引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、感悟證明幾何定理的一個(gè)新作法

秦旭東

1問(wèn)題的提出

2011年版義務(wù)教育課標(biāo)要求：對(duì)幾何定理的教學(xué)，要以探索與證明的流程來(lái)進(jìn)行.對(duì)一些基本定理如三角形內(nèi)角和定理、平行四邊形的性質(zhì)定理、三角形中位線(xiàn)定理、三角形相似的預(yù)備定理等，如何有效引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、悟出證明的基本思路，來(lái)提高課堂效率呢？經(jīng)過(guò)探索、總結(jié)近幾年課改成功經(jīng)驗(yàn)和優(yōu)秀課例得出：基本定理的教學(xué)應(yīng)按照“生成、發(fā)現(xiàn)、分離、復(fù)原與論證”這樣一條基本思路來(lái)進(jìn)行.實(shí)踐也證明：基本定理的證明方法和證明時(shí)運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)其相關(guān)定理的教學(xué)起到奠基作用.現(xiàn)以課例的形式，將基本定理用這一基本思路來(lái)操作介紹如下：

2基本操作方法介紹

三角形的內(nèi)角和

（一）（生成）如圖1，直線(xiàn)a、b與直線(xiàn)c分別相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且a∥b.問(wèn)學(xué)生：

1.此時(shí)，∠1與∠2的和是多少？（180°）為什么？（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）.

2.若將直線(xiàn)a繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度θ（不妨讓0<θ<∠1），且不與c直線(xiàn)重合，記為a′，問(wèn)a′與b相交嗎？（相交）.

3.設(shè)直線(xiàn)a′與b相交于C點(diǎn)，如圖2所示，那么點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C所構(gòu)成的幾何圖形是什么圖形？（三角形）.

4.在圖（2）中，∠θ與哪個(gè)角相等？為什么？（∠θ=∠ACB，兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

5.（發(fā)現(xiàn)）問(wèn)圖2中∠CAB+∠ABC+∠ACB與∠1+∠2有何大小關(guān)系呢？是多少？（相等，180°）.

（二）（分離）若從圖2中分離出△ABC來(lái)，即圖3，那么∠A+∠B+∠C的和變嗎？（不變）.

1.請(qǐng)同學(xué)們想一想，如何運(yùn)用已學(xué)知識(shí)來(lái)證明如圖3所示的△ABC的內(nèi)角和是180°呢？

預(yù)設(shè)引導(dǎo)：（根據(jù)學(xué)生情況可能用到的提示.下同）

①問(wèn)初中已學(xué)幾何知識(shí)中，與180°有關(guān)的知識(shí)有哪些？（平角；鄰補(bǔ)角；兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）.

②如何將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角或鄰補(bǔ)角或兩直線(xiàn)平行后的同旁?xún)?nèi)角呢？請(qǐng)同學(xué)們聯(lián)系前面發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過(guò)程想一想，該如何做？

2.（復(fù)原與論證）過(guò)任意一個(gè)頂點(diǎn)作另一邊的平行線(xiàn)：如

方法①如圖4所示，過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC的射線(xiàn)BE；

方法②如圖5所示，過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC的直線(xiàn)EF，注意∠1，∠2分別與哪個(gè)角相等？

方法③如圖6所示，過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC的射線(xiàn)，并延長(zhǎng)AB至F等.

3.反問(wèn)學(xué)生，對(duì)任意一個(gè)三角形，采用上述方法能夠證明它的內(nèi)角和是180°嗎？（能）

從而說(shuō)明上述方法具有一般性：即三角形的內(nèi)角和等于180°.證明的基本方法是將其轉(zhuǎn)化為鄰補(bǔ)角或平角或互補(bǔ)角來(lái)實(shí)現(xiàn).

平行四邊形的性質(zhì)定理

（一）（生成）如圖7，在△ABC中，不妨過(guò)C點(diǎn)作CD∥BA，過(guò)A作AD∥BC，CD與AD交于點(diǎn)D.問(wèn)學(xué)生：

1.圖中四邊形ABCD在小學(xué)稱(chēng)之為什么四邊形？（平行四邊形）.

2.（發(fā)現(xiàn)）運(yùn)用你已掌握的知識(shí)，說(shuō)一說(shuō)圖形中有無(wú)相等的線(xiàn)段，相等的角呢？（AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∠BAD=∠DCB）并給出得到結(jié)論的理由.（利用△ABC≌△CDA）.

（二）（分離）若將圖7中的線(xiàn)段AC擦去，就得到圖8.問(wèn)：

1.上面得到的線(xiàn)段相等、角相等還相等嗎？（相等）

2.在圖8中，已知CD∥BA，AD∥BC，怎樣去證明AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∠A=∠C呢？

預(yù)設(shè)引導(dǎo)：

①說(shuō)明與證明線(xiàn)段相等的已學(xué)知識(shí)有哪些？（線(xiàn)段中點(diǎn)知識(shí)；等腰三角形知識(shí)；全等三角形知識(shí)），結(jié)合圖8、已知內(nèi)容，根據(jù)你的理解，哪些知識(shí)與本證明問(wèn)題聯(lián)系不上？（線(xiàn)段中點(diǎn)知識(shí)；等腰三角形知識(shí)）.

②如何將平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形呢？

3.（復(fù)原與論證）連接任意一條對(duì)角線(xiàn).

方法①：如圖9所示，連接AC，通過(guò)證明△ABC≌△CDA來(lái)得出結(jié)論.

方法②：連接BD，通過(guò)證明△ABD≌△CDB來(lái)得出結(jié)論.

4.任意畫(huà)一個(gè)平行四邊形ABCD，那么它的對(duì)邊相等、對(duì)角相等嗎？（相等）如何證明呢？（方法同上）.

平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等，證明的基本方法是將其轉(zhuǎn)化在兩個(gè)全等三角形中來(lái)實(shí)現(xiàn).

三角形的中位線(xiàn)

（一）（生成）如圖10所示，ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，連接EF，AC（BD），H是EF與AC的交點(diǎn).問(wèn)學(xué)生：

1.EF與BC（AD）有怎樣的位置關(guān)系？（平行）有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（相等）為什么呢？（用平行四邊形的判定方法與性質(zhì)來(lái)說(shuō)明）.

2.H點(diǎn)具有什么樣的特殊性？（H點(diǎn)為AC的中點(diǎn)）怎樣去證明呢？（利用△AHE≌△CHF來(lái)說(shuō)明）.

3.（發(fā)現(xiàn)）在△ABC中，E，H點(diǎn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，那么EH與BC有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系呢？（EH∥BC，EH=12BC）.

（二）（分離）若將圖10中的△ABC分離出來(lái)即圖11，那么EH∥BC，EH=12BC還成立嗎？（成立）.

1.請(qǐng)同學(xué)們想一想，在圖11中，當(dāng)E、H分別為AB、AC中點(diǎn)時(shí)，有EH∥BC，EH=12BC嗎？

預(yù)設(shè)引導(dǎo)：

①你學(xué)過(guò)哪些知識(shí)可供用來(lái)判斷兩線(xiàn)平行呢？（平行線(xiàn)的判斷方法；借助某個(gè)四邊形，先判定它是平行四邊形，再得兩線(xiàn)平行）.

②在圖11中，有角等或互補(bǔ)的條件嗎？（無(wú)）.

因此證明EH要平行BC，就只剩下構(gòu)造并證明某個(gè)四邊形是平行四邊形后，再來(lái)得出結(jié)論了.

③在圖11中，如何構(gòu)造出的平行四邊形，才能有EH的2倍等于BC或BC的一半等于EH呢？

2.（復(fù)原與證明）

方法①：延長(zhǎng)EH（或HE，略.下同）至F，使EH=HF，連接CF，如圖12所示，通過(guò)證明△AHE≌△CHF，得到∠A=∠HCF，AE=CF，從而說(shuō)明四邊形BCFE是平行四邊形，則EH∥BC，EH=12BC.

方法②：過(guò)C（或B）點(diǎn)作CF∥AB，延長(zhǎng)EH與CF交于點(diǎn)F，先說(shuō)明△CFH≌△AEH，進(jìn)而得到HF=EH，CF=AE=BE來(lái)說(shuō)明四邊形BCFE是平行四邊形，則EH∥BC，EH=12BC.

方法③：過(guò)A點(diǎn)作AD∥BC，過(guò)H（或E）點(diǎn)作HD∥AB，HD與AD交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)F，如圖13所示，易得∠FCH=∠DAH，四邊形ABFD是平行四邊形，AD=BF，進(jìn)而說(shuō)明△ADH≌△CFH，則AD=CF，DH=HF，所以四邊形AEHD是平行四邊形，則EH∥BC，EH=12BC.

3.對(duì)任意一個(gè)三角形，若已知兩邊的中點(diǎn)，那么這兩中點(diǎn)的連線(xiàn)，具有上述性質(zhì)嗎？（有）說(shuō)理方法相同嗎？（相同）

三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半.說(shuō)明的基本方法就是通過(guò)構(gòu)造平行四邊形來(lái)完成的（已學(xué)知識(shí)是在不包含基本事實(shí)：兩直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例的前提下）.endprint