淺析高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生提出問(wèn)題的能力

李大紅

[摘 要] 在數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)高中學(xué)生在數(shù)學(xué)提問(wèn)能力上存在整體水平不高的現(xiàn)狀，這主要表現(xiàn)在學(xué)生不會(huì)數(shù)學(xué)反思及提問(wèn)的層次不高兩個(gè)方面. 導(dǎo)致這種現(xiàn)狀的原因可歸結(jié)為教學(xué)方式的偏頗扼殺了學(xué)生提問(wèn)的能力. 改變這種現(xiàn)狀可以從反思性教學(xué)和變式教學(xué)著手開展.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)提問(wèn)；現(xiàn)狀管窺；影響因素；教學(xué)策略

我們認(rèn)為在高中階段學(xué)生在數(shù)學(xué)方面提出問(wèn)題的定義應(yīng)當(dāng)是在運(yùn)用已有數(shù)學(xué)知識(shí)解決好問(wèn)題后對(duì)已解決的問(wèn)題再次反思，能夠得到對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的深層認(rèn)知或者能夠?qū)?wèn)題進(jìn)一步的追問(wèn)和補(bǔ)充說(shuō)明. 記得美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)家波利亞曾在他的著作《怎樣解題》中指明：培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)教學(xué)十分關(guān)注的一個(gè)維度. 因此，對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生提問(wèn)能力進(jìn)行系統(tǒng)的分析是非常有必要的.

[?] 高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中提出問(wèn)題能力的現(xiàn)狀管窺

通過(guò)對(duì)筆者學(xué)校不同能力水平的學(xué)生的課堂的觀察，筆者將高中生數(shù)學(xué)提問(wèn)能力的現(xiàn)狀概括為學(xué)生數(shù)學(xué)提問(wèn)整體水平不高. 這主要體現(xiàn)在不會(huì)反思和提問(wèn)的層次不高兩個(gè)方面.

首先，不會(huì)反思是學(xué)生提問(wèn)水平不高的本質(zhì)表現(xiàn). 根據(jù)定義我們確定提問(wèn)水平是建立在對(duì)已解決問(wèn)題的再次反思上，通過(guò)反思能夠得到對(duì)本問(wèn)題的深層認(rèn)知或?qū)?wèn)題做進(jìn)一步說(shuō)明. 不會(huì)對(duì)已解決問(wèn)題再次反思，則不會(huì)得到一個(gè)關(guān)于問(wèn)題屬于自己的認(rèn)知. 舉個(gè)真實(shí)的教學(xué)案例，在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一節(jié)中，筆者選取了2017年鹽城市第三次模擬考試的一道應(yīng)用題作為教學(xué)素材“一兒童游樂場(chǎng)擬建造一個(gè)“蛋筒”型游樂設(shè)施，其軸截面如圖1中實(shí)線所示. ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α（F在AB的延長(zhǎng)線上，α為銳角）. 圓E與AD，BC都相切，且其半徑長(zhǎng)為100-80sinα米. EO是垂直于AB的一個(gè)立柱，則當(dāng)sinα的值設(shè)計(jì)為多少時(shí)，立柱EO最矮？”我們知道這是一類以角度為自變量，以三角函數(shù)為中介的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于以三角函數(shù)為中介聯(lián)系自變量α和函數(shù)，以函數(shù)的單調(diào)性（導(dǎo)函數(shù)大于或小于0）確定三角函數(shù)的取值范圍，再以三角函數(shù)的取值來(lái)明確函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（自變量α的取值范圍），從而畫出函數(shù)的圖像. 這類問(wèn)題的列表不同于以往往的三行（自變量、導(dǎo)函數(shù)、函數(shù)）列表，而應(yīng)是四行列表（α、、導(dǎo)函數(shù)、函數(shù)）. 然而就在兩天后的考試中出現(xiàn)了一道類似的問(wèn)題，全班僅有1個(gè)人能夠處理，事后筆者與幾位學(xué)生進(jìn)行了交流：“你們能用自己的話描述這類問(wèn)題嗎？”結(jié)果只有那個(gè)做對(duì)了學(xué)生說(shuō)，“這類問(wèn)題中自變量不是sinα而是角度α，數(shù)形結(jié)合時(shí)，應(yīng)用α的范圍來(lái)刻畫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.” 簡(jiǎn)單的對(duì)話，透露著一個(gè)事實(shí)：學(xué)生只會(huì)機(jī)械記憶而不會(huì)反思學(xué)習(xí). 如果他們有一定的反思能力，必定能夠像做對(duì)的那位學(xué)生一樣看透問(wèn)題的本質(zhì).

其次，提問(wèn)的層次不高是提問(wèn)水平不高的外在表現(xiàn). 數(shù)學(xué)教育家波利亞根據(jù)學(xué)生提問(wèn)程度的不同將提問(wèn)水平分為闡釋性提問(wèn)、聯(lián)系性提問(wèn)和拓展性提問(wèn)三個(gè)層次. 闡釋性提問(wèn)是指從已有知識(shí)中提出與問(wèn)題相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容，為問(wèn)題的發(fā)展提供解釋的提問(wèn). 例如在數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)過(guò)程中，曾遇到這樣的例子“對(duì)于數(shù)列{an}，已知a1=1，an+1=，猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明”.對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，闡釋性提問(wèn)常見的形態(tài)是：“根據(jù)問(wèn)題情境中所給出遞推公式，學(xué)生會(huì)提問(wèn)a2，a3，a4，a5，…分別是多少.”聯(lián)系性提問(wèn)是指從問(wèn)題情境中尋找與已有知識(shí)相似或共通的內(nèi)容，從而提出關(guān)聯(lián)性問(wèn)題. 例如在解析幾何一章中，橢圓一節(jié)中有這樣一個(gè)性質(zhì)“橢圓上任意一點(diǎn)（短軸端點(diǎn)除外）與短軸端點(diǎn)連線的斜率之積為定值-”，與這個(gè)問(wèn)題相似之處是橢圓上的任意一點(diǎn)與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)連線，所以學(xué)生能夠提出聯(lián)系性提問(wèn)表現(xiàn)為“橢圓上的任意一點(diǎn)與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)連線的斜率之積是否為定值，如果是定值，其值是多少？”所謂拓展性提問(wèn)是在問(wèn)題本質(zhì)認(rèn)知的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)延展性的內(nèi)容，例如在研究圓心在原點(diǎn)的圓時(shí)，如果學(xué)生能夠提出“圓上動(dòng)點(diǎn)到圓心的連線與x軸正半軸夾角θ與圓上點(diǎn)坐標(biāo)之間有什么關(guān)系”，就可能自己發(fā)現(xiàn)圓的參數(shù)方程這一事實(shí)，這就是一種拓展性提問(wèn). 然而可惜的是通過(guò)對(duì)學(xué)生們課堂觀察，我們發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生的提問(wèn)都停留在第一個(gè)層次.

[?] 高中階段對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中提問(wèn)能力的影響因素

透過(guò)對(duì)學(xué)生課堂觀察結(jié)果的事后反思，我們認(rèn)為造成高中學(xué)生數(shù)學(xué)提問(wèn)能力不行的主要因素有兩類：首先，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式的偏頗——由應(yīng)然的學(xué)問(wèn)方式變成實(shí)然的問(wèn)答方式，扼殺學(xué)生的提問(wèn)能力發(fā)展；其次，受應(yīng)試教育的限制，課堂上能夠給予學(xué)生思考的時(shí)間和空間太少，阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)提問(wèn)能力的發(fā)展.

首先，數(shù)學(xué)課堂上應(yīng)然的學(xué)問(wèn)方式為實(shí)然的問(wèn)答方式所替代嚴(yán)重影響了學(xué)生提問(wèn)能力的發(fā)展. 學(xué)問(wèn)方式則是按照學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的進(jìn)程進(jìn)行的教學(xué)，是指學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)不懂的問(wèn)題，然后就不懂的問(wèn)題向教師進(jìn)行提問(wèn)，這是學(xué)生學(xué)習(xí)邏輯的體現(xiàn). 通過(guò)學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)未知與已知之間的矛盾，然后將矛盾提出來(lái)，并得到答復(fù). 如此循環(huán)自然能夠提升學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力. 而問(wèn)答的方式是指教師將教材知識(shí)事先整理好，按照知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)依次按一問(wèn)一答的方式呈現(xiàn)出來(lái)，這是教師邏輯的體現(xiàn).如此循環(huán)，學(xué)生自己的邏輯思維必然得不到發(fā)展，而只能跟著教師的邏輯亦步亦趨，提問(wèn)能力自然好不到哪里. 舉個(gè)例子，在復(fù)數(shù)的幾何意義這一節(jié)中，我們常看到這樣的教學(xué)片段.

教師：如果將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部寫成有序?qū)崝?shù)對(duì)的形式（a，b），就可以將其看成什么呢？

學(xué)生：點(diǎn).

教師：所以復(fù)數(shù)就與平面坐標(biāo)系上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)嗎？

學(xué)生：對(duì).

教師：當(dāng)我們將點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)建成向量，是否與向量也一一對(duì)應(yīng)呢？

學(xué)生：是.

管中窺豹可見一斑，在這樣的教學(xué)過(guò)程下長(zhǎng)學(xué)生完全按照教師安排好的知識(shí)順序，應(yīng)對(duì)教師的提問(wèn)，沒有自己發(fā)現(xiàn)未知與已知矛盾的過(guò)程，自然不能很好地發(fā)展自己的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力.endprint

其次，課堂上能夠給予學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的時(shí)間與空間太少亦是影響學(xué)生提問(wèn)能力發(fā)展的重要因素. 受應(yīng)試教育的影響，教師往往需要在兩年甚至一年半的時(shí)間內(nèi)要將三年內(nèi)的所有數(shù)學(xué)課程（理科10冊(cè)，文科8冊(cè)）全部教完.如此短的時(shí)間內(nèi)要教完如此大量的內(nèi)容常會(huì)用兩種途徑，增加學(xué)時(shí)或以教為主. 以教為主必然會(huì)擠壓學(xué)生在課堂思考與發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的時(shí)間. 舉個(gè)例子，在基本不等式的教學(xué)過(guò)程我們常會(huì)遇到這樣一個(gè)例子“若a，b均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且a+b=1，求+的最小值”. 熟悉的都知道這是一道1的代換類型的問(wèn)題，然而教學(xué)并不是如此簡(jiǎn)單.想要讓學(xué)生真正領(lǐng)悟1的代換的問(wèn)題，就必須讓學(xué)生從原始形態(tài)的1的代換“若a，b均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且a+b=1，求+”學(xué)起，并經(jīng)歷不同形式的變換.然而真實(shí)的教學(xué)過(guò)程并不是這樣的，通常教師會(huì)告訴學(xué)生們“分母相加等于3（a+b）=3，所以+=（a+2b+2a+b）

[?] 關(guān)于提升高中階段數(shù)學(xué)提問(wèn)能力的教學(xué)策略簡(jiǎn)述

針對(duì)目前學(xué)生數(shù)學(xué)提問(wèn)水平一般，提問(wèn)層次不高的現(xiàn)狀，結(jié)合對(duì)其原因的分析，我們就提升學(xué)生數(shù)學(xué)提問(wèn)能力的教學(xué)提出兩點(diǎn)策略：其一，提供反思性教學(xué)；其二，提供變式教學(xué).

首先，針對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不會(huì)反思的現(xiàn)狀，需要為學(xué)生提供反思性教學(xué). 所謂反思性教學(xué)是指學(xué)生要能夠?qū)處熣n堂上數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程及呈現(xiàn)的解題方案進(jìn)行回顧并以自己的角度內(nèi)化. 例如上述導(dǎo)數(shù)案例，也許解題的方案可以用“①對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；②令導(dǎo)函數(shù)等于0，求根；③四行列表，表明函數(shù)單調(diào)區(qū)間；④畫圖”這幾個(gè)步驟來(lái)歸納，這是教師可以給予的，但能否轉(zhuǎn)化為學(xué)生內(nèi)在的東西，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在于學(xué)生能夠用自己的言來(lái)歸結(jié)“這是一類以角度為自變量，以三角函數(shù)為中介的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題”. 而這一過(guò)程需要給學(xué)生提供反思學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì). 所以，教會(huì)學(xué)生反思是提升數(shù)學(xué)提問(wèn)能力的首要任務(wù)，因?yàn)橥ㄟ^(guò)對(duì)已有結(jié)果的再認(rèn)知，可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出新的內(nèi)容. 通過(guò)長(zhǎng)期的反思性學(xué)習(xí)，將反思培養(yǎng)成學(xué)生學(xué)習(xí)生活中的一種習(xí)慣時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)新內(nèi)容，提出新問(wèn)題的能力自然就會(huì)水到渠成.

其次，針對(duì)學(xué)生提問(wèn)水平不高的現(xiàn)狀，需要為學(xué)生提供變式教學(xué). 學(xué)生的提問(wèn)水平不高是因?yàn)閷W(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中只看了單一的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而未能挖掘這種問(wèn)題內(nèi)在本質(zhì)的、共通性的內(nèi)容. 因此才會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題稍微一變形，學(xué)生就不知所措的現(xiàn)象. 針對(duì)這種現(xiàn)象，可以為學(xué)生提供更多種的變式教學(xué)，即變換問(wèn)題情境中外在形式，保留本質(zhì)核心的內(nèi)容，讓學(xué)生在多種不同的形式中來(lái)感悟問(wèn)題的共同性內(nèi)容. 例如上述1的代換中可以從“若a，b均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且a+b=1，求+”這種原始形態(tài)的1的代換講起，然后通過(guò)不斷改變待求表達(dá)式，比如說(shuō)“求+，求+”等.透過(guò)變式教學(xué)來(lái)激發(fā)學(xué)生對(duì)變式的敏感性，超越單一看待問(wèn)題的習(xí)慣，達(dá)到舉一反三的效果. 當(dāng)學(xué)生通過(guò)持久的變式訓(xùn)練，超越單一看待問(wèn)題的習(xí)慣時(shí)，必然能夠以較高的水平來(lái)看待問(wèn)題，從而提高提問(wèn)的水準(zhǔn).endprint