初中生平面幾何證明學(xué)習(xí)的心理因素和過(guò)程分析

陜西學(xué)前師范學(xué)院數(shù)學(xué)系(710100) 趙小云

山東省德州市寧津縣杜集中學(xué)(253400) 孫立偉

江西省鷹潭市余江縣洪湖中學(xué)(335211) 朱全福

初中生平面幾何證明學(xué)習(xí)的心理因素和過(guò)程分析

陜西學(xué)前師范學(xué)院數(shù)學(xué)系(710100) 趙小云

山東省德州市寧津縣杜集中學(xué)(253400) 孫立偉

江西省鷹潭市余江縣洪湖中學(xué)(335211) 朱全福

平面幾何是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn),也是造成初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)二極分化的重要原因.然而,幾何證明的學(xué)習(xí)更是平面幾何教學(xué)中難點(diǎn)中的難點(diǎn),它對(duì)初中學(xué)生的后續(xù)數(shù)學(xué)課程和其他課程的學(xué)習(xí)有著十分重要的影響.因此,分析和研究平面幾何證明學(xué)習(xí)過(guò)程中的各種心理機(jī)制,對(duì)于優(yōu)化我們的平面幾何課堂教學(xué),提高數(shù)學(xué)教育質(zhì)量,努力使每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)和創(chuàng)新能力都得到最大限度的發(fā)展有著十分重要的現(xiàn)實(shí)意義.

1.心理因素分析

決定幾何證明學(xué)習(xí)效果的心理因素主要包括問題的情境因素和個(gè)人因素兩個(gè)方面,這兩個(gè)方面因素又是相互影響的.一般來(lái)說(shuō),問題情境的刺激模式,幾何證明問題的心理定勢(shì)及由問題情境引起的情感與動(dòng)機(jī)狀態(tài)大致屬于問題情境因素.而學(xué)生原有基礎(chǔ)知識(shí)的有效度、個(gè)性以及學(xué)習(xí)習(xí)慣則是個(gè)人因素的表現(xiàn).

1.1 刺激模式

學(xué)生面對(duì)一個(gè)幾何證明問題時(shí),首先會(huì)感知問題所提供的信息.因而,問題提供情境信息的方式對(duì)思考這個(gè)問題起著不同的影響.例如

問題1已知從圓外一點(diǎn)P向半徑為R的⊙O作切線,切線長(zhǎng)PA=a,證明P到⊙O的最短距離是-r.

由圖1(a)、(b)所提供的刺激模式中,對(duì)于求證結(jié)論：“P到O的最短距離是-r”.顯然,(a)圖具有明顯的便利.由此說(shuō)明條件信息在空間的排列,會(huì)便利或者妨礙問題情境的被知覺甚至影響證題思路的尋求.這對(duì)于把握平面幾何證明課堂教學(xué)的難度有著重要意義.

圖1(a)

圖1(b)

學(xué)生對(duì)平面幾何證明問題中的某些圖形信息,有時(shí)會(huì)產(chǎn)生功能上的鎖定性傾向.例如小學(xué)學(xué)習(xí)的三角形面積公式一般都記憶深刻,而且呆板.

問題2 如圖2,CD為Rt△ABC斜邊上的高線,求證∠1=∠A.

如圖2給出的圖形信息中,由于高線CD的求積功能而妨礙了對(duì)被它分割出的Rt△ABC的感知,這樣就產(chǎn)生了一種心理障礙.因此,我們?cè)诮虒W(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖形分離的訓(xùn)練,并培養(yǎng)他們追求圖形新功能的意識(shí).

《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》編輯委員會(huì)

名譽(yù)主編：柳柏濂

顧問：(以姓氏筆劃為序)王林全,柳柏濂

社長(zhǎng)：黎穩(wěn)

主編：呂杰

副主編：蘇洪雨,吳有昌

編委：(以姓氏筆劃為序)尤利華,鄧春源,葉遠(yuǎn)靈,呂偉泉,呂杰,劉名生,劉秀湘,孫道椿,蘇洪雨,李健全,吳有昌,何小亞,張敏,陳小山,陳奇斌,林少杰,林長(zhǎng)好,姚靜,袁平之,袁漢輝,耿堤,徐志庭,徐勇,章紹輝,曾辛金,謝明初

圖2

圖3

對(duì)于較復(fù)雜的圖形,學(xué)生常常會(huì)被問題情境中所包含的無(wú)關(guān)信息所迷惑.例如,

問題3 如圖3,Rt△ABC的三條高線交于H,CH=AB,AC=4,AE=1.(1)求證∠ACB=45°,(2)求BE 長(zhǎng).

問題3中,在證明∠ACB=45°時(shí),BE的存在是多余的信息,而且它在視覺上妨礙Rt△ABC的分離,使尋找△ABD△CHD的條件變得困難.而且AC,AE的長(zhǎng)在以上的證明中也是多余信息.學(xué)生對(duì)這種多余信息造成的“心理眩惑”,只有靠足夠強(qiáng)的追求AD=DC的心理動(dòng)力來(lái)克服,而這個(gè)追求又來(lái)源于目標(biāo)“Rt△ADC中,∠ACD=45°”的指引作用.通常認(rèn)為,分析法是思考一個(gè)幾何證明問題的最基本的思維方式,正是因?yàn)檫@種思維方法才會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生足夠強(qiáng)的心理動(dòng)力和追求意識(shí),否則,就不能克服種種由刺激模式引起的障礙.

1.2 心理定勢(shì)

當(dāng)學(xué)生用某種方法成功地證明了若干問題后,他往往習(xí)慣于用同樣的方法來(lái)對(duì)待以后遇到的問題,這就是心理定勢(shì).如果我們有一種普遍有效的證明方法,那么在遇到適用這種方法的問題時(shí),不必再用太多的思考就可用這種方法得到正確的解題途徑,從這個(gè)意義上說(shuō),建立一定的心理定勢(shì)是明智的,必要的.但心理定勢(shì)若被強(qiáng)化到過(guò)分的程度,即遇到同類問題就不假思索地照套,這樣就會(huì)限制和縮小學(xué)生對(duì)問題情境的知覺,從而陷入了盲目,并嚴(yán)重地阻礙了學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展.例如,相切兩圓的公切線是要求學(xué)生“牢牢記住”,通常還加以大量的練習(xí)達(dá)到強(qiáng)化,但當(dāng)遇到如圖4的題：

問題4如圖4,已知⊙O與外切⊙O于C,過(guò)A,B的直線交兩圓于,求證AO與BO平行.

這時(shí),若忽視對(duì)問題情境的感知,放棄對(duì)具體目標(biāo)的分析,就信手畫公切線CF,則不但無(wú)益,還會(huì)妨礙正確解題思路的尋找.

圖4

因此,幫助學(xué)生從證題經(jīng)驗(yàn)中總結(jié)出一些題目類型和解題規(guī)律是有意義的.但這種概括應(yīng)建立在學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)和分析的基礎(chǔ)上,切忌變成生硬的教條,應(yīng)隨著學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容的發(fā)展而幫助他們作更高層次的概括.早在1942年,盧金斯在他的一系列心理定勢(shì)的實(shí)驗(yàn)中得出很多情況下“練習(xí)使人盲目”的證斷.而1963年奈特的實(shí)驗(yàn)又證實(shí)：開始越信賴一個(gè)解決問題的原則,就越有可能固執(zhí)不變.我們必須清醒地看到,幾何作為數(shù)學(xué)的重要部分,其存在的意義,主要在于訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力.如果這種訓(xùn)練不能達(dá)到“善于克服習(xí)慣的傾向,敏于接受新觀點(diǎn)”的效果,那么還不如讓位于其它某種邏輯學(xué).

1.3 基礎(chǔ)知識(shí)的有效度

學(xué)生在證明一個(gè)新穎的題目時(shí),不管其思路如何創(chuàng)新,明顯地離不開他原有的知識(shí)與證題經(jīng)驗(yàn).但同樣明顯的是,如果學(xué)生把已學(xué)過(guò)的定理背得滾瓜爛熟,也未必有助于新命題的證明.這說(shuō)明,學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)于證明活動(dòng)的關(guān)鍵作用在于這些知識(shí)的有效度,這是幾何證明區(qū)別于其他課程學(xué)習(xí)的突出特點(diǎn).

幾何知識(shí)的有效度,主要表現(xiàn)為三個(gè)循序漸進(jìn)的方面.

首先,學(xué)生在新問題情境的刺激下,能直接提取(回憶)恰好需要的某一定理或證明經(jīng)驗(yàn).如圖4的問題4中恰好想起“相切兩圓,切點(diǎn)在連心線上”,從而通過(guò)作出連心線而構(gòu)造出兩個(gè)合適的三角形.其次,學(xué)生由新問題的特殊需要,能提取(回憶)相關(guān)的定理并對(duì)類似的證明經(jīng)驗(yàn)加以改造.如圖4的問題4中,以往的經(jīng)驗(yàn)是作公切線CF,但公切線的作用是得到對(duì)頂相等的兩個(gè)弦切角,這樣就可改造成：由對(duì)頂相等的∠ACO=∠BCO,進(jìn)而由等腰三角形性質(zhì)得∠A=∠B,使命題獲證.最后,學(xué)生能把許多個(gè)別的證題經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),結(jié)合構(gòu)成抽象的一般觀念,用以解決較難的問題.

1.4 情感動(dòng)機(jī)狀態(tài)

問題情境的刺激會(huì)使面對(duì)著它的學(xué)生產(chǎn)生各種不同的情感和動(dòng)機(jī)狀態(tài),從而可能影響思維能力.例如,在學(xué)了“四邊形”一章后,作如圖5所示的兩個(gè)同樣的正方形紙板,把其中一個(gè)的頂點(diǎn)固定在另一個(gè)的中心,要學(xué)生證明,不論相對(duì)位置如何,重迭部分的面積是不變的.這樣的問題因其趣味性而使學(xué)生歡愉,逗引學(xué)生的好奇而引起強(qiáng)烈的探索動(dòng)機(jī),從而達(dá)到生動(dòng)活潑地鞏固必要知識(shí)的目的.

圖5

幾何證明當(dāng)然也與別的學(xué)習(xí)一樣,學(xué)生的情感與動(dòng)機(jī)狀態(tài)往往和學(xué)習(xí)活動(dòng)的成敗密切相關(guān).如圖5的問題,如果讓剛學(xué)完了三角形全等的學(xué)生來(lái)證,多數(shù)學(xué)生將不知所措,由挫折而情緒低落,甚至放棄探索思維活動(dòng).所以,問題不但要有趣,還要處于學(xué)生思維活動(dòng)的最近發(fā)展區(qū).即學(xué)生稍經(jīng)緊張努力就可突破.這樣才能感受到成功的喜悅,刺激學(xué)生的探究動(dòng)機(jī).學(xué)生的情感與動(dòng)機(jī)狀態(tài)的產(chǎn)生原因極為復(fù)雜.一般來(lái)說(shuō),情感色彩太淡,動(dòng)機(jī)太弱時(shí)學(xué)生易被無(wú)關(guān)的信息吸引到問題之外,而情感太濃,動(dòng)機(jī)太強(qiáng)又會(huì)因過(guò)度緊張而降低思維活動(dòng)能力.因此,教學(xué)中應(yīng)注意使學(xué)生的情緒與動(dòng)機(jī)狀態(tài)處于中等強(qiáng)度為最佳控制指標(biāo).

1.5 個(gè)性

在幾何證明活動(dòng)中,個(gè)性執(zhí)拗的學(xué)生較易受思維定勢(shì)影響,易動(dòng)感情的學(xué)生常遇到困難就變得煩躁而妨礙思維活動(dòng)的開展.而善于證明幾何題的學(xué)生則往往具有較好的靈活性,首創(chuàng)性和自信心.這說(shuō)明學(xué)生的個(gè)性特征與幾何證明活動(dòng)也有密切的關(guān)系,因此,我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)適當(dāng)注意通過(guò)訓(xùn)練學(xué)生的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣,來(lái)影響他的個(gè)性發(fā)展,這不僅對(duì)學(xué)生學(xué)好平面幾何起著重要作用,而且更有廣泛的教育意義.

2.心理過(guò)程分析

幾何證明在本質(zhì)上是尋求條件對(duì)于結(jié)論的邏輯蘊(yùn)涵關(guān)系的過(guò)程.這種尋求沒有統(tǒng)一通用的思維模式,但有共同的規(guī)律,幾何證明的心理過(guò)程可分為三個(gè)明顯的層次.

2.1 第一層次：對(duì)問題情境的信息感知

這就是通常所說(shuō)的讀題審題弄清題意.即了解對(duì)什么圖形作什么判斷.這個(gè)層次也是證明活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn),通常首先須把語(yǔ)言文字表達(dá)的幾何概念及其關(guān)系,借助于空間想象,變換成基本幾何圖形及其位置關(guān)系.綜合構(gòu)造出命題中的圖形并實(shí)行操作.這里,已預(yù)先進(jìn)行了大量的分析與綜合.

2.2 第二層次：探索問題的證明思路

這個(gè)層次是完成證明的關(guān)鍵,日本心理學(xué)家松野豐指出：思維只是在有必要對(duì)情況進(jìn)行預(yù)先的分析綜合,同時(shí)發(fā)現(xiàn)為了解決問題而需要作一定輔助性操作時(shí)才引起的心理活動(dòng).因此,只有經(jīng)過(guò)第一層次的預(yù)先活動(dòng),才能展開第二層次的探索活動(dòng).而只有在這個(gè)層次中,數(shù)學(xué)思維能力才能得以鍛煉和發(fā)展.在千變?nèi)f化的證明活動(dòng)中,一般都經(jīng)歷下述四個(gè)心理操作：

(1)思維的定向：證明活動(dòng)的目標(biāo)對(duì)思維活動(dòng)的指引作用.這是展開思維的前提;

(2)聯(lián)想與證題模式的假設(shè)：提取(回憶)記憶中有關(guān)定理及證題經(jīng)驗(yàn),假設(shè)出若干種可能的思路模式,包括添作相應(yīng)的輔助線;

(3)探索與決策;選擇最可能成功的設(shè)想模式,探索自條件至結(jié)論的中間環(huán)節(jié),若不成功則轉(zhuǎn)而探索另一假設(shè)模式,直至最終溝通自條件至結(jié)論的途徑,有時(shí)因題目簡(jiǎn)單或類型熟悉,該操作可能被高度簡(jiǎn)縮;

(4)試用檢驗(yàn)：由已得到的思路,試行自條件至結(jié)論的推理.如果成功則探索有無(wú)更簡(jiǎn)捷思路或轉(zhuǎn)入敘述表達(dá)的第三層次,若不成功則往往要回到第一層次,重新感知問題情境.

2.3 第三層次：敘述表達(dá)

這個(gè)層次不僅是書寫的過(guò)程,而且是進(jìn)一步的證題思維的過(guò)程.學(xué)生常在第二層次以為想通了,但在敘述表達(dá)時(shí)才發(fā)現(xiàn)不行.他在思考探索時(shí),常常以簡(jiǎn)縮的直覺思維形式或憑經(jīng)驗(yàn)“覺得”可用某種模式解決問題,其實(shí)其思路并不清晰,有時(shí)可能是錯(cuò)的.這在敘述表達(dá)時(shí)就會(huì)暴露.即使是正確的思路,在敘述表達(dá)時(shí),也常須對(duì)推理程序加以修正、剪裁或補(bǔ)充,所以這個(gè)層次仍然是創(chuàng)造性思維活動(dòng)的繼續(xù).不過(guò)這個(gè)層次的思維是在詞義和語(yǔ)法法則的約束下進(jìn)行的.有經(jīng)驗(yàn)的教師在課堂教學(xué)中,都知道應(yīng)充分重視學(xué)生的證題書寫表達(dá)訓(xùn)練,做到語(yǔ)言嚴(yán)密、格式嚴(yán)謹(jǐn).

這一層次的思維訓(xùn)練功能并不止于上述這些語(yǔ)義語(yǔ)法的訓(xùn)練,更主要的是通過(guò)語(yǔ)言使思維更清晰、更深刻.實(shí)踐表明,在課堂上讓學(xué)生把思考問題的探索過(guò)程納入語(yǔ)言的范疇,用出聲的外部語(yǔ)言闡述思路及每一步推理的依據(jù).這樣的教學(xué)方法,對(duì)學(xué)生邏輯思維清晰與深刻程度有良好的效果,對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)有效度有明顯的提高,還能夠強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒的高漲.