轉(zhuǎn)子非線性扭轉(zhuǎn)振動成因研究

劉 陽， 涂曉彤， 張 希， 李富才, 李鴻光

(上海交通大學(xué)機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室 上海， 200240)

轉(zhuǎn)子非線性扭轉(zhuǎn)振動成因研究

劉 陽， 涂曉彤， 張 希， 李富才, 李鴻光

(上海交通大學(xué)機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室 上海， 200240)

目前研究轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動的非線性現(xiàn)象，多數(shù)采用直接假設(shè)存在立方非線性，并未對其存在的原因進行解釋。針對此問題，從幾何變形的角度出發(fā)，推導(dǎo)出轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動中產(chǎn)生剛度漸軟的duffing非線性現(xiàn)象的原因。首先，在未考慮非線性影響的情況下用ANSYS進行了模態(tài)求解；其次，在考慮非線性項時，建立多自由度的數(shù)學(xué)模型，采用模態(tài)截斷的方法和多尺度法分析了系統(tǒng)的主共振；最后，通過數(shù)值仿真與掃頻試驗結(jié)果的定量對比，證明了轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動中存在剛度漸軟的立方非線性理論的正確性。

扭轉(zhuǎn)振動；非線性；多自由度模型；定量分析；掃頻試驗

引 言

隨著機械工業(yè)的發(fā)展，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)朝著高速、重負荷、多轉(zhuǎn)速的方向發(fā)展。近幾十年來，在大型汽輪發(fā)電機組、機車船舶等都發(fā)生過主軸的斷裂、飛脫等嚴(yán)重事故，對人身安全、國民經(jīng)濟造成巨大的損失。因而，由扭轉(zhuǎn)振動引起的機械系統(tǒng)故障備受關(guān)注[1]。

通常分析加速轉(zhuǎn)子的動力學(xué)響應(yīng)時，主要采用線性的方法[2]或者非常簡單的模型[3]，即Jeffcot轉(zhuǎn)子模型，其在轉(zhuǎn)動慣量很大的圓盤上加上一段無質(zhì)量的軸。分析轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動的跳躍、滯回等現(xiàn)象時，多數(shù)采用直接假設(shè)存在立方非線性項[4]，然而未對其產(chǎn)生的原因進行研究。普遍的認(rèn)識是不同的加速度使得轉(zhuǎn)子的共振峰發(fā)生了偏移[5]，不同學(xué)者有不同的觀點，例如轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速附近的阻尼是變化[6]的，轉(zhuǎn)子材料的非線性[7]及duffing非線性的求解方法[8]等。筆者對轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)幾何變形未進行線性假設(shè)，考慮高次項給系統(tǒng)帶來的非線性影響，并且對試驗的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行合理的簡化，建立了4個自由度的非線性動力學(xué)微分方程，采用模態(tài)截斷的方法[9]將系統(tǒng)的自由度由繁化簡，利用多尺度法對轉(zhuǎn)子的非線性方程進行求解。最后對轉(zhuǎn)子進行掃頻試驗，理論與試驗結(jié)果相符。

1 非線性扭轉(zhuǎn)振動的原因

當(dāng)軸的兩端受到方向相反、大小為T的扭矩時，假設(shè)變形后的截面依然是平面，截取長度為dx微元mmnn進行分析，其中,O1O2ABCD為未發(fā)生變形的楔形微元，變形后的微元為O1O2ABC′D′。AD與AD′的夾角即切應(yīng)變γ，微元由于扭矩T的作用而產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角為dφ。微元模型如圖 1 所示。切應(yīng)變γρ應(yīng)滿足

tanγρ=dd′/ad=ρdφ/dx

(1)

圖 1 微元的扭轉(zhuǎn)變形Fig.1 Torsional deformation of element

其中：ρ為微元到幾何中心的距離。

將式(1)進行Taylor展開

(2)

因為材料還處于彈性變形階段，滿足Hooke剪切定律

τρ=Gγρ

(3)

其中：G為材料剪切模量。

根據(jù)前面的假設(shè)，在截面上只有剪切應(yīng)力，對剪切應(yīng)力在整個截面上進行積分，可得

(4)

其中：Ip為極慣性矩。

當(dāng)轉(zhuǎn)軸在受到扭矩激勵時會發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動[10]，如圖 2所示，其中T，φ為關(guān)于x，t的函數(shù)，記為T(x,t)，φ(x,t)，則軸的扭轉(zhuǎn)運動微分方程為

(5)

圖2 軸的扭轉(zhuǎn)振動Fig.2 Torsional vibration of shaft

其中：J0為單位長度的轉(zhuǎn)動慣量；f為廣義力(阻尼力)。

化簡式(5)可得

?T/?x+f=J0?2φ/?2t

(6)

取自由邊界的振型函數(shù)

υ1(x)=cos(πx/L)

(7)

將式(4) 代入式(6)中，再從0到L積分，可得

(8)

將其代入式(8)可得

(9)

(10)

其中：|ε|≤1 且ε<0。

2 模型的建立

2.1 試驗臺

筆者分析的對象為一轉(zhuǎn)子故障模擬多功能試驗臺，如圖3所示，該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具備扭轉(zhuǎn)測試分析功能。

1-控制柜；2-T型槽平臺；3-兩極三相異步電動機；4-彈性聯(lián)軸器；5-滑動軸承；6-動平衡圓盤；7-測速傳感器支架；8-階梯軸；9-扭振遙測裝置；10-回旋振動傳感器支架；11-碰磨實驗支架；12-機械式扭振測試裝置；13-數(shù)據(jù)采集卡；14-數(shù)據(jù)庫；15-便攜電腦；16-PC圖 3 試驗臺結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure graphing of vibration table

試驗所用的兩極三相異步電動機的轉(zhuǎn)速范圍為0～3 000 r/min，控制柜用于實現(xiàn)電控扭振激勵的發(fā)生，以及相關(guān)參數(shù)如角加速度等的設(shè)置。

2.2 有限元線性模態(tài)分析

在ANSYS中對上述轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行建模仿真分析，如圖4所示。選用Beam188梁單元，對轉(zhuǎn)子的前5階扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率和振型進行了分析。

圖 4 轉(zhuǎn)子的有限元模型Fig.4 Finite element model of rotor

在ANSYS里進行模態(tài)求解，得到模型的前5階扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率，如表 1所示。

表1轉(zhuǎn)子的前5階扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率

Tab. 1 Former five torsional natural frequency of rotor

選取轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動的第1階振型進行展示，如圖 5所示。

圖 5 扭轉(zhuǎn)振動的第1階振型Fig. 5 Principal mode of torsional vibration

由表 1和圖 5可知，若不考慮非線性因素的影響，轉(zhuǎn)子第1階扭轉(zhuǎn)振動固有頻率為53.9 Hz，其最大扭角出現(xiàn)在遠離電動機的一端。

2.3 轉(zhuǎn)子的數(shù)學(xué)模型

經(jīng)過合理的簡化，得到簡化后的模型如圖 6 所示，將轉(zhuǎn)子簡化為4個集中質(zhì)量的圓盤和無質(zhì)量的軸。考慮轉(zhuǎn)子右端的聯(lián)軸器及電機軸的轉(zhuǎn)動慣量對系統(tǒng)的影響，所以簡化成4個集中質(zhì)量的圓盤，列出模型的運動微分方程

圖6 轉(zhuǎn)子的簡化模型Fig.6 Simplify model of rotor

其中：Jpi,θi,i=1,2,3,4分別為各圓盤的等效轉(zhuǎn)動慣量和扭轉(zhuǎn)角；Kti,Cti,i=1,2,3 為各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度和扭轉(zhuǎn)阻尼。

令φi=θi-θi+1,i=1,2,3代入式(11)消除轉(zhuǎn)子的剛體轉(zhuǎn)動，保留各圓盤之間的相對轉(zhuǎn)角，并將其轉(zhuǎn)換為矩陣的形式

(15)

其中 ：

式(15) 右端第1項為阻尼力項，第2項為非線性力項，第3項為驅(qū)動力項。為了對式(15)進行解耦，首先求轉(zhuǎn)子在無阻尼自由振動情況下扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率及其對應(yīng)的振型?？捎梢韵路匠痰玫?/p>

|-ω2I3+K|=0

(16)

(17)

將方程寫成矩陣的形式為

(19)

對式(19)采用非線性多尺度法可求得其1階近似解，假設(shè)解的形式如下

(20)

其中：σ為激勵頻率失調(diào)參數(shù)。

(21)

考慮到此轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動掃頻試驗為慢時變參數(shù)振動，所以有

(22)

將式(22)帶入式(21)，消去λ，整理可得振幅a與激勵頻率Ω的關(guān)系

(23)

用Matlab編程計算得到頻響曲線，見圖 7。

圖 7 主共振附近的頻響曲線Fig. 7 Frequency response of principal resonance

圖 7中箭頭的方向分別代表了轉(zhuǎn)子的升速和降速的過程。在轉(zhuǎn)子的非線性振動的求解過程中，對于固定的激勵頻率，其解可能有1個或3個。如圖7中虛線部分對應(yīng)的解為非穩(wěn)定解，實線部分對應(yīng)的解為穩(wěn)定解。

在升速階段的初期，轉(zhuǎn)子的相對扭轉(zhuǎn)振動值隨轉(zhuǎn)速升高基本保持不變。隨著轉(zhuǎn)速的增加，當(dāng)遇到非穩(wěn)定解時，相對扭轉(zhuǎn)振動值會驟然增加跳躍至較高的另一個穩(wěn)定解，因此在升速過程中呈現(xiàn)出跳躍現(xiàn)象。

在降速階段，轉(zhuǎn)子的相對扭轉(zhuǎn)振動值隨轉(zhuǎn)速降低逐步升高，當(dāng)遇到非穩(wěn)定解時，相對扭轉(zhuǎn)振動值會驟然降低至較低的另一個穩(wěn)定解，因此在降速過程中呈現(xiàn)出跳躍現(xiàn)象。

3 掃頻試驗

為驗證上述數(shù)學(xué)模型的正確性，對轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)振動進行掃頻試驗，采用兩極三相異步電機作為驅(qū)動，如圖8所示。電機在轉(zhuǎn)動的過程中，會激發(fā)出正序電流和負序電流，因此其相對頻率為Fs-(-Fs)，所以激勵頻率為電機轉(zhuǎn)速的2倍。計算主共振頻率時，按照共振頻率=共振轉(zhuǎn)速×2÷60計算。

根據(jù)有限元軟件分析得到的第1階振型中，最大扭轉(zhuǎn)角出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子的最左端，所以在末端安裝ONO SOKKI編碼器以得到轉(zhuǎn)子的最大扭角。

圖 8 試驗測試Fig. 8 Picture of test

在本次掃頻試驗中，電機從0升速至3 kr/min，再從3kr/min降速至0，加速時間和減速時間均為600s，得到的掃頻曲線如圖 9所示。

圖 9 掃頻試驗曲線Fig .9 Curve of frequency sweep test

從圖 9中可以看出，轉(zhuǎn)子的掃頻曲線中存在跳躍現(xiàn)象；在升速階段共振頻率較大，共振峰值較??；降速階段共振頻率較小，共振峰值較大。把圖 7的數(shù)值仿真數(shù)據(jù)與圖 9的試驗數(shù)據(jù)進行匯總和對比，結(jié)果如表 2所示。

表 2 模型數(shù)值仿真與試驗的對比

考慮扭轉(zhuǎn)振動中剛度漸軟的立方非線性后，數(shù)值仿真的結(jié)果(43.5Hz/升速，32.75Hz/降速)與試驗結(jié)果(44.2Hz/升速，33.1Hz/降速)誤差在2%以內(nèi)，是吻合的。

4 結(jié)果的討論與比較

1) 圖7中骨架線的中線(即點畫線)與x軸的交點為51.2Hz，與有限元線性求解結(jié)果是相符的。

2) 由于非線性振動分析中存在非穩(wěn)定解，多以轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速會發(fā)生偏移，幅頻響應(yīng)中出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。升速的主共振頻率要高于降速的主共振頻率，但降速的主共振峰值要高于升速的主共振峰值。

3) 對比圖7、圖9和表2可知，數(shù)值仿真得到的非線性振動的特點在試驗中均得到了驗證。

5 結(jié)束語

從扭轉(zhuǎn)振動的幾何變形的角度出發(fā)，在未進行線性化假設(shè)的前提下，推導(dǎo)出轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動中存在剛度漸軟的立方非線性項。通過數(shù)值仿真與試驗對比驗證了轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動中存在剛度漸軟的立方非線性項的理論的合理性。在轉(zhuǎn)子動力學(xué)設(shè)計方面應(yīng)充分考慮幾何尺寸帶來的剛度漸軟立方非線性的影響，避免轉(zhuǎn)子系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的共振頻率出現(xiàn)在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，否則系統(tǒng)工作的安全性能將大大降低，甚至出現(xiàn)重大的安全事故。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.06.029

上海市科學(xué)技術(shù)委員會基礎(chǔ)研究資助項目(15JC1402600)

2016-01-11；

2016-06-12

TH133.2; TH165.3

劉陽，男，1991年7月生，博士生。主要研究方向為旋轉(zhuǎn)機械的動力學(xué)及結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測。

E-mail：liuyangjiulong@sjtu.edu.cn