一道課后習(xí)題引發(fā)的聯(lián)想與思考

云南省曲靖市第一中學(xué)(655000) 張連吉

一道課后習(xí)題引發(fā)的聯(lián)想與思考

云南省曲靖市第一中學(xué)(655000) 張連吉

一 問題的出處

在人教A版數(shù)學(xué)4(必修)第二章習(xí)題2.5有這樣一道課后習(xí)題：已知對任意平面向量=(x,y),把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量=(xcosθ-y sinθ,xcosθ+y sinθ),叫做把點繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.

解得x=0,y=-1.

二 引發(fā)的聯(lián)想

既然旋轉(zhuǎn)變換能保持原曲線的形狀不發(fā)生變化,那么能否用旋轉(zhuǎn)變換的思路證明對勾函數(shù)曲線是雙曲線的問題呢？

三 聯(lián)想的證明

利用旋轉(zhuǎn)變換我們還可以證明下面的命題：

四 反思

1.重視課本習(xí)題提高學(xué)生能力

有許多課后的習(xí)題都是非常好的,不僅有能達到訓(xùn)練的目的的基礎(chǔ)題,也有鍛煉思維能力的習(xí)題,還有和高考密切相關(guān)的“題根”等.

如人教A版選修2-2第32頁B組

1.利用信息技術(shù)工具,畫出函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像,并改變a,b,c,d的值,觀察圖像的形狀：

(1)你能歸納函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像的大致形狀嗎？它的圖像有什么特點？你能從圖像上大致估計它的單調(diào)區(qū)間嗎？

(2)運用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性,并求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.

這就是一道很好的探究性的問題,既能理解知識點原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的聯(lián)系,還能培養(yǎng)學(xué)生的探究意識與發(fā)散思維,同時類似這樣的題也常常是高考創(chuàng)新題的題源.

如2013年全國數(shù)學(xué) 卷第10題：已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯誤的是()

A. ?x0∈R,f(x0)=0;

B.函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對稱圖;

C. 若x0是f(x)的極小值點,則f(x)在區(qū)間

(-∞,x0)單調(diào)遞減;

D. 若x0是f(x)的極值點,則f′(x0)=0.

這樣的課后習(xí)題不勝枚舉,所以教師一定要重視對課后習(xí)題的訓(xùn)練與挖掘,使之成為學(xué)生知識理解與掌握的有效保證和思維與能力提高的新的立足點與增長點.

2.靈活應(yīng)用教材促進知識整合

如果說教材課后習(xí)題我們要給予充分地重視的話,那么作為教材主體的知識內(nèi)容我們更要吃透.要理解教材的編寫意圖,也要靈活地應(yīng)用教材而不拘泥于教材.使得學(xué)生在接受新的內(nèi)容時能夠與已習(xí)得的知識內(nèi)容相銜接,利于學(xué)生的知識建構(gòu).教師或橫向,或縱向,多角度的分析問題,靈活地使用教材,促進學(xué)生知識的整合.

如余弦差角公式的向量法推導(dǎo),就是與數(shù)學(xué)4(必修)習(xí)題2.4 B組第2題相呼應(yīng)的.原題為：如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已原點為圓心,單位長度為半徑的圓上有兩點A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),試用 A、B 兩點的坐標(biāo)表示∠AOB的余弦值.

如果有這道題在前面做鋪墊,后邊的余弦差角公式的向量法推導(dǎo)的想法就簡單自然了.

總之,隨著筆者教學(xué)年齡的增長,每一次都能在教材中體會到不同的東西,只要教師能夠在教學(xué)中不斷地挖掘、探索,一定能夠常教常新,教學(xué)相長.