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    2015-2017年高考數(shù)學(xué)全國卷導(dǎo)數(shù)命題的幾個(gè)視角*

    2018-01-03 01:41:53四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院641100
    關(guān)鍵詞:切線極值零點(diǎn)

    四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100)

    董萬平 余小芬 袁小燕

    2015-2017年高考數(shù)學(xué)全國卷導(dǎo)數(shù)命題的幾個(gè)視角*

    四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100)

    董萬平 余小芬 袁小燕

    導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識,也是微分學(xué)的重要內(nèi)容,同時(shí)還是刻畫函數(shù)和曲線性態(tài)的有力工具.近年高考中,導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)深受命題者青睞,題型覆蓋客觀題和解答題,內(nèi)容上體現(xiàn)了與函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、向量、不等式、概率等知識的交匯融合,蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等基本數(shù)學(xué)思想方法.充分考查學(xué)生的抽象思維能力,邏輯推理能力,運(yùn)算求解能力.本文以近三年高考數(shù)學(xué)全國卷中導(dǎo)數(shù)試題為例,分析導(dǎo)數(shù)考查的幾個(gè)視角.

    視角一 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限

    例1 (2017年全國卷Ⅱ,文21)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

    (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

    (Ⅱ)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

    視角二 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線問題

    導(dǎo)數(shù)的幾何意義體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)與曲線的聯(lián)系,蘊(yùn)含著“以直代曲”的重要數(shù)學(xué)思想.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線問題是導(dǎo)數(shù)的一種最基本應(yīng)用.該類問題主要考查學(xué)生對導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解及求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則的應(yīng)用,高考中常以選擇、填空題形式出現(xiàn),有時(shí)也滲透在解答題中,難度中等.

    例2 (2015年全國卷I,文14)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線過點(diǎn)(2,7),則a=________.

    解:f′(x)=3ax2+1,則f(x)在點(diǎn)(1,f(1))的切線斜率為k=f′(1)=3a+1,又f(1)=a+2,故切線方程為y-(a+2)=(3a+1)(x-1),代入(2,7),解得a=1.

    點(diǎn)評:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線問題時(shí),一定要把握“切點(diǎn)坐標(biāo)”這一關(guān)鍵要素.同時(shí)要注意“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”的區(qū)別,進(jìn)而才能準(zhǔn)確表達(dá)切線斜率.近三年全國卷類似考題還有:2017年全國卷Ⅰ文科14題,2016年全國卷Ⅲ文科16題、理科15題,2016年全國卷Ⅱ理科16題,2015年全國卷I理科12題,2015年全國卷Ⅱ文科16題.

    視角三 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

    導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、求解極值與最值、刻畫函數(shù)圖像變化趨勢的重要工具.近年高考中以此為背景的試題屢見不鮮.

    例3 (2017年全國卷Ⅱ,理11)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),則f(x)的極小值為( ).

    A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

    解:f′(x)=ex-1[x2+(2+a)x+a-1].由x=-2為f(x)的極值點(diǎn)得f′(-2)=0,解得a=-1.故f′(x)=ex-1(x2+x-2),令f′(x)=0,解得x1=-2或x2=1.容易分析f(x)的極小值為f(1)=-1.故選A.

    點(diǎn)評:本題考查求解可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟,難度中等,重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)對極值概念的理解及求導(dǎo)公式、法則的正確使用.理解極值概念時(shí),應(yīng)把握極值反映的是函數(shù)的局部最值特征.函數(shù)在點(diǎn)x0處取得的極值未必是函數(shù)的最值,要區(qū)分極值與最值的“局部”與“整體”關(guān)系.其次,對可導(dǎo)函數(shù)f(x)而言,f′(x0)=0只是f(x)在點(diǎn)x0處取極值的必要條件,而非充要條件.

    例4 (2015年全國卷Ⅱ,文21)已知f(x)=lnx+a(1-x).

    (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

    (Ⅱ)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時(shí),求a的取值范圍.

    令g(a)=lna+a-1,則g(a)在(0,+∞)是增函數(shù),且g(1)=0.于是當(dāng)01時(shí),g(a)>0.故a∈(0,1).

    視角四 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題

    利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)零點(diǎn)、估算零點(diǎn)范圍,判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍,是導(dǎo)數(shù)綜合運(yùn)用的體現(xiàn),也是近年高考的熱點(diǎn)問題.該類問題常涉及對函數(shù)零點(diǎn)、方程根、兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間關(guān)系的理解,以及對零點(diǎn)存在性定理的靈活應(yīng)用,滲透著分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等基本思想.

    例5 (2017年全國卷Ⅰ,理21)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

    (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

    (Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

    解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞).當(dāng)a≤0,f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減.當(dāng)a>0,f(x)在(-∞,-lna)單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)單調(diào)遞增.

    點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、最值及零點(diǎn)的綜合問題,考查學(xué)生對問題的分析、轉(zhuǎn)化及運(yùn)算能力.(Ⅱ)利用(Ⅰ)問單調(diào)性結(jié)論作為零點(diǎn)問題分類討論的依據(jù),并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值與0的大小問題,進(jìn)而求解a的范圍.問題的解決中對不等式放縮技巧要求較高.當(dāng)然解決(Ⅱ)問還可利用分離參數(shù)法,或轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題進(jìn)行處理,考生可根據(jù)知識把握情況,靈活選取.近三年全國卷類似考題還有:2017年全國卷Ⅲ文科12題、2016年全國卷Ⅰ理科21題.

    視角五 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

    不等式的證明問題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn),解決問題所涉及的方法多樣,技巧性靈活,學(xué)生不易把握.通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性證明不等式,這種解決問題的思路清晰,操作性強(qiáng),易于掌握,同時(shí)也體現(xiàn)了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用.

    例6 (2017年全國卷Ⅲ,理21)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

    (Ⅰ)若f(x)≥0,求a的值

    解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).

    (Ⅱ)由(Ⅰ)問,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),x-1-lnx>0,即lnx

    點(diǎn)評:本題是一個(gè)有遞進(jìn)關(guān)系的綜合問題,通過導(dǎo)數(shù)解決(Ⅰ)問中不等式的恒成立問題,求得a值,進(jìn)而獲得解決(Ⅱ)問的“隱性條件”lnx1).再根據(jù)(Ⅱ)問已知不等式特征,利用對數(shù)性質(zhì),對不等式進(jìn)行變形、放縮處理,求得參數(shù)m值.當(dāng)然本題還可利用另一不等式ex>x+1(x>1),結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì),通過放縮不等式解決問題.

    視角六 利用導(dǎo)數(shù)研究存在性、恒成立問題

    利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)存在性問題或恒成立問題是歷年高考考查的難點(diǎn)、熱點(diǎn).主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式的綜合應(yīng)用.

    例7 (2017年全國卷Ⅱ理科,21)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.

    (Ⅰ)求a.

    (Ⅱ)證明:存在唯一的極大值點(diǎn)x0,且e-2

    解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).f(x)≥0等價(jià)于a(x-1)≥lnx.

    綜上,對任意x∈(0,+∞),f(x)≥0成立,則a=1.

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x2-x-xlnx,f′(x)=2x-2-lnx.

    當(dāng)然,導(dǎo)數(shù)的考查視角絕不止上述總結(jié),限于篇幅,本文僅以全國卷試題為例,權(quán)作拋磚引玉,有興趣的讀者可結(jié)合地方省份高考試題作進(jìn)一步研究,比如利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)圖像交點(diǎn)問題、處理極值偏移點(diǎn)問題等.

    四川省"西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃"項(xiàng)目(ZY16001).余小芬系本文通訊作者.

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