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    環(huán)Z2+uZ2+u2Z2(u3=1)上的2-D斜循環(huán)碼

    2018-01-03 09:44:49趙瑞瑞李秀麗
    山東科學(xué) 2017年6期
    關(guān)鍵詞:定義

    趙瑞瑞,李秀麗

    (青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院,山東 青島 266061)

    環(huán)Z2+uZ2+u2Z2(u3=1)上的2-D斜循環(huán)碼

    趙瑞瑞,李秀麗*

    (青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院,山東 青島 266061)

    本文研究了環(huán)Z2+uZ2+u2Z2上的2-D斜循環(huán)碼,對(duì)二元斜多項(xiàng)式的性質(zhì)和因式分解進(jìn)行了討論。同時(shí)研究了線性碼是2-D斜循環(huán)碼的充要條件、2-D斜循環(huán)碼的性質(zhì)及其構(gòu)造方法 。

    斜循環(huán)碼;斜多項(xiàng)式;2-D斜循環(huán)碼

    1 預(yù)備知識(shí)

    多項(xiàng)式環(huán)和理想通常被用來(lái)構(gòu)造循環(huán)碼。斜多項(xiàng)式環(huán)是非交換環(huán),在代數(shù)碼的構(gòu)造上應(yīng)用廣泛。因?yàn)樾倍囗?xiàng)式環(huán)中的多項(xiàng)式不滿足乘法交換律,因此斜多項(xiàng)式環(huán)中比多項(xiàng)式環(huán)中存在更多的理想。文獻(xiàn)[1-2]中提出了利用斜多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造循環(huán)碼的一種推廣形式——斜循環(huán)碼,并且構(gòu)造出了許多好碼。近幾年,編碼領(lǐng)域的科學(xué)工作者以高斯環(huán)、Z2+uZ2+u2Z2、F4+vF4、Fp+vFp作為主要的研究對(duì)象,在斜循環(huán)碼的構(gòu)造方面,文獻(xiàn)[1-6]做了很多卓有成效的工作。文獻(xiàn)[3]中討論了環(huán)Z2+uZ2+u2Z2上的斜循環(huán)碼與多項(xiàng)式環(huán)理想的關(guān)系,并給出了斜循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式。文獻(xiàn)[7]中介紹了在有限域上二維斜循環(huán)碼的一些基本性質(zhì)和構(gòu)造方法,以及2-D斜循環(huán)碼和斜循環(huán)碼以及循環(huán)碼之間的關(guān)系。

    在本文中環(huán)R=Z2+uZ2+u2Z2={0,1,u,u2,1+u,1+u2,u+u2,1+u+u2},其中u3=1。對(duì)任意的兩個(gè)元素a=a0+ua1+u2a2,b=b0+ub1+u2b2∈R,定義加法規(guī)則如下:c=a+b=c0+uc1+u2c2,其中ci=ai+bi(mod 2),i=0,1,2。乘法定義為c=ab=c0+uc1+u2c2,其中c0=a0b0+a1b2+a2b1(mod 2),c1=a0b1+a1b0+a2b2(mod 2),c2=a0b2+a2b0+a1b1(mod 2)。

    c=(c0,c1,…,cn-1)∈C?Τσ(c)=(σ(cn-1),σ(c0),…,σ(cn-2,))∈C,

    映射Τσ稱為σ-斜移位算子。如果σ是單位映射,那么C是R上的循環(huán)碼。

    設(shè)σ是R上的一個(gè)自同構(gòu)映射,多項(xiàng)式集合R[x,σ]={∑aixi|ai∈R;i∈Z+}。在R[x,σ]上加法運(yùn)算定義為普通多項(xiàng)式加法,乘法定義為axi·bxj=aσi(b)xi+j。由分配律和結(jié)合律可擴(kuò)充為R[x,σ]上的任意元素之間的運(yùn)算,因此R[x,σ]是一個(gè)環(huán) 。

    通常,如果f(x)∈R[x,σ]生成一個(gè)雙邊理想,那么R[x,σ]/的左理想是一個(gè)在R上長(zhǎng)為deg(f(x))的線性碼。這樣的碼稱為斜線性碼,如果它是一個(gè)主左理想,那么稱它為主斜線性碼。

    設(shè)σ和θ是R上的兩個(gè)自同構(gòu)映射,二元多項(xiàng)式集合

    R[x,y;σ,θ]={∑∑aijxiyj|aij∈R;(i,j)∈Z+2},

    在R[x,y;σ,θ]上加法運(yùn)算定義為普通多項(xiàng)式加法,乘法定義如下:

    axiyj·bxryt=aσiθj(b)xi+ryj+t,

    由分配律和結(jié)合律可擴(kuò)充為R[x,y;σ,θ]上的任意元素之間的運(yùn)算,因此R[x,y;σ,θ]是一個(gè)環(huán)。

    定義1.2 設(shè)C是一個(gè)在R[x,y;σ,θ]上長(zhǎng)度為n的線性碼,n=sl,寫(xiě)成矩陣的形式,?c∈C有

    如果矩陣c的行在σ斜移位和列在θ斜移位下仍在C中,稱C是一個(gè)R上的在σ和θ下大小為sl的2-D斜循環(huán)碼。如果σ和θ是單位映射,C是2-D循環(huán)碼。

    2 二元斜多項(xiàng)式環(huán)R[x,y;σ,θ]

    設(shè)f,g∈R[x,y;σ,θ],且f,g的最高次項(xiàng)的系數(shù)在R上可逆,如果存在h∈R有f=h·g,那么g稱為f的右因子。左因子的定義類似。若g與任意多項(xiàng)式可交換,則g(x,y)∈Z(R[x,y;σ,θ]),稱g為中心多項(xiàng)式。

    與[5]中證明類似,可得到以下結(jié)論:

    引理2.1 如果g·h∈Z(R[x,y;σ,θ]),那么g·h=h·g。即一個(gè)中心多項(xiàng)式的右因子也是它的左因子。

    (xs-1)·f(x,y)=f(x,y)·(xs-1)和(yl-1)·f(x,y)=f(x,y)·(yl-1)。

    證明:設(shè)f(x,y)∈∑∑ai,jxiyj,ai,j∈R,

    另一等式同理可證。

    下面將文獻(xiàn)[4]中定理1推廣到到二元斜多項(xiàng)式環(huán)。

    定理2.3 設(shè)兩個(gè)非零多項(xiàng)式f1(x,y),f2(x,y)∈R[x,y;σ,θ],滿足deg(f1(x,y))≥deg(f2(x,y)),那么存在兩個(gè)多項(xiàng)式h(x,y)≠0,g(x,y)∈R[x,y;σ,θ]滿足f1(x,y)=h(x,y)·f2(x,y)+g(x,y)有h(x,y)=0或deg(f2(x,y))!≤deg(g(x,y))deg(f1(x,y))。(其中!≤表示不嚴(yán)格小于)

    證明:設(shè)deg(f1(x,y))=(k1,λ1),deg(f2(x,y))=(k2,λ2)滿足(k1,λ1)≥(k2,λ2)。假如f1(x,y)和f2(x,y)的最高次項(xiàng)分別為ak1λ1xk1yλ1和bk2λ2xk2yλ2,ak1,λ1≠0且bk2λ2≠0,在R上可逆,存在h1(x,y)=ak1λ1(σk1-k2θλ1-λ2)-1(bk2λ2)xk1-k2yλ1-λ2和g1(x,y)=f1(x,y)-h1(x,y)·f2(x,y),顯然有g(shù)1(x,y)=0或deg(g1(x,y))deg(f1(x,y))。如果g1(x,y)≠0,deg(f2(x,y))!≤deg(g1(x,y))結(jié)論得證,否則deg(f2)≤deg(g1)。類似地,存在h2(x,y)和g2(x,y)有g(shù)1(x,y)=h2(x,y)·f2(x,y)+g2(x,y),滿足g2(x,y)=0或deg(g2(x,y))deg(g1(x,y))。如果g2(x,y)≠0,deg(f2(x,y))!≤deg(g2(x,y)),結(jié)論得證,否則deg(f2)≤deg(g2)。繼續(xù)按上述方法迭代,在有限次運(yùn)算之后停止,我們得到h1(x,y),h2(x,y),…,ht-1(x,y)和g1(x,y),g2(x,y),…,gt(x,y)有

    f1(x,y)=h1(x,y)·f2(x,y)+g1(x,y),

    g1(x,y)=h2(x,y)·f2(x,y)+g2(x,y),

    …,

    gt-1(x,y)=ht(x,y)·f2(x,y)+gt(x,y),

    滿足gt(x,y)=0或f2(x,y)!≤gt(x,y)。如果gt(x,y)≠0,有

    deg(gt(x,y))deg(gt-1(x,y))…deg(g1(x,y))deg(f1(x,y))。

    例2.4 設(shè)f1(x,y)=x4y2-2xy+5,f2(x,y)=x2y-2x+2,滿足deg(f1(x,y))>deg(f2(x,y)),容易得出f1(x,y)=h(x,y)·f2(x,y)+g(x,y),其中h(x,y)=x2y-2,g(x,y)=-xy-2x+9,滿足定理要求。

    3 2-D斜循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)

    且l是滿足上述條件的最小正整數(shù)。

    這意味著,在R上長(zhǎng)為n=sl下標(biāo)為l的斜準(zhǔn)循環(huán)碼C是在映射Τσ,l下Rsl的不變的R-子模。

    設(shè)C是R上的長(zhǎng)為n=sl的線性碼,它的碼字可以寫(xiě)成s×l的矩陣形式:

    從定義中可知C是2-D斜循環(huán)碼的充要條件是:

    ①C1是一個(gè)在σ下長(zhǎng)為sl指數(shù)為l的斜準(zhǔn)循環(huán)碼;

    ②C2是一個(gè)在θ下長(zhǎng)為sl指數(shù)為s的斜準(zhǔn)循環(huán)碼。

    設(shè)F=R[x,y;σ,θ]/l,給出如下自同構(gòu)映射:

    Rs×l→F,

    Rs×l記為s×l的矩陣的集合。那么一個(gè)碼字c∈C可以被記為在上述映射下的一個(gè)二元多項(xiàng)式。因此在R上的斜循環(huán)碼也可以認(rèn)為是F的左R[x,y;σ,θ]-子模。

    定理3.2F上的碼C是一個(gè)2-D斜循環(huán)碼,當(dāng)且僅當(dāng)C是一個(gè)F的左R[x,y;σ,θ]-子模。

    證明: “?”在F中的碼C是2-D斜循環(huán)碼,碼C中的任意碼字的行σ-移位和列θ-移位仍在C中。設(shè)f(x,y)是C中的碼字的二元多項(xiàng)式表示,對(duì)任何非負(fù)整數(shù)i,j{xiyjf(x,y)}R仍是C中碼字的二元多項(xiàng)式表示,{xiyjf(x,y)}R表示x的指數(shù)模s,y的指數(shù)模l。C是線性的有{r(x,y)f(x,y)}R∈F,對(duì)?f(x,y)∈R[x,y;σ,θ],所以C是F的左R[x,y;σ,θ]-子模。

    “?”設(shè)C是F的左R[x,y;σ,θ]-子模,那么對(duì)?f(x,y)∈F我們有{x·f(x,y)}R∈C,{y·f(x,y)}R∈C。因此C是一個(gè)2-D斜循環(huán)碼。

    例3.4 取R上的自同構(gòu)映射σ、θ為:σ(a0+ua1+u2a2)=a0+u2a1+ua2,其中ai∈Zi,i=0,1,2,σ=θ。易知若a∈R,則θ2(a)=a,即θ的階為2。 設(shè)l=4,s=2,那么D=是F的一個(gè)左理想,D/是一個(gè)4×2的2-D斜循環(huán)碼。

    理想D有一個(gè)生成元為xiyj(x2+uxy+u2x2y)模,0≤i≤3,0≤j≤1的集合,相對(duì)應(yīng)的碼字為:

    4 結(jié)語(yǔ)

    本文對(duì)2-D斜多項(xiàng)式環(huán)的性質(zhì)和因式分解進(jìn)行了討論,給出了環(huán)Z2+uZ2+u2Z2上的一個(gè)自同構(gòu),討論了其上的2-D斜循環(huán)碼的性質(zhì)及其構(gòu)造,并給出了一個(gè)實(shí)例加以說(shuō)明。由于Z2+uZ2+u2Z2上的斜循環(huán)碼是廣義斜循環(huán)碼,其個(gè)數(shù)要比循環(huán)碼多,因此研究斜循環(huán)碼有利于找到更多的好碼。

    [1]BOUCHERD, GEISELMANN W, ULMER F. Skew cyclic code[J].Applied Algebra in Engineering Communication and Computing,2007,18(4): 379-389.

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    [5]BHAINTWAL M. Skew quasi-cyclic codes over Galois rings[J]. Des Codes Cryptogr,2012,62: 85-101.

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    [7]LIX L, LI H Y. 2-Dskew-cyclic codes overFq[x,y;ρ,θ][J]. Finite Fields and Their Applications, 2014,25:49-63.

    2-DskewcycliccodesovertheringZ2+uZ2+u2Z2(u3=1)

    ZHAORui-rui,LIXiu-li*

    (SchoolofMathematicsandPhysics,QingdaoUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266061,China)

    ∶In this paper, the2-Dskew cyclic codes over the ringZ2+uZ2+u2Z2was studied. The properties and factorizations of bivariate skew polynomial were also discussed. Then the necessary and sufficient condition for linear code to be 2-Dskew cyclic code were given. Finally,the properties and the structure of 2-Dskew cyclic code were researched.

    ∶skew cyclic codes; skew polynomial;2-Dskew cyclic codes

    10.3976/j.issn.1002-4026.2017.06.020

    2017-01-09

    山東省中青年科學(xué)家獎(jiǎng)勵(lì)基金(BS2011DX011);山東省科技廳聯(lián)合專項(xiàng)(ZR2013AL011)

    趙瑞瑞(1992—),男,碩士研究生,研究方向?yàn)榻M合設(shè)計(jì)編碼。

    *通信作者,李秀麗,女,副教授,碩士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)榻M合設(shè)計(jì)編碼。1436354481@qq.com

    O157

    A

    1002-4026(2017)06-0119-05

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