一類和式極限的求法

李建麗，張文娟

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

一類和式極限的求法

李建麗，張文娟

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

采用對(duì)區(qū)間進(jìn)行等比分割的方法，并取小區(qū)間的端點(diǎn)或等比中項(xiàng)，將一類和式極限轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算，進(jìn)一步，將此方法推廣到矩形區(qū)域上，將和式極限轉(zhuǎn)化為二重積分來(lái)計(jì)算，并通過(guò)實(shí)例加以應(yīng)用。

等比法；和式極限；定積分

1 預(yù)備知識(shí)

極限問(wèn)題的研究是數(shù)學(xué)中一直以來(lái)討論的話題，尤其是和式極限，到目前為止還沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的方法，文獻(xiàn)[1-3]研究了幾類特殊和式極限的計(jì)算方法。我們知道，極限方式定義了定積分，反過(guò)來(lái)定積分又在求極限的過(guò)程中扮演著重要的角色，利用積分求極限是解決極限問(wèn)題的一種重要方法，特別是一般項(xiàng)由和式表達(dá)的極限。

眾所周知，定積分是一類和式極限[4]

其中△xi（i=1，2，…，n）是對(duì)[a，b]的任意分割，ξi∈△xi是任取的點(diǎn)。

在函數(shù)連續(xù)的條件下，對(duì)[a，b]采取n等分分割，得到：

這類極限的基本的特征是△xi中沒(méi)有i的表達(dá)式，即△xi與求和運(yùn)算可交換順序[5]，例：經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變形可轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算。

由于定積分是對(duì)區(qū)間任意的分割，在每個(gè)分割的小區(qū)間上任意的取點(diǎn)，在可積條件下，無(wú)論怎樣分割和怎樣取點(diǎn)，和式具有相同的極限。這就使得定積分可以表示成不同形式的和式極限，但反過(guò)來(lái)，對(duì)于一個(gè)較為復(fù)雜的和式極限，從直觀上難以判斷是如何對(duì)區(qū)間作的分割，從而很難將其轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算。文章主要介紹一類具有某種特征的和式極限，并將其轉(zhuǎn)化為定積分。

2 主要結(jié)果

2.1 分割區(qū)間

設(shè)f（x）是定義在[a，b]（a＞0）上的連續(xù)函數(shù)，在[a，b]上插入n-1個(gè)分點(diǎn)：

這些點(diǎn)將[a，b]分成n個(gè)區(qū)間

在每個(gè)△xi上，若ξi取右（左）端點(diǎn)或等比中項(xiàng)，則f（x）的定積分可以寫為：

我們看到等式右邊是一個(gè)和式極限，但△xi不能與求和運(yùn)算交換順序，對(duì)于這類極限我們可以借助于定積分的定義進(jìn)行計(jì)算。

例1 計(jì)算

2.2 分割區(qū)域

設(shè)f（x，y）是定義在矩形區(qū)域D=[a，b]×[c，d]（a，c＞0）上的連續(xù)函數(shù)，將D進(jìn)行分割∶

作法類似于以上基本思想，

這些直線將D分成n2個(gè)小矩形Δσij=[xi-1，xi][yj-1，yj]（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n），若分別取

可以將和式極限轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算。

綜上，利用積分的定義求和式極限的關(guān)鍵是∶尋找被積函數(shù)，確定積分的上限和下限，從而運(yùn)用等比法求解和式極限。

［1］王良成.用等價(jià)無(wú)窮小替換求一類和式極限［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，（3）：97-100.

［2］陳思源.求解一類和式極限的新方法［J］.河南科學(xué)，2012，（3）：278-280.

［3］王海祥.一類和式極限問(wèn)題的初等解法及推廣［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2002，（3）：57-58.

［4］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上)［M］.北京:高等教育出版社，2010.202-223.

［5］裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法［M］.北京:高等教育出版社，2006.304-320.

O171

A

1673-2014（2017）05-0069-02

山西省高等學(xué)校大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目（2017437）；山西省高等學(xué)校教學(xué)改革創(chuàng)新項(xiàng)目（J2016111）

2017—06—12

李建麗（1983— ），女，山西高平人，講師，碩士，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方面的研究。

（責(zé)任編輯 趙巨濤）