高中數(shù)學(xué)填空題解題中多種思維技巧的運(yùn)用探討

黎師杰

【摘要】在高中各種考試中，數(shù)學(xué)填空題其實(shí)是非常簡單的，雖然沒有像選擇題那樣的選項(xiàng)，但是有著獨(dú)特的解題方法.方法要因人而異，有的方法簡單，有的方法比較復(fù)雜，所以要選擇正確的方法解題.本文從不同角度探析高中數(shù)學(xué)填空題的解題奧秘，不但可以降低題目的難度，還可以更快速，更準(zhǔn)確地獲取答案，使做填空題越來越有趣，不再枯燥乏味.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；填空題；解題；思維技巧

在高中數(shù)學(xué)試卷中主要有三種題型：選擇題、填空題、解答題.而填空題雖然所占分值不大，但是它涵蓋知識(shí)點(diǎn)較為全面，且題型構(gòu)思較為精巧，能全面的考查學(xué)生們的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.填空題是所有考試中的重點(diǎn)題型之一，雖然大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為該題型難度系數(shù)比較大，但是因其不求過程，只求結(jié)果，又是學(xué)生們喜歡的一點(diǎn).學(xué)生們可以開闊思維，盡情想象.要想迅速準(zhǔn)確的解答填空題，除了需要有嚴(yán)密推理能力外，還需要有解答填空題的技巧和方法.下面通過幾種方法來舉例說明：

一、直接推算法

數(shù)學(xué)中的填空題就是通過仔細(xì)分析所給出的信息，通過仔細(xì)認(rèn)真的探索其中隱藏的信息，從而進(jìn)行解答.這種方法就是直接推算法，根據(jù)題目已知信息，直接通過定義、性質(zhì)、公式、定理等對文字信息進(jìn)行解譯，再經(jīng)過簡單的推理、運(yùn)算或是變形，最終得出正確結(jié)果.這種方法是最為簡單，也是最為直接的.但是，這種方法的局限性很大，往往只適用于題意明確，綜合知識(shí)間關(guān)系簡單且直接的題型.值得一提的是，這種方法若是結(jié)合方程思想、不等式思想等解題策略，則會(huì)出現(xiàn)意想不到的效果.

例1已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1=1，a3=a22-4，則an=.

解析設(shè)等差數(shù)列公差為d，則由a3=a22-4，

得1+2d=（1+d）2-4，

∴d2=4，∴d=±2.

由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，∴d=2.

∴an=1+（n-1）×2=2n-1.

探究提高這道有關(guān)等差數(shù)列的填空題運(yùn)用了直接推算法，直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式，算出公差等一系列參數(shù)，是一種典型的直接法.此題可以很快看出使用直接法，是比較簡單的，對于一些難一點(diǎn)的題型要透過題目看本質(zhì)，利用直接法得出正確的結(jié)果.總之，這類題都是比較簡單的，容易求解.

二、特殊轉(zhuǎn)化法

數(shù)學(xué)填空題中的特殊轉(zhuǎn)化法使用起來是特別方便的，這種方法將特殊情況轉(zhuǎn)化為一般，做題速度得到很大提升.特殊轉(zhuǎn)化法主要用于一些數(shù)形結(jié)合、可以進(jìn)行圖形模擬、展示的習(xí)題.學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)時(shí)、學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)、學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，特殊轉(zhuǎn)化法十分有效.

例2求函數(shù)f（x）=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值.

解析y=f（x）=2-4asinx-（1-2sin2x）=2sin2x-4asinx+1=2（sinx-a）2+1-2a2設(shè)sinx=t，則-1≤t≤1，并且y=g（t）=2（t-a）2+1-2a2.

當(dāng)a<-1時(shí)如圖所示.

有y最大=g（1）=3-4a，y最小=g（-1）=3+4a.

當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，y最大為g（-1）和g（1）中的較大者，即y最大=3-4a（-1≤a≤0）或者y最大=3+4a（0≤a≤1），y最小=1-2a2.

當(dāng)a>1時(shí)，則有y最大=g（-1）=3+4a，

y最小=g（1）=3-4a.

探究提高例題中通過換元將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為比較熟悉的二次函數(shù)問題，并且利用二次函數(shù)圖像結(jié)合進(jìn)行分類討論，使問題得到解決.特殊轉(zhuǎn)化法是我們常用的方法之一，特別簡便，做起題來很簡單，而且不容易做錯(cuò).填空題假設(shè)條件中雖含有某些不確定量，若填空題結(jié)果是一定數(shù)值或結(jié)論時(shí)，則可以考慮采用特殊化技巧.解題過程中，將題中變化的不定量選取適當(dāng)特殊值進(jìn)行處理，進(jìn)而很快得到相應(yīng)的結(jié)果，非常方便.

三、構(gòu)造法

構(gòu)造法是一種非常奇特的方法，有時(shí)候簡單，有時(shí)候復(fù)雜，要根據(jù)不同類型題選擇不同方法.這種方法需要利用已知條件和結(jié)論構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造法利用已知條件構(gòu)造一些可以解答題目的方法，使解題過程更加簡便.

例3在等差數(shù)列{an}中，a3+a5=6，a2a6=5，求an？

解析在等差數(shù)列中，a3+a5=6可以推出a2+a6=6.

構(gòu)建方程x2-6x+5=0，那么a2，a6是其中的兩個(gè)根，

所以a2=1，a6=5，或者a6=5，a2=1.

當(dāng)a2=1，a6=5時(shí)，a1=0，d=1，那么an=n-1；

當(dāng)a6=5，a2=1時(shí)，a1=6，d=-1，那么an=7-n；

由此得出，an=7-n或者an=n-1.

探究提高整體思考，聯(lián)系等差數(shù)列，利用特征進(jìn)行求值，是整體觀念與構(gòu)造思維的一種應(yīng)用.這類構(gòu)造題需要有著很強(qiáng)的數(shù)學(xué)模式思維，看到題的那一刻腦中就會(huì)浮現(xiàn)解題思路與解題方法，進(jìn)而通過各種變化得到相應(yīng)結(jié)果.

四、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)學(xué)是一門“數(shù)”與“圖”結(jié)合的學(xué)科，數(shù)字與圖形是相互存在的，二者缺一不可.在解決填空題的時(shí)候，學(xué)生們也可以采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)題目中給出的條件，在紙上畫出圖形，這樣，抽象的問題就具體生動(dòng)地展現(xiàn)在眼前了，學(xué)生們對解題思路以及解題方法就能夠一目了然了.通常，數(shù)形結(jié)合的方法適用于不等式、函數(shù)方程等涉及圖形的問題，還需要注意的是，學(xué)生們在作圖的時(shí)候，要根據(jù)題目中的數(shù)字進(jìn)行比例縮放，確保圖形與問題的意思符合，不要亂涂亂畫，使得問題更加抽象或者將題意理解錯(cuò)誤.高中數(shù)學(xué)填空題只需要給出答案，不需要寫出解題過程，使用數(shù)形結(jié)合，學(xué)生們可以直接在圖形上看出答案，完全不需要再進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，即使需要計(jì)算，也會(huì)變得很簡單.尤其是在考試過程中，使用數(shù)形結(jié)合的方法，既能節(jié)約時(shí)間，也能提高分?jǐn)?shù)，比起埋頭苦算，何樂而不為呢？這類題在高中普遍出現(xiàn)，而且解題方法多樣.endprint

例4設(shè)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，在區(qū)間[a，b]（a0，且f（x）·g（x）有最小值-5.則函數(shù)y=f（x）·g（x）在區(qū)間[-b，-a]上的最大值是.

解析f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，

∴y=f（x）·g（x）在區(qū)間[a，b]（a

又∵f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

∴y=f（x）·g（x）是奇函數(shù).

因此，它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，并且畫出下列示意圖，得出函數(shù)y=f（x）·g（x）在區(qū)間[-b，-a]上是增函數(shù)并且有最大值5.

探究提高這是利用數(shù)形結(jié)合解決抽象函數(shù)問題的題，是一道很簡單的題，但是如果不認(rèn)真就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果，所以在看圖過程中一定要注意這一點(diǎn).

五、類比法

類比法就是通過由兩類對象具有某些類似的特征，和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的一種方法.

例5在平面內(nèi)，三角形的面積為S，周長為C，則它的內(nèi)切圓半徑為r=2SC，類似地，在空間中，三棱錐的體積為V，表面積為S，可得三棱錐的內(nèi)切球的半徑r′為.

解析題中三角形內(nèi)切圓的半徑可通過連接圓心和頂點(diǎn)，把大三角形分割成三個(gè)小三角形，然后利用等面積法計(jì)算得到，類比得出計(jì)算三棱錐內(nèi)切球的半徑可通過分割三棱錐的體積.設(shè)三棱錐四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，則V=13S1r′+13S2r′+13S3r′+13S4r′=13Sr′，所以r′=3VS.

六、歸納法

歸納法就是由個(gè)別事實(shí)總結(jié)出一般的結(jié)論.

例6過點(diǎn)P（1，0）作曲線C：y=ex的切線，切點(diǎn)為T1，設(shè)T1在x軸上的投影是點(diǎn)H1，過點(diǎn)H1，再作曲線C的切線，切點(diǎn)為T2，設(shè)T2在x軸上的投影是點(diǎn)H2，…，依次下去，得到第n+1（n∈N）個(gè)切點(diǎn)Tn+1，則點(diǎn)Tn+1的坐標(biāo)為.

解析根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)T1為（x1，ex1），則過點(diǎn)T1的切線斜率為ex1，又過點(diǎn)P，T1的切線斜率為ex1x1+1，則ex1x1+1=ex1，得到x1=0，所以T1（0，1）.又H1是T1在x軸上的投影，則H1（0，0）.同理可得T2（1，e），T3（2，e2），以此我們可以歸納出點(diǎn)Tn+1的坐標(biāo)為（n，en）.

以上，筆者對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行了具體探究，通過對數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)到的理論知識(shí)，根據(jù)知識(shí)不同情境、不同難度、數(shù)形結(jié)合狀況、思考的邏輯思路，具體問題具體分析，得出如下結(jié)論：對于一些學(xué)習(xí)思路、思維擴(kuò)展較簡單的、理論知識(shí)容易理解的數(shù)學(xué)題，可以直接套用公式，采用直接法，將理論與公式結(jié)合，通過對數(shù)據(jù)的計(jì)算，得出正確結(jié)果；這類習(xí)題對學(xué)生們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的考查較為簡單，是學(xué)習(xí)生活中最常用的，也是最普遍的學(xué)習(xí)方法.接下來的特殊轉(zhuǎn)化法，通常將數(shù)學(xué)理論知識(shí)用圖形、數(shù)字排列表示出來，這類習(xí)題最常出現(xiàn)在函數(shù)知識(shí)、立體幾何知識(shí)、三角函數(shù)等知識(shí)時(shí)，通過圖形展示，讓知識(shí)更為立體、習(xí)題理解更透徹、更直觀，為學(xué)生們提供明確的解題思路，學(xué)生們循著解題思路，解決問題.同時(shí)，這類學(xué)習(xí)方法適用于邏輯性較差但是對于圖像較敏感的學(xué)生.構(gòu)造法，簡而言之就是把復(fù)雜的習(xí)題用簡單的、直白的語言表示.化繁為簡、化難為易是構(gòu)造法最常用的學(xué)習(xí)方法，精煉復(fù)雜的公式，利用數(shù)學(xué)化簡、通分、數(shù)據(jù)計(jì)算等工具，簡化冗長、復(fù)雜、字?jǐn)?shù)多，但是數(shù)據(jù)簡單的、易于理解的長數(shù)據(jù)公式，將難題構(gòu)造為簡單題，將短公式延長為長公式，這是構(gòu)造法最明顯的特色.

填空題是高中數(shù)學(xué)試卷的必考題，掌握多種解題技巧并且靈活的運(yùn)用，不但可以降低題目的難度，還可以更快速，更準(zhǔn)確地獲取答案.學(xué)生們在學(xué)習(xí)過程中，要不斷地通過教師的講解，打好知識(shí)基礎(chǔ)，不斷的運(yùn)用多種思維技巧來解題，從而提高自己的學(xué)習(xí)成績.

【參考文獻(xiàn)】

[1]唐榕.填空題的解題策略[J].高中數(shù)學(xué)，2013（12）：6.

[2]趙敏.淺談發(fā)展數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)方法—數(shù)學(xué)教學(xué)之后的深層思考[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)，2013（08）：130-135.