失諧葉盤(pán)受迫響應(yīng)的靈敏度分析方法

譚元球，臧朝平,，周標(biāo)，段勇亮，E.P.PETROV

1.南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院 江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016 2.賽克斯大學(xué) 工程與信息學(xué)院，布萊頓 BN1 9QT,英國(guó)

失諧葉盤(pán)受迫響應(yīng)的靈敏度分析方法

譚元球1，臧朝平1,*，周標(biāo)1，段勇亮1，E.P.PETROV2

1.南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院 江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016 2.賽克斯大學(xué) 工程與信息學(xué)院，布萊頓 BN1 9QT,英國(guó)

針對(duì)失諧葉盤(pán)結(jié)構(gòu)的受迫響應(yīng)與葉片失諧之間的敏感性問(wèn)題，提出了一種失諧葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值分別關(guān)于葉片頻率失諧參數(shù)和葉片節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量的一階和二階靈敏度系數(shù)計(jì)算方法，以探究葉盤(pán)結(jié)構(gòu)失諧參數(shù)對(duì)其最大響應(yīng)幅值的影響。該方法立足于高保真失諧葉盤(pán)減縮建模和響應(yīng)分析技術(shù)，直接對(duì)失諧葉盤(pán)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行推導(dǎo)獲取其一階和二階靈敏度系數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，未引入任何其他近似和簡(jiǎn)化計(jì)算措施，可以有效地求解高保真失諧葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值在不同激勵(lì)頻段、激勵(lì)階次和失諧形式下的靈敏度系數(shù)。該靈敏度分析方法在大規(guī)模高保真失諧葉盤(pán)結(jié)構(gòu)模型上驗(yàn)證了其有效性。結(jié)果表明，與常規(guī)的數(shù)值差分靈敏度近似計(jì)算方法相比，本文提出的靈敏度分析方法在計(jì)算精度和計(jì)算效率方面具有巨大的優(yōu)勢(shì)，對(duì)進(jìn)一步的失諧葉盤(pán)響應(yīng)分析具有廣泛的應(yīng)用前景和通用性。

失諧；葉盤(pán)；高保真；靈敏度分析；數(shù)學(xué)表達(dá)式

由于受到葉片加工誤差、運(yùn)行磨損、安裝間隙、幾何偏差和材料性質(zhì)差異等不確定因素的影響，實(shí)際葉盤(pán)結(jié)構(gòu)各扇區(qū)之間的物理參數(shù)或幾何參數(shù)不可避免地存在偏差而引入了葉片失諧。葉盤(pán)系統(tǒng)對(duì)葉片失諧非常敏感，極小的失諧量仍使得振型及激勵(lì)在葉盤(pán)結(jié)構(gòu)中不能均勻地傳播，能量集中在較少的葉片上而出現(xiàn)振動(dòng)局部化現(xiàn)象，從而導(dǎo)致葉片過(guò)早地發(fā)生高周疲勞失效[1-5]。李其漢等[6]研究表明葉盤(pán)結(jié)構(gòu)中由于葉片高階共振所致的高周疲勞失效是制約航空發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)完整性和可靠性的主要問(wèn)題。因此對(duì)失諧葉盤(pán)結(jié)構(gòu)在高頻范圍內(nèi)的振動(dòng)特性研究極其重要。

靈敏度系數(shù)是目標(biāo)函數(shù)隨指定變量變化的梯度信息的定量描述。靈敏度分析在一般結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用，如Haug[8]，Haftka[9-10]和Komkov[11]等分別開(kāi)展了線性和非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)響應(yīng)幅值關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)的一、二階靈敏度系數(shù)計(jì)算方法的研究；Wang[12]和Oguamanam[13]等分別給出了特征值和頻率關(guān)于附屬剛度和質(zhì)量的靈敏度計(jì)算方法。失諧葉盤(pán)結(jié)構(gòu)的最大響應(yīng)幅值與各個(gè)葉片的隨機(jī)參數(shù)差異相關(guān)，是典型的高維變量函數(shù)。同時(shí)，葉片失諧破壞了葉盤(pán)結(jié)構(gòu)的循環(huán)對(duì)稱(chēng)特性，導(dǎo)致其響應(yīng)特性十分復(fù)雜。因此，目前針對(duì)失諧葉盤(pán)結(jié)構(gòu)開(kāi)展的靈敏度分析研究相對(duì)較少，僅有Petrov等[14-15]在早期研究中分別針對(duì)線性系統(tǒng)和非線性簡(jiǎn)單系統(tǒng)探索研究了葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值關(guān)于葉片失諧參數(shù)的靈敏度計(jì)算方法，但沒(méi)有明確給出一階和二階靈敏度系數(shù)的計(jì)算表達(dá)式。

綜上所述，本文提出了一種失諧葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值分別關(guān)于葉片頻率失諧參數(shù)和葉片節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量的靈敏度系數(shù)計(jì)算方法，旨在對(duì)大規(guī)模高保真葉盤(pán)結(jié)構(gòu)有限元模型在高中低階頻率范圍進(jìn)行有效的靈敏度分析，探究葉盤(pán)結(jié)構(gòu)各葉片頻率失諧參數(shù)和各節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量變化對(duì)最大響應(yīng)幅值帶來(lái)的影響。該方法立足于本課題組在前期研究中發(fā)展建立的高保真失諧葉盤(pán)減縮建模和響應(yīng)分析技術(shù)[16-17]，直接對(duì)失諧葉盤(pán)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)獲取其一階和二階靈敏度系數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，未引入任何其他近似和簡(jiǎn)化計(jì)算措施，具有準(zhǔn)確、高效的特點(diǎn)，有望在為進(jìn)一步深入研究失諧葉盤(pán)最大受迫響應(yīng)幅值特性發(fā)揮巨大作用。

1 失諧葉盤(pán)受迫響應(yīng)計(jì)算

1.1 失諧葉盤(pán)復(fù)響應(yīng)

失諧葉盤(pán)結(jié)構(gòu)在階次激勵(lì)(Engine Order excitation, EO)下的運(yùn)動(dòng)方程表示為

(1)

f=[fS, eiα kfS,…,eiα k(NB-1)fS]T

(2)

(3)

式中：c為線性組合系數(shù)向量?；谥C調(diào)模態(tài)及組合系數(shù)矩陣表示的失諧葉盤(pán)的特征方程為

(4)

(5)

1.2 節(jié)點(diǎn)最大響應(yīng)幅值

(6)

式中：上標(biāo)“H”表示對(duì)向量取共軛轉(zhuǎn)置。搜尋葉盤(pán)所有節(jié)點(diǎn)，且選取節(jié)點(diǎn)在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的最大位移和工作頻率范圍內(nèi)響應(yīng)最大的激勵(lì)頻率點(diǎn)，即可獲得葉盤(pán)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)最大振動(dòng)幅值為

(7)

2 靈敏度系數(shù)分析方法

2.1 節(jié)點(diǎn)響應(yīng)幅值關(guān)于失諧參數(shù)的靈敏度

本文僅討論葉盤(pán)失諧是由失諧質(zhì)量矩陣δM引入的情況，即剛度失諧矩陣和阻尼失諧矩陣假設(shè)為零，即式(1)中δD=0和δK=0。失諧葉盤(pán)復(fù)數(shù)響應(yīng)幅值關(guān)于失諧參數(shù)的一階和二階靈敏度系數(shù)可以通對(duì)式(1)分別求其前兩階導(dǎo)數(shù)獲得：

x′=A(ω2δM′x)

(8)

(9)

為了獲取節(jié)點(diǎn)最大位移幅值的靈敏度系數(shù)，先對(duì)式(6)求關(guān)于節(jié)點(diǎn)位移向量a的導(dǎo)數(shù)，即

(10)

節(jié)點(diǎn)最大響應(yīng)幅值關(guān)于葉片頻率失諧參數(shù)bj的一階靈敏度系數(shù)可表示為

(11)

(12)

其中:wα(α=1,2,…,6)為向量w的第α個(gè)元素。將式(12)再一次關(guān)于葉片頻率失諧參數(shù)bk進(jìn)行求導(dǎo)得

(13)

(14)

(15)

其中:δα β(α,β=x,y,z)為Kronecher符號(hào)。

然而，當(dāng)應(yīng)用式(11)和式(13)求解節(jié)點(diǎn)最大響應(yīng)幅值的一階和二階靈敏度系數(shù)時(shí)，還需要用到對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)3個(gè)自由度復(fù)數(shù)響應(yīng)幅值向量關(guān)于葉片頻率失諧參數(shù)的一、二階靈敏度系數(shù)，即?w/?bj和?2w/?bj?bk。因此，在2.2節(jié)中，將針對(duì)失諧葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值關(guān)于頻率失諧參數(shù)和節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量的靈敏度系數(shù)，分別給出節(jié)點(diǎn)復(fù)數(shù)響應(yīng)幅值向量關(guān)于對(duì)應(yīng)失諧參數(shù)的靈敏度系數(shù)計(jì)算方法。此外，兩類(lèi)靈敏度分析中，均假設(shè)失諧是由葉盤(pán)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量失諧矩陣δM引入，且

δM=diag(δM1, δM2,…,δMNB)

(16)

式中:δMj(j=1,2,…,NB)為第j個(gè)扇區(qū)的質(zhì)量失諧矩陣。對(duì)于失諧矩陣的構(gòu)成，首先構(gòu)建一個(gè)常量攝動(dòng)質(zhì)量矩陣δMS，使該矩陣為一個(gè)集中質(zhì)量矩陣且其維度與單個(gè)扇區(qū)自由度數(shù)一致，即表示為

δMS=diag(δm1,δm2,δm3,…,δmN)

(17)

其中:δmj(j=1,2,…,N)為施加到扇區(qū)第j個(gè)自由度的質(zhì)量元素，一般僅選取葉片表面部分節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量不為零，其余大部分都為零元素。所以第j個(gè)扇區(qū)施加的失諧質(zhì)量矩陣δMj可以表示成常量攝動(dòng)矩陣δMS與一個(gè)失諧水平系數(shù)μj相乘，即

δMj=μjδMS

(18)

對(duì)于單個(gè)葉片，在給定的初始常量攝動(dòng)矩陣δMS下，葉片的失諧水平系數(shù)μj與頻率失諧參數(shù)bj之間存在一定的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系μj=μ(bj)。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系可以通過(guò)對(duì)葉片設(shè)定不同的失諧水平系數(shù)進(jìn)行有限元仿真計(jì)算獲取[19]，即建立μj與bj之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(如圖1所示)。

圖1 葉片失諧水平系數(shù)與頻率失諧量的關(guān)系
Fig.1 Relationship between mistuning coefficient and frequency mistuning of a single blade

2.2 復(fù)數(shù)響應(yīng)幅值關(guān)于葉片頻率失諧的靈敏度

葉盤(pán)結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量失諧矩陣δM關(guān)于第j個(gè)葉片的頻率失諧參數(shù)bj的第一階導(dǎo)數(shù)為

(19)

整體失諧矩陣δM依次對(duì)bj和bk求導(dǎo)得：

(20)

式中：δjk為Kronecher符號(hào)。

將式(19)和式(20)分別代入到式(8)和式(9)得：

(21)

(22)

式中：

(23)

(24)

2.3 復(fù)數(shù)響應(yīng)幅值關(guān)于節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量的靈敏度

最大響應(yīng)幅值關(guān)于節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量的靈敏度系數(shù)能夠給出節(jié)點(diǎn)響應(yīng)幅值隨失諧質(zhì)量變化的梯度信息，有助于深入地研究失諧葉盤(pán)的動(dòng)態(tài)特性以及失諧質(zhì)量不確定性帶來(lái)的影響。假設(shè)引入失諧的質(zhì)量矩陣為集中質(zhì)量。則葉盤(pán)整體失諧質(zhì)量矩陣對(duì)第j個(gè)扇區(qū)的第l個(gè)節(jié)點(diǎn)質(zhì)量的導(dǎo)數(shù)為

(25)

(26)

所以將式(8)和式(9)表示成對(duì)不同節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到復(fù)數(shù)響應(yīng)幅值對(duì)失諧質(zhì)量的一、二階靈敏度，即

(27)

(28)

式中：

(29)

(30)

2.1～2.3節(jié)給出的靈敏度系數(shù)計(jì)算方法直接基于高保真葉盤(pán)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的減縮模型對(duì)其運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行推導(dǎo)，未引入任何近似和簡(jiǎn)化措施，能夠有效、精確地計(jì)算出失諧葉盤(pán)最大節(jié)點(diǎn)響應(yīng)幅值關(guān)于葉片頻率失諧參數(shù)和節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量的一階和二階靈敏度系數(shù)。

2.4 失諧葉盤(pán)受迫響應(yīng)幅值靈敏度分析流程

計(jì)算失諧葉盤(pán)節(jié)點(diǎn)最大響應(yīng)幅值關(guān)于葉片頻率失諧參數(shù)和節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量的一階和二階靈敏度系數(shù)的流程如圖 2所示。首先采用文獻(xiàn)[16-17]給出的失諧葉盤(pán)減縮建模及動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算方法計(jì)算出失諧葉盤(pán)受迫響應(yīng)；然后如2.1～2.3節(jié)所示即可計(jì)算相應(yīng)的靈敏度系數(shù)。其具體步驟如下：

1) 在考慮的激勵(lì)階次(EO)、分析頻率范圍ω-、ω+和失諧形式b下，采用文獻(xiàn)[16-17]建立的失諧葉盤(pán)響應(yīng)分析方法計(jì)算出葉盤(pán)在各個(gè)頻率點(diǎn)下的響應(yīng)參數(shù)。然后篩選出分析頻率范圍內(nèi)葉盤(pán)結(jié)構(gòu)最大節(jié)點(diǎn)響應(yīng)幅值a以及對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)ωmax和復(fù)數(shù)響應(yīng)幅值xωmax。

3) 根據(jù)2.1節(jié)推導(dǎo)的公式，計(jì)算失諧葉盤(pán)在最大響應(yīng)頻率點(diǎn)下響應(yīng)幅值關(guān)于失諧參數(shù)(葉片頻率失諧或葉片節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量)的靈敏度系數(shù)，分別如式(11)和式(13)。因此，文中給出的兩類(lèi)靈敏度系數(shù)計(jì)算方法(① 最大節(jié)點(diǎn)響應(yīng)幅值關(guān)于葉片頻率失諧靈敏度；② 最大節(jié)點(diǎn)響應(yīng)幅值關(guān)于葉片節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量靈敏度)分別如圖2中左側(cè)和右側(cè)流程所示。

圖2 失諧葉盤(pán)靈敏度系數(shù)分析流程圖
Fig.2 Flow chart of sensitivity coefficient analysis for mistuned bladed discs

3 數(shù)值分析算例

圖3 葉盤(pán)結(jié)構(gòu)有限元模型
Fig.3 Finite element model of bladed disc

圖4 諧調(diào)葉盤(pán)結(jié)構(gòu)的頻率節(jié)徑圖
Fig.4 Natural frequency of tuned bladed disc vs nodal diameter number

引入葉片失諧的集中質(zhì)量矩陣的質(zhì)量點(diǎn)均勻地分布在葉片的表面部分節(jié)點(diǎn)上，并且節(jié)點(diǎn)的失諧質(zhì)量元素的大小與節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的葉片厚度成正比。單個(gè)葉片施加不同失諧水平系數(shù)倍初始失諧矩陣的失諧質(zhì)量μjδΜS，然后計(jì)算葉片對(duì)應(yīng)的各階頻率。通過(guò)改變不同的失諧水平系數(shù)μj多次計(jì)算，可以計(jì)算出參考階次頻率失諧參數(shù)bj與失諧水平系數(shù)μj(bj)之間的函數(shù)關(guān)系，如圖1所示。實(shí)際航空發(fā)動(dòng)機(jī)采用的葉片頻率失諧范圍一般在±5.0%之間。因此，在獲取葉片頻率失諧參數(shù)與失諧水平關(guān)系時(shí)，在頻率失諧范圍內(nèi)生成一組葉片頻率失諧形式，然后通過(guò)建立的關(guān)系μj(bj)求出各個(gè)葉片頻率失諧對(duì)應(yīng)的失諧水平系數(shù)。

圖5 一組隨機(jī)生成的失諧樣本
Fig.5 A randomly generated mistuning pattern

圖6 歸一化最大節(jié)點(diǎn)受迫響應(yīng)幅值
Fig.6 Normalized maximum forced response displacement of node

隨機(jī)生成一組葉片頻率失諧形式用來(lái)對(duì)該葉盤(pán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行受迫響應(yīng)和靈敏度計(jì)算，如圖5所示。在該失諧形式和圖4中標(biāo)出的激勵(lì)階次和頻率范圍情況下(9.0～10.5 kHz，6EO)，葉盤(pán)結(jié)構(gòu)最大節(jié)點(diǎn)受迫響應(yīng)幅值隨頻率變化的關(guān)系曲線如圖6所示。此處最大節(jié)點(diǎn)受迫響應(yīng)幅值進(jìn)行了歸一化處理，即采用失諧葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值放大因子[20](失諧葉盤(pán)在各計(jì)算頻率點(diǎn)最大響應(yīng)幅值與諧調(diào)葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值之比)來(lái)表征失諧葉盤(pán)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)水平。

3.1 最大響應(yīng)幅值關(guān)于葉片頻率失諧靈敏度

本節(jié)主要分析失諧葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值關(guān)于葉片頻率失諧參數(shù)的一階和二階靈敏度系數(shù)。選取圖 6中第1個(gè)最為顯著的響應(yīng)峰值點(diǎn)(標(biāo)記為Peak)處對(duì)應(yīng)的頻率作為葉盤(pán)靈敏度分析算例的計(jì)算頻率點(diǎn)。為了驗(yàn)證第2節(jié)提出的靈敏度計(jì)算方法的計(jì)算精度，在本節(jié)將采用差分近似法計(jì)算的一階和二階靈敏度系數(shù)與文中給出方法計(jì)算的靈敏度系數(shù)進(jìn)行比較驗(yàn)證。對(duì)于失諧葉盤(pán)結(jié)構(gòu)，可將其最大響應(yīng)幅值視為各個(gè)葉片失諧參數(shù)的高維變量函數(shù)a(b)。因此，采用差分近似方法計(jì)算失諧葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值的一、二階靈敏度系數(shù)可以表示為

(31)

(32)

式中：b0為初始失諧形式列向量；ej(j=1,2,…,NB)為只有第j個(gè)元素為1其他元素都為零的列向量；標(biāo)量Δb為葉片頻率失諧量攝動(dòng)值。

失諧葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值關(guān)于葉片頻率失諧的一階靈敏度系數(shù)分布如圖7所示。圖中黑色柱狀圖(圖中標(biāo)記為Derivation)表示采用第2節(jié)推導(dǎo)的公式計(jì)算得到的靈敏度系數(shù)，而白色框圖(圖中標(biāo)記為Approximation)表示采用數(shù)值差分近似法計(jì)算得到的靈敏度系數(shù)。從圖中的靈敏度系數(shù)比較可以看出兩者計(jì)算結(jié)果幾乎一致。此外，葉片頻率失諧的引入使得葉盤(pán)結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)幅值關(guān)于各個(gè)葉片頻率失諧參數(shù)的靈敏度系數(shù)也各不一樣，編號(hào)為13、23和32的葉片最為敏感。

通過(guò)比較兩者(文中推導(dǎo)方法和差分近似法)的計(jì)算效率可以看出：采用文中第2節(jié)推導(dǎo)出的方法只需要對(duì)失諧葉盤(pán)進(jìn)行一次響應(yīng)計(jì)算，然后采用文中給出的公式即可快速計(jì)算出最大響應(yīng)幅值關(guān)于各個(gè)葉片頻率失諧參數(shù)的靈敏度系數(shù)；而采用差分近似法計(jì)算則針對(duì)各個(gè)不同葉片頻率失諧參數(shù)的靈敏度系數(shù)均需要再進(jìn)行一次失諧形式攝動(dòng)，并求出對(duì)應(yīng)的最大響應(yīng)幅值，即對(duì)于算例采用的有限元模型采用差分近似方法求解一階靈敏度系數(shù)需要求解1+NB=49次最大響應(yīng)幅值。

另外，葉盤(pán)結(jié)構(gòu)最大節(jié)點(diǎn)響應(yīng)幅值關(guān)于頻率失諧參數(shù)的二階靈敏度系數(shù)如圖8所示。比較圖中由本文推導(dǎo)方法求解的靈敏度結(jié)果(圖中標(biāo)記為Derivation)和由差分近似法求解的結(jié)果(圖中標(biāo)記為Approximation)，可以看出兩者計(jì)算的靈敏度系數(shù)十分相近。顯然，失諧葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值對(duì)于各葉片頻率失諧參數(shù)的敏感程度差異顯著。

圖7 葉盤(pán)結(jié)構(gòu)一階頻率失諧靈敏度
Fig.7 The 1st order sensitivity coefficients with respect to frequency mistuning of bladed disc

圖8 葉盤(pán)結(jié)構(gòu)二階頻率失諧靈敏度
Fig.8 The 2nd order sensitivity coefficients with respect to frequency mistuning of bladed disc

對(duì)于二階靈敏度計(jì)算，兩者的計(jì)算效率差異更為明顯：采用本文給出的二階靈敏度計(jì)算方法僅需進(jìn)行一次響應(yīng)計(jì)算，然后使用推導(dǎo)的公式即可直接計(jì)算出最大響應(yīng)幅值關(guān)于各個(gè)葉片之間的二階靈敏度系數(shù)；而采用差分近似法則需要進(jìn)行1+NB(1+NB)/2=1 177 (二階靈敏度系數(shù)矩陣為對(duì)稱(chēng)陣)次響應(yīng)計(jì)算。

上述算例結(jié)果表明，本文提出的基于大規(guī)模高保真失諧葉盤(pán)模型的靈敏度分析方法相較于常規(guī)的數(shù)值差分近似計(jì)算方法，在計(jì)算精度和求解效率方面具有巨大的優(yōu)勢(shì)。

3.2 最大響應(yīng)幅值關(guān)于節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量靈敏度

本節(jié)主要對(duì)葉盤(pán)結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)幅值關(guān)于節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量的靈敏度系數(shù)分布進(jìn)行探討分析，在關(guān)心的分析頻率范圍(9.0～10.5 kHz)中，仍然選取圖6中標(biāo)為Peak處所在頻率為分析算例的計(jì)算頻率點(diǎn)，其激勵(lì)階次為6EO，葉片頻率失諧形式如圖5所示。

葉盤(pán)結(jié)構(gòu)在該激勵(lì)頻率點(diǎn)處的最大節(jié)點(diǎn)響應(yīng)幅值關(guān)于各葉片表面節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量的一階靈敏度系數(shù)分布如圖9所示。圖9中比較敏感葉片的靈敏度系數(shù)的單獨(dú)視圖如圖10所示。從靈敏度系數(shù)在葉片表面的分布來(lái)看，圖10中3個(gè)靈敏度系數(shù)顯著葉片的分布趨勢(shì)十分相近，其主要原因在于：失諧葉盤(pán)受迫響應(yīng)不再是某一階模態(tài)單獨(dú)被激發(fā)，而是多階諧調(diào)模態(tài)貢獻(xiàn)的結(jié)果。

為了進(jìn)一步探討失諧葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值關(guān)于各葉片表面節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量的靈敏度系數(shù)與葉片模態(tài)振型之間的關(guān)系，給出單個(gè)葉片的6～8階模態(tài)振型，如圖11所示。該算例中選取的靈敏度計(jì)算

頻率點(diǎn)靠近葉盤(pán)結(jié)構(gòu)的第6模態(tài)族，因此葉片的6階模態(tài)對(duì)葉盤(pán)受迫響應(yīng)占據(jù)了主要的貢獻(xiàn)。此外，通過(guò)對(duì)比圖10的靈敏度系數(shù)分布和圖11的模態(tài)振型，可以看出：6階葉片模態(tài)對(duì)響應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)作用，致使圖10中各葉片的靈敏度系數(shù)分布與圖11(a)中的6階模態(tài)振型分布十分相似。

另外，該算例葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值關(guān)于各葉片表面的節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量靈敏度系數(shù)的分布柱狀圖如圖12所示，從圖中可以看出：失諧的引入使得葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值關(guān)于節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量的靈敏度系數(shù)也存在局部化現(xiàn)象，其中對(duì)25號(hào)葉片上的失諧質(zhì)量點(diǎn)最為敏感。

圖9 葉盤(pán)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量靈敏度系數(shù)分布云圖
Fig.9 Visualization of sensitivity coefficients with respect to mistuned nodal mass of bladed disc

圖10 敏感葉片的節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量靈敏度系數(shù)分布云圖
Fig.10 Visualization of sensitivity coefficients with respect to mistuned nodal mass for individual blades

圖11 單個(gè)葉片的模態(tài)振型
Fig.11 Mode shape of a single blade

圖12 葉盤(pán)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量靈敏度系數(shù)分布
Fig.12 Distribution of sensitivity coefficients with respect to mistuned nodal mass of blade disc

4 結(jié) 論

1) 本文中所提出的失諧葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值關(guān)于葉片頻率失諧參數(shù)和節(jié)點(diǎn)失諧質(zhì)量的一階和二階靈敏度分析方法可以有效地求解高保真失諧葉盤(pán)最大響應(yīng)幅值在不同激勵(lì)頻段、激勵(lì)階次和失諧形式下的靈敏度系數(shù)。

2) 該靈敏度分析方法的有效性在大規(guī)模高保真失諧葉盤(pán)結(jié)構(gòu)模型上得到了驗(yàn)證。結(jié)果表明，相較于常規(guī)的數(shù)值差分靈敏度近似計(jì)算方法，本文提出的靈敏度分析方法在計(jì)算精度和計(jì)算效率方面具有巨大的優(yōu)勢(shì)。

3) 該靈敏度分析方法為進(jìn)一步深入開(kāi)展失諧葉盤(pán)響應(yīng)特性的研究提供了準(zhǔn)確的靈敏度信息，在失諧葉盤(pán)結(jié)構(gòu)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)、預(yù)測(cè)失諧參數(shù)不確定性造成的影響以及失諧葉盤(pán)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)面替代模型構(gòu)建等研究領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景和通用性。

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Sensitivityanalysismethodforforcedresponseofmistunedbladeddiscs

TANYuanqiu1,ZANGChaoping1,*,ZHOUBiao1,DUANYongliang1,E.P.PETROV2

1.JiangsuProvinceKeyLaboratoryofAerospacePowerSystem,CollegeofEnergyandPowerEngineering,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China2.SchoolofEngineeringandInformatics,UniversityofSussex,BrightonBN1 9QT,UnitedKingdom

Theforcedresponseofbladeddiscsisverysensitivetorandomblademistuning.Thispaperproposesaneffectivesensitivityanalysismethodtoexploretheimpactofblademistuningparametersonthemaximumvibrationalamplitudeofmistunedbladeddiscs.Thismethodisconstructedbasedonthereduced-ordermodelandasubsequentforcedresponseanalysisofmistunedbladeddiscs.Mathematicalexpressionsofthefirstandsecondordersensitivitycoefficientsforthemaximumbladevibrationalamplitudewithrespecttobladefrequencymistuningparametersandmistuningnodalmassarederivedfromtheequationsformotionofmistunedbladeddiscs,withoutanyhypothesisornumericalsimplification.Themethodproposedcanbeusedtoperformeffectivesensitivityanalysisforbladeddiscswithanyrandomblademistuningpatternvibratingindifferentfrequencybandsunderanengineorderexcitation.Themethodisnumericallyvalidatedinahigh-fidelitymistunedbladeddiscmodel.Itisshownthattheproposedmethodhastheadvantagesofhighaccuracyandcomputationalefficiencyoverthemethodoffinitedifferenceapproximationofthesensitivitycoefficients.Benefitingfromitsversatility,themethodproposedisexpectedtofurthercontributetotheforcedresponseanalysisofmistunedbladeddiscs.

mistuning;bladeddisc;high-fidelity;sensitivityanalysis;mathematicalexpression

2017-04-06；

2017-06-19；

2017-06-27；Publishedonline2017-08-021601

URL：http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171218.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(11372128,51175244);AeronauticalScienceFoundationofChina(20152152031)

.E-mailc.zang@nuaa.edu.cn

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.221305

2017-04-06；退修日期2017-06-19；錄用日期2017-06-27；網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間2017-08-021601

http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171218.html

國(guó)家自然科學(xué)基金(11372128,51175244)；航空科學(xué)基金(20152152031)

.E-mailc.zang@nuaa.edu.cn

譚元球，臧朝平，周標(biāo)，等.失諧葉盤(pán)受迫響應(yīng)的靈敏度分析方法J. 航空學(xué)報(bào)，2017,38(12):221305.TANYQ,ZANGCP,ZHOUB,etal.SensitivityanalysismethodforforcedresponseofmistunedbladeddiscsJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(12):221305.

V231.9

A

1000-6893(2017)12-221305-11

徐曉)