求平面法向量的新方法

黑龍江省大慶市實驗中學高三(7)班 趙藝澤

求平面法向量的新方法

黑龍江省大慶市實驗中學高三(7)班 趙藝澤

筆者通過對高考理科試卷中立體幾何題的第二問的研究,發(fā)現(xiàn)了較好的求平面的法向量的方法,在此與同學們分享,希望對解答平面的法向量問題有所啟迪,爭取高考立體幾何題拿到滿分。

一、法向量的求法

通常的解法計算量比較大,易出錯。筆者經做題發(fā)現(xiàn),可以將空間向量類比平面向量。由于直線A x+B y+C=0的法向量是m=(A,B),合情推理并證明,可得出以下結論。

結論1:設平面α過空間直角坐標系的原點O,設平面α的方程為A x+B y+C z=0,則m=(A,B,C)是平面α的法向量。

結論2:設平面α平行于空間直角坐標系的某一個坐標軸。

①O x∥α,設平面α與y軸、z軸的交點分別為(0,b,0)和(0,0,c),則平面α的方程為+=1,則m=(0 ,,)是平面α的法向量。

②O y∥α,設平面α與x軸、z軸的交點分別為(a,0,0)和(0,0,c),則平面α的方程為+=1,則m=(, 0,)是平面α的 法向量。

③O z∥α,設平面α與x軸、y軸的交點分別為(a,0,0)和(0,b,0),則平面α的方程為+=1,則m=(,,0)是平面α的 法向量。

結論3:設平面α不過空間直角坐標系的原點O,設平面α的方程為++= 1,則m=(,,)是平面α的法向量。

二、方法的應用

例題 如圖1,直棱柱A B C-A1B1C1中,D,E分別是A B,B B1的中點,A A1=A C=C B=B。

(1)證明:B C1∥平面A1C D;

(2)求二面角D-A1C-E的正弦值。

圖1

解析:(1)略。

(2)因為C1C⊥平面A B C,A A1=A C=C B=A B,所以C C,C A,C B兩兩垂直1設A A1=A C=C B=1,按如圖2的方式建立空間直角坐標系。

圖2

此類問題通常屬于難度較高問題,但只要抓住內在規(guī)律,化繁為簡,化抽象為形象加上一些耐心和細心,再復雜的問題也會迎刃而解。數(shù)學是這樣,其他學科也是如此,希望筆者的體會對同學們有所幫助。

(責任編輯 劉鐘華