具有彈性支承輸流管路的振動(dòng)分析

趙千里， 孫志禮， 柴小冬

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院 沈陽(yáng),110819)

具有彈性支承輸流管路的振動(dòng)分析

趙千里， 孫志禮， 柴小冬

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院 沈陽(yáng),110819)

為研究截面內(nèi)流速不均以及彈性支承對(duì)輸流管路振動(dòng)問(wèn)題的影響，利用伽遼金法對(duì)考慮了流動(dòng)模型修正因子的具有彈性支承的兩端固定式輸流管路的振動(dòng)微分方程進(jìn)行了推導(dǎo)，得到了一般形式下輸流管路強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的表達(dá)式。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：流動(dòng)形式為層流時(shí)管路的固有頻率和臨界流速均小于理想流動(dòng)模型(平推流模型)的值；前者的發(fā)散臨界流速比后者小約13.4%，與理論結(jié)果一致；固有頻率隨彈簧安置位置的增加而呈現(xiàn)振蕩的變化，但始終大于無(wú)彈性支承時(shí)的值。該方法可作為設(shè)計(jì)支承形式的基礎(chǔ)，可以推廣用來(lái)研究其他類型管路的振動(dòng)問(wèn)題，并為設(shè)計(jì)人員提供精確的計(jì)算結(jié)果。

伽遼金法； 自由振動(dòng)； 強(qiáng)迫振動(dòng)； 輸流管路； 流動(dòng)模型修正因子

引 言

輸流管路是能夠輸送流體介質(zhì)的所有類型管路的統(tǒng)稱。在工業(yè)技術(shù)發(fā)達(dá)的現(xiàn)代社會(huì)，輸流管路是許多生產(chǎn)生活過(guò)程中必不可少的關(guān)鍵部分，如城市的供熱系統(tǒng)、天然氣和石油的運(yùn)輸系統(tǒng)、液壓油的傳送裝置等。在使用過(guò)程中，受使用環(huán)境(載荷、溫度、濕度等)影響，各類管路會(huì)發(fā)生不同的失效現(xiàn)象，如跑冒滴漏、塑性變形甚至斷裂等。輸流管路的流固耦合振動(dòng)是導(dǎo)致上述失效模式的主要原因之一，關(guān)于輸流管路的流固耦合振動(dòng)問(wèn)題受到了學(xué)者的廣泛關(guān)注并出版了大量的研究結(jié)果[1-5]。文獻(xiàn)[1]指出，輸流管路的流固耦合振動(dòng)已經(jīng)成為一類典型的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，關(guān)于這類問(wèn)題的研究目前主要分為理論模型和求解方法兩個(gè)方向。通常來(lái)講，建立輸流管路的力學(xué)模型時(shí)均以梁模型為理論基礎(chǔ)，然而，由于流體與管路內(nèi)壁之間黏性的存在，同一橫截面內(nèi)的流速并非處處相同。在文獻(xiàn)[6]中，流動(dòng)模型修正因子這一參數(shù)被引入到輸流管路的流固耦合振動(dòng)問(wèn)題中。文獻(xiàn)[7]對(duì)考慮了修正因子的小尺度輸流管路的流體誘發(fā)振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究。

在求解方法的研究方面，典型的方法主要包括有限單元法[8]、傳遞矩陣法[9]、微分變換法[10]、微分求積法或其廣義形式[11]以及格林函數(shù)法[12]等。各方法均有其優(yōu)勢(shì)的使用范圍，如文獻(xiàn)[10]中利用微分變換法求解了懸臂式、兩端固定式、固定-簡(jiǎn)支式以及兩端簡(jiǎn)支式這4類典型的輸流管路的固有頻率隨流速的變化關(guān)系。文獻(xiàn)[12]利用格林函數(shù)法計(jì)算得到了輸流管路線性非齊次形式的強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的解析解。

實(shí)際上，兩端安裝固定夾的輸流管路可近似視為文獻(xiàn)[7]中所述的兩端固定式，而對(duì)于跨度較大的情況，需要在兩固定端的中間再添加彈性支承以控制振動(dòng)的幅度。因此，筆者在考慮了流動(dòng)模型修正因子的基礎(chǔ)上，利用伽遼金法推導(dǎo)了中間具有彈性支承的兩端固定式輸流管路的自由和強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程，得到了自由振動(dòng)下固有頻率以及強(qiáng)迫振動(dòng)下位移響應(yīng)的表達(dá)式，重點(diǎn)研究了修正因子和彈性支承對(duì)管路流固耦合振動(dòng)問(wèn)題的影響。

1 力學(xué)模型及振動(dòng)微分方程

具有彈性支承的兩端固定式輸流管路的強(qiáng)迫振動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，其中L為管路的長(zhǎng)度。

圖1 輸流管路的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of fluid conveying pipe

對(duì)圖1所示的力學(xué)模型，其完整的線性振動(dòng)微分方程參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]，筆者僅研究修正因子及彈性支承對(duì)這類管路振動(dòng)問(wèn)題的影響。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，忽略了重力、張力、內(nèi)部壓力及阻尼等因素，僅考慮小變形情況。依據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，以單位長(zhǎng)度的管路為研究對(duì)象，可以得到其運(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

其中：EI為管路的彎曲剛度；w為橫向撓度；x和t分別為位置坐標(biāo)和時(shí)間；α為流動(dòng)模型修正系數(shù)；M和m分別為單位長(zhǎng)度流體和管路的質(zhì)量；U為橫截面內(nèi)流體的平均流速；K為彈簧的彈性系數(shù)；xm為彈簧的安置位置；F為外載荷。

為便于研究，可定義其無(wú)量綱形式為

kηδ(ξ-ξm)=f(ξ,τ)

(2)

假設(shè)管路承受關(guān)于時(shí)間簡(jiǎn)諧的激勵(lì)，則可將式(2)寫為

kηδ(ξ-ξm)=f(ξ)eiωτ

(3)

如無(wú)特殊說(shuō)明，下面所有的研究均采用無(wú)量綱形式的參數(shù)。

2 輸流管路振動(dòng)問(wèn)題的伽遼金表達(dá)式

2.1 伽遼金方法在本研究中的應(yīng)用

伽遼金法屬于加權(quán)余量法的一種，令有限項(xiàng)形函數(shù)的和在求解域及邊界上的加權(quán)積分滿足原方程，其中加權(quán)函數(shù)為形函數(shù)本身，即可得到一組易于求解的線性方程。

根據(jù)伽遼金法的定義，式(3)的解可近似表示為

(4)

其中：N為形函數(shù)的個(gè)數(shù)；φn為形函數(shù)；qn為時(shí)間相關(guān)項(xiàng)。

將式(4)代入式(3)，可得

(5)

分別將各形函數(shù)與式(5)相乘并將結(jié)果關(guān)于ξ在區(qū)間[0,1]內(nèi)積分，經(jīng)過(guò)整理可得

(6)

經(jīng)過(guò)整理，式(6)可以表示為

(7)

對(duì)于如圖1所示的兩端固定式輸流管路，其無(wú)量綱邊界條件為

(8)

形函數(shù)必須使式(8)始終成立。一般來(lái)講，應(yīng)用伽遼金法研究梁或輸流管路的振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，形函數(shù)均是采用梁的振型函數(shù)[13-14]，其表達(dá)形式過(guò)于復(fù)雜，在本研究中，將形函數(shù)選為

φn(ξ)=anξn+1(1-ξ)2(n=1,2,…,N)

(9)

式(8)的邊界條件得以滿足，an可以通過(guò)歸一化條件求得，即

(10)

通過(guò)化簡(jiǎn)，可得

(11)

經(jīng)過(guò)整理，形函數(shù)向量可表示為

{3·4·5·ξ2,…,(N+2)(N+3)(N+4)ξN+1}T

(12)

2.2 強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題的解

假設(shè)管路承受如式(3)中定義的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，則可假設(shè)式(7)的穩(wěn)態(tài)解的形式為

q=q0eiωτ

(13)

將式(13)代入式(7)，通過(guò)化簡(jiǎn)可以得到

q0=(-ω2M+iωG+K)-1Fe-iωτ

(14)

因此，輸流管路在時(shí)域內(nèi)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

η(ξ,τ)=Re{φ(-ω2M+iωG+K)-1F}

(15)

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 方法的有效性

假設(shè)管路承受集中的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，則式(3)中的f(ξ)可表示為

f(ξ)=f0δ(ξ-a)

(16)

其中：a為激振位置的無(wú)量綱形式，且a=A/L。

外載荷向量F可表示為

F=f0eiωτ{φ1(a),φ2(a),…,φN(a)}T

(17)

將式(17)代入式(15)便可計(jì)算出輸流管路的時(shí)域響應(yīng)。取f0=5.0，a=0.5，ω=20.0，u=1，α=1，β=0.5，并用ηmax表示撓度的幅值，分別利用格林函數(shù)法和本方法計(jì)算ξ=0.8處的ηmax，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 輸流管路的撓度幅值(ξ=0.8)

由表1可知，當(dāng)N=8時(shí)，本方法與格林函數(shù)法的解已經(jīng)十分相近，隨著N的增加，本方法的計(jì)算結(jié)果將無(wú)限接近精確解。綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算效率，下面的計(jì)算均取N=8。

3.2 無(wú)彈性支承輸流管路的橫向振動(dòng)問(wèn)題

首先研究系統(tǒng)的固有頻率。令式(7)中的外載荷向量等于0，即可得到系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程，此時(shí)的特征方程為

(ω2MN×N+ωGN×N+KN×N)qN×1=0

(18)

其中：ω為無(wú)量綱固有頻率，其形式與式(3)中定義的相同。

令系數(shù)矩陣的行列式等于0便可得到固有頻率的解。根據(jù)文獻(xiàn)[6]的分析，當(dāng)管路內(nèi)部流體的流動(dòng)形式為平推流時(shí)，α=1，當(dāng)流動(dòng)形式為層流時(shí)，α=4/3≈1.333且發(fā)散臨界流速ucd的理論解為

(19)

其中：μ為與管路支承形式相關(guān)的長(zhǎng)度系數(shù)，對(duì)于兩端固定式輸流直管，μ=0.5。

由式(19)可知，管路的臨界流速僅與μ和α有關(guān)，與其他因素?zé)o關(guān)。圖2為輸流直管的前4階固有頻率隨流速的變化關(guān)系，同一線型由下向上的4條曲線分別代表前4階固有頻率，其中虛線代表層流模型的解，實(shí)線代表平推流模型的解。由圖可知，對(duì)于前者，ucd=5.441，理論解為5.441；而對(duì)于后者，ucd=6.283，理論解為2π，前者比后者小約13.4%，計(jì)算結(jié)果與理論解幾乎相同，證明本方法十分精確，同時(shí)說(shuō)明了在同等參數(shù)的條件下，層流模型下的管路在較低流速下容易失穩(wěn)。事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算可得，前者的1,2階模態(tài)耦合顫振的臨界流速值ucf=8.049，后者的結(jié)果則為ucf=9.295，前者比后者同樣小約13.4%。

圖2 固有頻率隨流速的變化關(guān)系(β=0.5)Fig.2 Natural frequency with flowing velocity (β=0.5)

上述計(jì)算表明，用平推流模型近似流體在管路內(nèi)的流動(dòng)所得的結(jié)果與層流模型相差較大，這種差別對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算會(huì)產(chǎn)生較大的影響。例如：取f0=5.0，a=0.5，ω=20.0，u=1，β=0.5，利用本方法計(jì)算這兩類流動(dòng)模型下的振動(dòng)幅度隨流速的變化關(guān)系，結(jié)果如圖3所示。

圖3 撓度幅值隨流速的變化關(guān)系Fig.3 Amplitude of deflection with flowing velocity

由圖3可知，層流模型下的振動(dòng)幅值明顯較平推流模型下的幅值小，意味著依據(jù)后者計(jì)算結(jié)果的設(shè)計(jì)是偏向于安全的。

3.3 具有彈性支承輸流管路的橫向振動(dòng)問(wèn)題

本節(jié)主要研究彈性支承對(duì)管路自由及強(qiáng)迫振動(dòng)的影響，顯然，問(wèn)題為非線性，格林函數(shù)法不再適用。采用與3.2節(jié)相同的方式可得到彈性支承下的臨界流速值，其與彈性系數(shù)的關(guān)系如表2所示。

表2臨界流速與彈性系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系(ξm=0.3)

Tab.2Correspondingrelationshipbetweencriticalvelocityandelasticcoefficient(ξm=0.3)

kucd(α=1)ucd(α=4/3)偏差/%1016．3515．5001026．8445．92713．41037．8396．7891048．0186．9441088．0386．961

由表2可知，彈性系數(shù)增加僅僅使得式(19)中的μ減小，因此導(dǎo)致臨界流速增加，兩種流動(dòng)模型的臨界流速之間的偏差仍大約為13.4%。當(dāng)k趨近于無(wú)窮大時(shí)，臨界流速趨于定值，系統(tǒng)可視為由兩段固定-簡(jiǎn)支式管路組合而成。平推流模型與層流模型的計(jì)算結(jié)果差異較大，然而在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)情況下的流動(dòng)均為層流，因此，以下的研究全部基于層流模型的考慮。

由于所研究管路的兩端支承形式相同，所以在計(jì)算固有頻率時(shí)可以僅計(jì)算ξm∈[0,0.5]區(qū)間內(nèi)的值，另一半?yún)^(qū)間內(nèi)的結(jié)果只需關(guān)于ξm=0.5取對(duì)稱即可。管路的前4階固有頻率隨彈簧的彈性系數(shù)及其安置位置的變化關(guān)系如圖4所示。

圖4 固有頻率隨彈性支承的變化關(guān)系(u=1，β=0.5)Fig.4 Natural frequency with elastic support (u=1，β=0.5)

同一線型由下向上的4條曲線分別代表前4階固有頻率。如圖4所示，固有頻率隨著彈簧安置位置的變化呈現(xiàn)振蕩的變化，且彈性系數(shù)越大，振蕩的幅度越大，但是無(wú)論怎樣變化，在給定安置位置下，管路的固有頻率始終隨彈性系數(shù)的增加而增加。

為了研究彈性支承對(duì)管路受迫振動(dòng)響應(yīng)的影響，取f0=5.0，a=0.5，u=1，β=0.5，可計(jì)算得到ξ=0.8處的撓度幅值隨彈性支承的變化。

由圖5(a)可知，由于在所研究的彈性支承范圍內(nèi)激振頻率并沒(méi)有等于固有頻率，所以管路不會(huì)發(fā)生共振。撓度幅值隨彈性系數(shù)或安置位置的增加均有所下降，說(shuō)明彈性支承有效地抑制了振動(dòng)。在圖5(b)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k分別等于103和104時(shí)，撓度幅值曲線上均出現(xiàn)了峰值，依據(jù)共振原理可知，峰值出現(xiàn)的位置對(duì)應(yīng)的固有頻率必然等于激振頻率75.0，這一結(jié)論也可由圖4得到，說(shuō)明添加彈簧的同時(shí)也增加了管路發(fā)生共振的可能。

圖5 撓度幅值隨彈性支承的變化關(guān)系Fig.5 Amplitude of the deflection with elastic support

為了抑制輸流管路受迫振動(dòng)的幅度，在對(duì)管路進(jìn)行設(shè)計(jì)的時(shí)候需要分別從彈性支承和外部激勵(lì)兩方面考慮,即激勵(lì)確定的情況下，必須合理搭配彈性系數(shù)及彈簧的安置位置，而在彈性支承給定的情況下，激振頻率需控制在一定區(qū)域內(nèi)，彈簧的添加進(jìn)一步限制了激振頻率的范圍。更深層次來(lái)說(shuō)，若兩個(gè)因素都不確定，則要通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行合理地分配參數(shù)。這就凸顯了本方法的重要性，因?yàn)樗梢栽谄渌o定數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上計(jì)算出可信的數(shù)據(jù)以供設(shè)計(jì)人員參考，這樣不僅可以有效地避免共振的發(fā)生，更能使振動(dòng)控制在需要的范圍內(nèi)，因此，本方法可以有效地提高設(shè)計(jì)效率以及管路系統(tǒng)的可靠性。

4 結(jié) 論

1) 利用伽遼金法推導(dǎo)得到了考慮流動(dòng)模型修正因子并具有彈性支承的兩端固定式輸流管路面內(nèi)自由振動(dòng)的特征方程及強(qiáng)迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，分別得到了計(jì)算固有頻率及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的表達(dá)式。

2) 分析了層流模型下具有彈性支承輸流管路的自由及強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題，研究發(fā)現(xiàn)，相比于平推流模型，層流模型時(shí)管路的固有頻率和臨界流速均小于前者；固有頻率隨彈簧安置位置的增加而呈現(xiàn)振蕩的變化，但始終大于無(wú)彈性支承的值。

3) 所提方法可為設(shè)計(jì)人員提供精確可信的數(shù)據(jù)，有效地減少了設(shè)計(jì)人員的工作量，為后續(xù)的可靠性設(shè)計(jì)等內(nèi)容作了良好的鋪墊。

[1] Paidoussis M P，Li G X. Pipes conveying fluid: a model dynamical problem[J]. Journal of Fluids and Structures，1993，8：137-204.

[2] 張曉偉，李蘇洋. 空調(diào)管路系統(tǒng)的振動(dòng)分析[J]. 振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2012，32(S1)：120-122.

Zhang Xiaowei，Li Suyang. Vibration analysis of air condition pipes[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis，2012，32(S1)：120-122. (in Chinese)

[3] Kutin J，Bajsic I. Fluid-dynamic loading of pipes conveying fluid with a laminar mean-flow velocity profile[J]. Journal of Fluids and Structures，2014，50：171-183.

[4] Stephanie E，Thomsen J J. Predicting phase shift effects for vibrating fluid-conveying pipes due to coriolis forces and fluid pulsation[J]. Journal of Sound and Vibration，2011，330：5096-5113.

[5] 姜宏偉，袁朝輝，邱雷. 運(yùn)用小波變換的飛機(jī)管路振動(dòng)信號(hào)降噪方法[J]. 振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2012，32(5)：827-831.

Jiang Hongwei，Yuan Chaohui，Qiu Lei. Wavelet transform based denoising method on pipe vibration signals of aircraft[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis，2012，32(5)：827-831. (in Chinese)

[6] Guo Changqing，Zhang Chuhan，Paidoussis M P. Modification of equation of motion of fluid-conveying pipe for laminar and turbulent flow profiles[J]. Journal of Fluids and Structure，2010，26：793-803.

[7] Wang Lin，Liu Hongtao，Ni Qiao，et al. Flexural vibrations of micro-scale pipes conveying fluid by considering the size effects of micro-flow and micro-structure[J]. International Journal of Engineering Science，2013，71：92-101.

[8] Misra A K，Paidoussis M P，Van K S. On the dynamics of curved pipes transporting fluid, part II: extensible theory[J]. Journal of Fluids and Structures，1988，2：245-261.

[9] Li Shuaijun，Liu Gongmin，Kong Weitao. Vibration analysis of pipes conveying fluid by transfer matrix method[J]. Nuclear Engineering and Design，2014，266：78-88.

[10] Ni Qiao，Zhang Zilong, Wang Lin. Application of the differential transformation method to vibration analysis of pipes conveying fluid[J]. Applied Mathematics and Computation，2011，217：7028-7038.

[11] 李威，曾志松，韓旭. GDQR求解彈性地基上輸流管道的穩(wěn)定性[J]. 振動(dòng)與沖擊，2015，34(4)：211-215.

Li Wei，Zeng Zhisong，Han Xu. Stability of pipes conveying fluid on an elastic foundation based on GDQR[J]. Journal of Vibration and Shock，2015，34(4)：211-215. (in Chinese)

[12] Li Yundong，Yang Yiren. Forced vibration of pipe conveying fluid by the Green function method[J]. Archive of Applied Mechanics，2014，84：1811-1823.

[13] 金基鐸，楊曉東，鄒光勝. 兩端支承輸流管道的穩(wěn)定性和臨界流速分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2006，42(11)：131-136.

Jin Jiduo，Yang Xiaodong，Zou Guangsheng. Stability and critical flow velocity of supported pipes conveying fluid[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2006，42(11)：131-136. (in Chinese)

[14] 周奇鄭，王德石，平子鵬. 非線性支撐下懸臂輸流管道的Hopf分叉特性[J]. 海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，27(1)：26-30.

Zhou Qizheng，Wang Deshi，Ping Zipeng. Hopf bifurcations of nonlinear support cantilever fluid- conveying pipeline[J]. Journal of Naval University of Engineering，2015，27(1)：26-30. (in Chinese)

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.06.023

國(guó)家科技重大專項(xiàng)課題資助項(xiàng)目(2013ZX04011-011)

2016-10-12；

2016-12-12

TH137； O327

趙千里，男，1989年10月生，博士。主要研究方向?yàn)檩斄鞴苈返牧鞴恬詈险駝?dòng)。曾發(fā)表《具有彈性支承輸流管路的流體誘發(fā)振動(dòng)分析》(《東北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版》2016年第37卷第8期)等論文。

E-mail:zql20081841@163.com