàn)證。

控制系統(tǒng)；軸扭振；陷波頻率；延遲

0 引 言

目前電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)多為兩質(zhì)量或三質(zhì)量系統(tǒng)，主要包括控制器、驅(qū)動(dòng)器、電動(dòng)機(jī)和機(jī)械傳動(dòng)裝置等。其中常用到的傳動(dòng)軸、變速器和聯(lián)軸器等機(jī)械傳動(dòng)裝置不是理想剛體。隨著應(yīng)用工況對(duì)電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的要求越來(lái)越高，系統(tǒng)頻帶逐漸增寬。當(dāng)兩質(zhì)量機(jī)械傳動(dòng)裝置的固有諧振頻率落在系統(tǒng)帶寬內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)便會(huì)產(chǎn)生諧振。如果此時(shí)的固有諧振頻率信號(hào)沒有得到有效地衰減，系統(tǒng)中就會(huì)出現(xiàn)持續(xù)的諧振現(xiàn)象。長(zhǎng)時(shí)間工作在這種諧振狀態(tài)，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能惡化和零部件壽命縮短，甚至?xí)箓鲃?dòng)軸斷裂[1]。

對(duì)速度指令加一個(gè)低通濾波器是一種避免軸扭振的方法，但這會(huì)降低伺服系統(tǒng)的頻響帶寬[2]?；谙莶V波器的軸扭振抑制方法能夠衰減指定頻率的幅值而對(duì)其他頻率沒有影響[3-5]。在包含彈性機(jī)械傳動(dòng)裝置的轉(zhuǎn)速電流閉環(huán)系統(tǒng)中，將陷波濾波器串入速度控制環(huán)路中，對(duì)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器輸出的電流環(huán)給定信號(hào)進(jìn)行陷波處理，從而抑制電機(jī)電流的振蕩，進(jìn)而達(dá)到抑制軸扭振的目的[6]。陷波濾波器的抑制效果主要取決于陷波頻率選取。如果設(shè)計(jì)的陷波頻率出現(xiàn)偏差，會(huì)影響軸扭振的抑制效果，嚴(yán)重時(shí)甚至不再適用[7]。

兩質(zhì)量系統(tǒng)中的控制環(huán)節(jié)包括轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器、電流調(diào)節(jié)器和測(cè)速環(huán)節(jié)等。通常分析的軸扭振頻率是由兩質(zhì)量機(jī)械傳動(dòng)裝置得出的，并沒有考慮控制環(huán)節(jié)的影響?，F(xiàn)代電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)是數(shù)字控制系統(tǒng)，其以離散時(shí)間步長(zhǎng)方式運(yùn)行。離散時(shí)由存儲(chǔ)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的采樣-保持延遲、由執(zhí)行控制律需要時(shí)間產(chǎn)生的計(jì)算延遲和由位置估計(jì)速度產(chǎn)生的速度估計(jì)延遲，都可能會(huì)對(duì)軸扭振產(chǎn)生影響，其中延遲的作用可以用相位滯后量來(lái)表示[8]。

本文基于電磁轉(zhuǎn)矩增量相對(duì)于角速度增量的相位關(guān)系，開展了研究控制系統(tǒng)延遲對(duì)軸扭振的影響分析。由于電流環(huán)的采樣頻率相比于轉(zhuǎn)速環(huán)很快，所以本文著重分析由數(shù)字控制在轉(zhuǎn)速環(huán)中引入的延遲對(duì)軸扭振的影響。

1 兩質(zhì)量系統(tǒng)中的軸扭振

對(duì)兩質(zhì)量機(jī)械傳動(dòng)裝置建模時(shí)，可將機(jī)械傳動(dòng)裝置認(rèn)為是一個(gè)具有機(jī)械阻尼特性的彈簧，而電機(jī)側(cè)和負(fù)載側(cè)可分別簡(jiǎn)化為具有一定慣量的剛體，如圖1所示。

圖1 兩質(zhì)量機(jī)械傳動(dòng)裝置模型

其中：JM——電機(jī)側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

JL——負(fù)載側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

DS——阻尼系數(shù)；

KS——?jiǎng)偠认禂?shù)；

Δθ——軸扭轉(zhuǎn)角；

TS——軸轉(zhuǎn)矩；

TM——電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩；

TL——負(fù)載轉(zhuǎn)矩；

ωM——電機(jī)角速度；

ωL——負(fù)載角速度。

由圖1可得軸轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

由于系統(tǒng)的阻尼系數(shù)較小，在忽略阻尼系數(shù)后，根據(jù)式(1)可得兩質(zhì)量機(jī)械傳動(dòng)裝置模型結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，其中TD為電機(jī)動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)矩。

圖2 兩質(zhì)量機(jī)械傳動(dòng)裝置模型結(jié)構(gòu)圖

即:TM-TS=TD；TD=JMSωM

(2)

由式(3)可計(jì)算出固有諧振頻率為

(4)

2 延遲對(duì)軸扭振的影響分析

將由數(shù)字控制引入的延遲等效到反饋通道上，可得延遲的傳遞函數(shù)為

(5)

其中τ為延遲時(shí)間。

式中：G(s)——延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；

C(s)——延遲環(huán)節(jié)的輸出量；

R(s)——延遲環(huán)節(jié)的輸入量。

當(dāng)延遲時(shí)間很小時(shí)，常把它展開成泰勒級(jí)數(shù)，并略去高次項(xiàng)：

(6)

由式(6)可得含有延遲的閉環(huán)系統(tǒng)框圖，如圖3所示。其中轉(zhuǎn)速環(huán)采用PI調(diào)節(jié)器，傳遞函數(shù)為

(7)

圖3 含有延遲的閉環(huán)系統(tǒng)框圖

由圖3可得包含延遲的從電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩到電機(jī)角速度的傳遞函數(shù)為

式中：KP——轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器的比例系數(shù)；

KI——轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器的積分系數(shù)。

用jω代替s，可得延遲的傳遞函數(shù)為

(9)

轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器ASR的輸入是轉(zhuǎn)速偏差，在用小信號(hào)分析扭振時(shí)為-ΔωM。由圖3可知，此時(shí)ΔTM相對(duì)于-ΔωM的總相位滯后角為轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器本身引入的相位滯后角與延遲引入的相位滯后角之和：

α=θASR+θDelay(10)

其中：轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器本身引入的相位滯后角與延遲引入的相位滯后角分別為

(11)

θDelay=arctan(ωτ)(12)

分析式(11)與式(12)可知0<θASR<90°、0<θDelay<90°，進(jìn)而可知0<α<180°。

為便于分析延遲對(duì)軸扭振的影響，引入延遲系數(shù)D。延遲系數(shù)D與延遲時(shí)間τ和固有諧振頻率f0的關(guān)系如下：

(13)

將式(13)代入式(12)可得

(14)

分析式(14)可知，軸扭振頻率f和固有諧振頻率f0是一個(gè)數(shù)量級(jí)的，延遲的引入使得總相位滯后角α受延遲系數(shù)D的影響很大。接下來(lái)分析總相位滯后角α對(duì)軸扭振的影響。

利用機(jī)電模擬法，將剛度系數(shù)KS等效成電感，電機(jī)側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JM和負(fù)載側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JL等效成電容，阻尼系數(shù)DS等效成電阻，電機(jī)角速度ωM和負(fù)載角速度ωL等效成電壓，電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩TM、負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL和軸轉(zhuǎn)矩TS等效成電流源，如圖4所示。

圖4 等效電路圖

軸扭振發(fā)生后，軸轉(zhuǎn)矩的振蕩導(dǎo)致電機(jī)角速度振蕩，然后通過電機(jī)電勢(shì)振蕩或轉(zhuǎn)速電流閉環(huán)系統(tǒng)的控制，造成電機(jī)電流和電磁轉(zhuǎn)矩振蕩。

將式(2)改寫為增量方程，并用jω代替s，可得到兩質(zhì)量機(jī)械傳動(dòng)裝置的頻率特性為

(15)

通常大型設(shè)備運(yùn)行時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩基本不變或變化慢，在分析軸扭振時(shí)可認(rèn)為ΔTL=0。由圖4可知，在ΔTL=0的條件下，相當(dāng)于負(fù)載電流源支路開路，再用jω代替s，可得

(16)

在軸扭振發(fā)生時(shí)，兩質(zhì)量機(jī)械傳動(dòng)裝置處于諧振狀態(tài)，此時(shí)電機(jī)角速度增量ΔωM、電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩增量ΔTM和軸轉(zhuǎn)矩增量ΔTS，都是以諧振頻率進(jìn)行振蕩的正弦波。由式(16)可知，ΔωM的幅值與ΔTS的幅值成比例，相位超前90°，而由式(15)可知，ΔTM的幅值與ΔTS的幅值成比例，所以ΔTM的幅值與ΔωM的幅值也成比例。在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，控制系統(tǒng)延遲和轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器本身會(huì)引入一定的相位滯后角，使ΔTM相位滯后于-ΔωM相位。

為了便于分析，這里將ΔTM進(jìn)行分解，可得

(17)

把式(17)代入式(15)中，化簡(jiǎn)可得

(18)

由式(18)可知兩質(zhì)量機(jī)械傳動(dòng)裝置的諧振頻率為

(19)

由式(19)可知系數(shù)λM.1使兩質(zhì)量機(jī)械傳動(dòng)裝置的諧振頻率fres偏離固有諧振頻率f0，有以下3種情況：

(1) 若系數(shù)λM.1>0，則fres>f0。

(2) 若系數(shù)λM.1=0，則fres=f0。

(3) 若系數(shù)λM.1<0，則fres

由式(15)和式(16)可得ΔTM、ΔωM和ΔTS間的相位圖，如圖5所示。由圖5中ΔTM.2與ΔωM相位關(guān)系可知有以下3種情況：

圖5 相位圖

(1) 當(dāng)ΔTM.2與ΔωM方向相反時(shí)，ΔωM的振蕩幅度會(huì)被ΔTM.2衰減，系統(tǒng)呈現(xiàn)衰減振蕩。

(2) 當(dāng)ΔTM.2與ΔωM方向相同時(shí)，ΔωM的振蕩幅度會(huì)被ΔTM.2增強(qiáng)，系統(tǒng)呈現(xiàn)發(fā)散振蕩。

(3) 當(dāng)ΔTM.2等于零時(shí)，ΔωM的振蕩幅度不會(huì)被ΔTM.2影響，系統(tǒng)呈現(xiàn)等幅振蕩。

由0<α<180°可知ΔTM位于第3象限或第2象限。由圖5可得當(dāng)ΔTM位于第3象限，有λM.1>0和λM.2>0。由系數(shù)λM.1>0可知fres>f0。由式(17)可知ΔTM.2的值取決于λM.2，當(dāng)系數(shù)λM.2>0時(shí)，ΔTM.2與ΔωM方向相反，系統(tǒng)引入阻尼，ΔωM呈現(xiàn)衰減振蕩。此時(shí)α角越小，阻尼越強(qiáng)，對(duì)系統(tǒng)振蕩幅度衰減得越厲害。

3 仿真分析

仿真分析選用的參數(shù)如下：電機(jī)側(cè)慣量為1.03 kg·cm2；負(fù)載側(cè)慣量為0.011 kg·m2；剛度系數(shù)為349.06 N·m/rad；阻尼系數(shù)為0；負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0，速度指令為階躍信號(hào)，在0.01 s給定300 rad/s。

由式(3)可得兩質(zhì)量機(jī)械傳動(dòng)裝置Bode圖，如圖6所示。其中抗諧振頻率和固有諧振頻率分別為28.4 Hz和294 Hz。通過式(4)計(jì)算出的固有諧振頻率也為294 Hz，與圖6的結(jié)果一致。

圖6 兩質(zhì)量機(jī)械傳動(dòng)裝置Bode圖

下面分別對(duì)延遲系數(shù)D取不同的值，得到式(8)的Bode圖，如圖7所示。

圖7 延遲Bode圖

為了便于分析延遲對(duì)軸扭振的影響，將圖7中的數(shù)據(jù)制成表，如表1所示。

表1 延遲與軸扭振的關(guān)系

從表1可知延遲的引入使得軸扭振頻率偏移固有諧振頻率的幅度很明顯。此時(shí)不可忽略延遲對(duì)軸扭振的影響。

圖8 未引入延遲仿真結(jié)果

為進(jìn)一步分析延遲對(duì)軸扭振的影響，給出電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩、軸轉(zhuǎn)矩和電機(jī)角速度的仿真結(jié)果，如圖8和圖9所示。其中圖8為未引入延遲時(shí)的情況，圖9為引入不同的延遲系數(shù)時(shí)的情況。

圖9 引入延遲仿真結(jié)果

在轉(zhuǎn)速上升階段由于轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器飽和，電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩為恒定值，即電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩增量為零，可得λM.1=0和λM.2=0，所以此時(shí)軸轉(zhuǎn)矩應(yīng)以固有諧振頻率進(jìn)行等幅振蕩。由圖8可知，在轉(zhuǎn)速上升階段軸轉(zhuǎn)矩的確呈現(xiàn)等幅振蕩，且對(duì)其進(jìn)行FFT分析得到的結(jié)果為294 Hz，與理論分析一致。

圖8中轉(zhuǎn)速達(dá)到給定值時(shí)，轉(zhuǎn)速環(huán)會(huì)退飽和，電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩會(huì)產(chǎn)生波動(dòng)，此時(shí)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩增量不等于零，系統(tǒng)會(huì)引入阻尼，導(dǎo)致振蕩呈現(xiàn)衰減形式。圖9中轉(zhuǎn)速上升階段的退飽和因?yàn)檠舆t的引入而會(huì)有段滯后。

分析延遲對(duì)軸扭振的影響時(shí)，對(duì)圖9中D=2時(shí)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定階段的軸轉(zhuǎn)矩進(jìn)行FFT分析，得到的結(jié)果為312 Hz。

由圖5分析可知，ΔTM的位置可由ΔTM滯后-ΔωM的角度推得。通過計(jì)算可得，當(dāng)D=0.5時(shí)，滯后角約等于75.3°；當(dāng)D=2時(shí)，滯后角約等于85.7°。

當(dāng)D=0.5和D=2時(shí)，ΔTM都位于圖5中的第3象限，所以有系數(shù)λM.1>0和λM.2>0。由式(19)可知，因?yàn)橄禂?shù)λM.1>0，所以此時(shí)軸扭振頻率比固有諧振頻率大，而由系數(shù)λM.2>0可知此時(shí)系統(tǒng)引入阻尼，對(duì)振蕩的幅值起衰減作用，振蕩呈現(xiàn)衰減形式。

由于D=0.5時(shí)的α角比D=2時(shí)來(lái)得小，所以在D=2時(shí)振蕩更加劇烈。結(jié)合圖9的結(jié)果可驗(yàn)證上述分析。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文通過兩質(zhì)量機(jī)械傳動(dòng)裝置的軸轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動(dòng)方程得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖和等值電路圖，進(jìn)一步分析得到電機(jī)角速度增量、軸轉(zhuǎn)矩增量和電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩增量的相位圖，然后從電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩增量相對(duì)于電機(jī)角速度增量相位滯后的角度分析控制系統(tǒng)延遲對(duì)軸扭振的影響。最后利用仿真軟件MATLAB進(jìn)行Bode圖分析及仿真驗(yàn)證。理論分析和仿真結(jié)果表明延遲會(huì)使軸扭振的頻率產(chǎn)生偏移并且會(huì)對(duì)振蕩的幅值產(chǎn)生影響。

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InfluenceofControlSystemDelayonShaftTorsionalVibration

CHENGTianwei,WANGShuang,YANGYing

(College of Mechatronics Engineering and Automation, Shanghai University, Shanghai 200072, China)

The shaft torsional vibration of control system would cause the oscillation of system control quantity, which would increase mechanical transmission gear wears, and even led to the shaft fracture. The shaft torsional vibration could usually be suppressed by using notch filter on industrial application, but the selection of notch frequency was not considering the factor of control system delay. The influence of control system delay on shaft torsional vibration was analyzed by using the phase diagram of angular velocity increment, shaft torque increment and motor torque increment. Simulation results validated the analytical conclusions.

controlsystem;shafttorsionalvibration;notchfrequency;delay

程天威(1991—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏﹄娮优c電力傳動(dòng)。

王 爽(1977—)，男，博士，研究方向?yàn)殡娏﹄娮优c電機(jī)驅(qū)動(dòng)控制。

TM 301.2

A

1673-6540(2017)12- 0025- 05

2016 -12 -13