淺談一階微分方程的求解方法

摘要：常微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課之一，是高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析和解析幾何的應(yīng)用和發(fā)展。在一階微分方程的求解過程中有多種求解方法，本文通過求解幾個(gè)典型的例題來說明其解法和教學(xué)方法，教會(huì)學(xué)生幾種一階微分方程的解題方法。

關(guān)鍵詞：一階微分方程；變量分離；齊次方程；常數(shù)變易；全微分方程

常微分方程從生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生，有著深刻而生動(dòng)的實(shí)際背景，是數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)應(yīng)用，也是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中分析有力的工具。如今在自動(dòng)化技術(shù)、自動(dòng)控制等科學(xué)中，常微分方程已成為了必要的工具。常微分方程是微分學(xué)與積分學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，它的求解離不開導(dǎo)數(shù)積分，是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。在常微分方程中，一階常微分方程的種類繁多，因此求解的方法也很多，對(duì)于不同的一階常微分方程，我們?cè)诜椒ㄟM(jìn)行求解。下面就我在教學(xué)工作中的一點(diǎn)體會(huì)，把一階常微分方程的求解分為四類，通過四個(gè)基本例題的求解來談一談一階常微分方程的求解方法。

1.變量分離方程

上式中的 ， 是關(guān)于 ， 的連續(xù)函數(shù)，叫做變量分離方程.

如果 ，則把含有 的函數(shù)與微分移到一邊，含有 的函數(shù)和微分全部移到另一邊，再對(duì)等式兩邊同時(shí)積分可以得到方程的解。假如 ，如果存在 使的 ，那么 還是方程的解。

例1 求解方程 .

解：當(dāng) 的時(shí)候，用 除以方程的兩端，則原方程化為

，

可以看出上式是一個(gè)變量分離方程，對(duì)兩邊同時(shí)積分可以得到該方程的通解為

即 為任意的常數(shù)

此外，當(dāng) 的時(shí)候，不能用 來除，但是 是方程的兩個(gè)特解，不過在通解公式中允許常數(shù) ， 兩個(gè)特解就包含在通解之中了。另外，若不規(guī)定 是自變量， 是未知函數(shù)，則 也是方程的兩個(gè)特解，它們也包含在通解之中。

2. 型的齊次微分方程

這里的 是 的連續(xù)函數(shù).對(duì)于任意的連續(xù)函數(shù) ，方程都可通過變換 ，即 ，將其化為可分離變量方程，對(duì) 微分，有：

，

代入原方程可以得到： ，

也就是說： ， 當(dāng) 時(shí)，進(jìn)行分離變量，積分后得通解。

3.線性微分方程

我們稱 為一階非齊次線性微分方程，而 ， 均要求為考慮區(qū)間上關(guān)于 的連續(xù)函數(shù).我們已經(jīng)知道：

當(dāng) 時(shí)，該方程為可分離變量的微分方程，其通解為：

當(dāng) 時(shí)，現(xiàn)在將中的常數(shù) 變易為 的待定函數(shù) ，把 代入非齊次方程，得到 ，方程的通解為

這種解法，我們稱之為常數(shù)變易法。

例2求解方程

解 首先將該方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程

對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程為：

該對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解為

現(xiàn)令

代入方程得：

故原方程得通解為：

4.恰當(dāng)微分方程

如果方程 的左端恰好是函數(shù) 的全微分，即 ，則該方程為恰當(dāng)微分方程。

當(dāng)方程滿足 時(shí)，該方程為全微分方程，該方程可以直接通過湊微分的方法直接求解，當(dāng)然也可以通過積分的方法求得 或者 。最后得方程的通解為： 或者

一階常微分方程的解法就是把微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化成為積分問題，對(duì)于給定的常微分方程，不僅要準(zhǔn)確判定它屬于哪種類型，還要注重對(duì)做題技巧的把握，對(duì)各種一階常微分方程的解題方法進(jìn)行總結(jié)歸納。

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