避開(kāi)無(wú)窮 返璞歸真（上）

張景中+彭翕成

數(shù)學(xué)中的無(wú)窮，常用符號(hào)∞表示，來(lái)自于拉丁文的“infinitas”，取“沒(méi)有邊界”之義。

無(wú)窮內(nèi)容之豐富，就像一個(gè)深不可測(cè)的海洋，其中不知蘊(yùn)藏著多少秘密。古今中外關(guān)于無(wú)窮的著作浩如煙海。

對(duì)于無(wú)窮，數(shù)學(xué)家又愛(ài)又恨。面對(duì)無(wú)窮，常常能避則避，但避開(kāi)無(wú)窮不是一件容易的事情。

1.《幾何原本》中的無(wú)窮

歐幾里得《幾何原本》中第五公設(shè)就涉及無(wú)窮。敘述如下：

如圖1，如果一條線段與兩條直線相交，在某一側(cè)的內(nèi)角和小于兩直角的和，那么這兩條直線在不斷延伸后，會(huì)在內(nèi)角和小于兩直角和的一側(cè)相交。

這里“不斷延伸”的字句，已經(jīng)涉及無(wú)窮。

“由圓外一點(diǎn)P向⊙O作切線”，現(xiàn)在常見(jiàn)的的作圖法如圖2，連接OP，作OP中點(diǎn)M，以M為圓心，MO為半徑作圓，交⊙O于N，則PN即為所求作的切線。

而《幾何原本》中的作圖法如圖3，連接OP，交⊙O于A，過(guò)A作OP的垂線，交以O(shè)為圓心，OP為半徑的圓于點(diǎn)B，連接OB，交以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓于點(diǎn)C，則PC即為所求作的切線。

為什么《幾何原本》中不采用圖2的簡(jiǎn)單作法呢？因?yàn)閳A的直徑所對(duì)的圓周角為直角，是由三角形內(nèi)角和等于180毅推導(dǎo)得到的。使用圖3的作法，就是希望避開(kāi)平行公設(shè)，也就是避開(kāi)無(wú)窮。

素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，在《幾何原本》中的說(shuō)法卻是“質(zhì)數(shù)比任意給定的一群質(zhì)數(shù)還多”。注意這里避開(kāi)了無(wú)窮。

2.從有限到無(wú)窮———三角形內(nèi)角和定理的證明

理解無(wú)窮，要從有窮開(kāi)始。

研究表明：通過(guò)驗(yàn)證一個(gè)三角形的內(nèi)角和為180毅，就能斷言所有三角形的內(nèi)角和都為180毅！

問(wèn)題一共涉及10個(gè)變?cè)?。其中u1，u2可任意取值，叫做自由變?cè)Ｒ坏﹗1，u2定了，x1～x8都可以由條件H定下來(lái)，所以x1～x8叫做約束變?cè)?。利用條件H接觸x1～x8代入C，可得到關(guān)于u1，u2的多項(xiàng)式G（u1，u2）。要證明條件H之下有結(jié)論C，也就是證明多項(xiàng)式G（u1，u2）恒等于0。容易推出G關(guān)于u1，u2的次數(shù)都不超過(guò)1，于是只要在u1，u2的一個(gè)2×2的格陣上檢驗(yàn)G是否為0即可。這個(gè)格陣可取（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），立刻可以算出G在這幾組數(shù)值下為0。事實(shí)上，對(duì)于（u1，u2）=（0，0）=（1，0）根本不用算，因?yàn)榇藭r(shí)A，B，C三點(diǎn)共線，結(jié)論顯然。而在（u1，u2）=（1，1）和（u1，u2）=（0，1）這兩種情形下得到的△ABC是全等的。因而只要對(duì)（u1，u2）=（0，1）作檢驗(yàn)即可。把u1=0，u2=1代入H，得x8=1，x6=1，x7=-1，x5=1，代入C得g=0，這就完成了命題的證明。（參閱《自然雜志》1991年第1期《舉例子能證明幾何定理嗎》）

這表明，只要檢驗(yàn)4個(gè)三角形（實(shí)質(zhì)上是一個(gè)），便足以證明三角形內(nèi)角和定理！

3.“飛矢不動(dòng)”中的無(wú)窮

古希臘著名哲學(xué)家芝諾曾經(jīng)提出“飛矢不動(dòng)”的怪論。他說(shuō)箭在每一個(gè)時(shí)刻都有一個(gè)確定的位置，因而在每一個(gè)時(shí)刻都沒(méi)有動(dòng)。既然每個(gè)時(shí)刻都沒(méi)有動(dòng)，它怎么能夠動(dòng)呢？

為了駁倒這個(gè)怪論，就要說(shuō)清楚什么叫動(dòng)，什么叫沒(méi)有動(dòng)。

如果一個(gè)物體的位置在時(shí)刻u和后來(lái)的一個(gè)時(shí)刻v不同，我們就說(shuō)它在時(shí)刻u和v之間動(dòng)了。反過(guò)來(lái)，如果它在任意時(shí)刻t∈[u，v]都有相同的位置，就說(shuō)它在u到v這段時(shí)間內(nèi)沒(méi)有動(dòng)。

這樣，動(dòng)或不動(dòng)都是涉及兩個(gè)時(shí)刻的概念。芝諾所說(shuō)“在每一個(gè)時(shí)刻都沒(méi)有動(dòng)”的論斷是沒(méi)有意義的！

芝諾論題的令人迷惑之處，在于運(yùn)動(dòng)物體好像要經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)時(shí)刻才能完成運(yùn)動(dòng)。而我們?cè)诶砬鍎?dòng)與不動(dòng)的概念時(shí)，可以避開(kāi)無(wú)窮，只在兩個(gè)時(shí)刻考慮。

4.避開(kāi)無(wú)窮的天才———阿基米德

古希臘的阿基米德是避開(kāi)無(wú)窮的天才。他從拋物線弓形的內(nèi)接三角形面積出發(fā)，成功地求出了拋物線弓形的面積。

如圖5，設(shè)拋物線的方程為y=kx（2k>0）?？紤]區(qū)間[a-h，a+h]上的一段拋物線所構(gòu)成的弓形。