三次函數(shù)的四式兩值

三次函數(shù)在各地高考中都有非常多的考查，它是考查導(dǎo)數(shù)很好的素材，其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，所以本文類比二次函數(shù)一般的形式，通過(guò)歸納總結(jié)后，得到三次函數(shù)表達(dá)式的四種形式，即一般式、三根式、對(duì)稱中心式、極值點(diǎn)式，并利用這些形式分析三次函數(shù)中的兩值，即極值和最值，這樣使問(wèn)題分析更加深刻和透徹.

1三次函數(shù)性質(zhì)類比

類比二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的表達(dá)式與性質(zhì)，我們可以得到：

性質(zhì)1三次函數(shù)一般式：f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）；

三次函數(shù)三根式：f（x）=ax-x1x-x2x-x3（a≠0）

一方面，三次函數(shù)是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為（-b3a，f（-b3a））；另一方面，對(duì)三次函數(shù)的一般式可以作如下化簡(jiǎn)：

f（x）=ax3+bx2+cx+d=a（x+b3a）3+3ac-b23ax+27a2d-b327a2

=a（x+b3a）3+3ac-b23a（x+b3a）+2b3-9abc+27a2d27a2.

因此，類比二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，給出如下表示形式：

性質(zhì)2三次函數(shù)對(duì)稱中心式：f（x）=a（x+b3a）3+t（x+b3a）+f（-b3a）.

性質(zhì)3三次函數(shù)極值點(diǎn)式：f（x）=a（x-x1）2（x-n）+k或f（x）=a（x-x2）2（x-m）+e（x1，x2為其兩個(gè)極值點(diǎn)）.

由性質(zhì)3我們可以得到如下重要結(jié)論：

推論如果三次函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2（其中x1

那么x1，x0，x2三個(gè)數(shù)將區(qū)間[m，n]四等分.（其中m，n為性質(zhì)3中的字母且m

證明由性質(zhì)3，設(shè)f（x）=a（x-x1）2（x-n）+k，則f′（x）=a（x-x1）（3x-2n-x1）.

[TS（][JZ]圖1[TS）]

令f′（x）=0，得f（x）的極值點(diǎn)為x1，2n+x13.

所以x2=2n+x13，即n-x2=x2-x12，又f（x）

關(guān)于點(diǎn)（x0，f（x0））中心對(duì)稱，得x1，x0，x2三個(gè)數(shù)將區(qū)間[m，n]四等分，即證.

2三次函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用

利用上面類比得到的三次函數(shù)的“四式”性質(zhì)，筆者發(fā)現(xiàn)在解決三次函數(shù)問(wèn)題時(shí)十分有用，對(duì)研究三次函數(shù)的極值與最值問(wèn)題也帶來(lái)很大的方便.

2.1三次函數(shù)“四式”應(yīng)用

例1（2014年浙江卷理科第6題文科第7題）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，且

0

A.c≤3 B.39

分析1三根式設(shè)f（-1）=f（-2）=f（-3）=t∈0，3，則-3，-2，-1為方程f（x）-t=0的三個(gè)根，因此，由三次函數(shù)的三根式可表示為：f（x）-t=（x+1）（x+2）（x+3），

所以f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）+t=x3+ax2+bx+c.從而f（0）=6+t=c∈6，9，因此選C.

分析2對(duì)稱中心式由三次函數(shù)的對(duì)稱性可知f（x）=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(diǎn)（-2，f（-2））成中心對(duì)稱，可設(shè)

f（x）=（x+2）3+d（x+2）+f（-2）.

所以f（-1）=（-1+2）3+d（-1+2）+f（-2）=1+d+f（-2）=f（-2）.

得：d=-1.

因而f（x）=（x+2）3-（x+2）+f（-2），

所以c=f（0）=6+f（-2），由0

例2（2016年浙江卷文科第12題）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+3x2+1.已知a≠0，且

f（x）-f（a）=（x-b）（x-a）2，x∈[WTHZ]R[WTBX]，則實(shí)數(shù)a=[CD#3]，b=[CD#3].

分析由f（x）=（x-a）2（x-b）+f（a）的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到三次函數(shù)的極值點(diǎn)式，所以a是函數(shù)f（x）=x3+3x2+1的一個(gè)極值點(diǎn)，令f′（x）=3x2+6x=0，得x=-2或x=0.由已知a≠0，所以a=-2，再結(jié)合性質(zhì)3得到的推論，得-1，0把-2，b三等分，所以b=1.

評(píng)注上面兩個(gè)三次函數(shù)小題的分析中，都利用前面類比得到的三次函數(shù)的“四式”及性質(zhì)，求解簡(jiǎn)潔，深入理解問(wèn)題的本質(zhì)，這些性質(zhì)在研究三次函數(shù)的最值、極值問(wèn)題中同樣有著重要的作用.

2.2三次函數(shù)“兩值”

例3（2016年天津高考理科）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）3-ax-b，x∈[WTHZ]R[WTBX]，其中a，b∈[WTHZ]R[WTBX].

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；

（3）設(shè)a>0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于14.

分析第（1）小題略.第（2）小題的證明就是性質(zhì)3的推論的應(yīng)用，由條件可知

f（x）=（x-1）3-a（x-1）-a-b是三次函數(shù)的對(duì)稱中心式，所以它的對(duì)稱中心為（1，-a-b），根據(jù)性質(zhì)3的推論得：x=1是x1，x0中間的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以x1-1=2（1-x0），即x1+2x0=3.

第（3）小題由函數(shù)g（x）=|f（x）|可知，g（x）max=maxf（x）max，f（x）min，x∈0，2.

所以本題本質(zhì)上就是分析三次函數(shù)f（x）在區(qū)間0，2上的最值，因?yàn)閍>0，所以函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1=1-a3，x2=1+a3，f（x）在-

SymboleB@ ，x1，x2，+

SymboleB@ 上遞增，在x1，x2上遞減，所以此題可分兩種情況，如圖：

[TP廖愛(ài)國(guó)-2.tif，BP][TS（][JZ]圖2[TS）]

由（2）結(jié)論，只需比較x2=1+a3，3-2x1=1+2a3與2的大小關(guān)系：

當(dāng)1+2a3≤2或1+a3≥2，即0

g（x）max=max{f（0），f（2）}

=max{b+1，2a+b-1}

≥b+1+2a+b-12≥a-1≥14；

當(dāng)1+a3<2<1+2a3，即34

g（x）max=maxf（x1），f（x2）

=max2a93a+a+b，2a93a-a-b

≥2a93a+a+b+2a93a-a-b2≥2a93a≥14.

綜上，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于14.

評(píng)注本題是一道很好的三次函數(shù)問(wèn)題，它結(jié)合絕對(duì)值很好地考查了三次函數(shù)的極值與最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵抓住三次函數(shù)的對(duì)稱性、三次函數(shù)的四種結(jié)構(gòu)形式及其性質(zhì).此題與文獻(xiàn)[2]中的2013年浙江高考理科卷第22題有相近之處，所以，深入研究三次函數(shù)的性質(zhì)也是高考的需要.

3總結(jié)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的時(shí)效性.在數(shù)學(xué)選修22第32頁(yè)中，明確要求學(xué)生的圖象和性質(zhì)利用信息技術(shù)工具進(jìn)行探究，可見(jiàn)，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析研究三次函數(shù)的性質(zhì)是非常有必要的.只有抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵，才能真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]吳玲利，吳躍忠.我國(guó)在三次函數(shù)中的研究進(jìn)展[J].數(shù)學(xué)通訊.2016（4下）：3943.

[2]吳華平.感悟三次函數(shù)“對(duì)稱”的魅力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2013（8）：7576.