任意形狀聲學(xué)黑洞的簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)方法

許衛(wèi)鍇，張 蒙，王 偉 (.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽(yáng) 036；.沈陽(yáng)建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，沈陽(yáng) 068)

任意形狀聲學(xué)黑洞的簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)方法

許衛(wèi)鍇1，張 蒙1，王 偉2
(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽(yáng) 110136；2.沈陽(yáng)建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110168)

提出一種簡(jiǎn)化的任意形狀聲學(xué)黑洞設(shè)計(jì)方法。利用比例映射變換，可以消除傳統(tǒng)聲學(xué)變換方法所導(dǎo)致的材料參數(shù)的高度各向異性，降低聲學(xué)黑洞吸收體的制作成本。數(shù)值結(jié)果表明，該模型可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜形狀下聲波的顯著吸收，證明了任意形狀聲學(xué)黑洞的有效性。該工作將對(duì)聲學(xué)能量吸收和噪聲控制提供一定的理論依據(jù)。

聲學(xué)黑洞；任意形狀；比例映射；聲學(xué)變換

波的吸收問(wèn)題一直以來(lái)都是人們研究的重點(diǎn)，并在多個(gè)學(xué)科都得到了廣泛地關(guān)注，如光學(xué)、微波、聲學(xué)、熱學(xué)等領(lǐng)域。由于其驚人的吞噬能力，很多學(xué)者用“黑洞”的概念來(lái)形容完美的吸收體，并進(jìn)行了廣泛的研究。然而對(duì)于傳統(tǒng)的黑洞設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，無(wú)論是吸波材料或是吸波結(jié)構(gòu)都存在著各自的局限性，或者受限于特殊的入射角度[1-2],或者只具有非常窄的帶寬[3]。因此，研究寬頻帶、高吸收的黑洞結(jié)構(gòu)成為一個(gè)重要的課題。

近年來(lái)，一種基于“有效勢(shì)(Effective potential)”概念的黑洞結(jié)構(gòu)得到了研究人員的關(guān)注。通過(guò)合理設(shè)計(jì)材料的參數(shù)分布，可以實(shí)現(xiàn)折射率隨位置變化的函數(shù)式分布[4]，從而形成類似于勢(shì)力場(chǎng)的空間，最終達(dá)到控制波的傳播路徑的目的。第一個(gè)光學(xué)黑洞由Narimanov等人提出[5]，并很快得到了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[6-8]。而利用光波與聲波方程的相似性，與光學(xué)黑洞類似的聲學(xué)黑洞也得到了關(guān)注，并由理論證實(shí)[9]和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[10]。隨后，聲學(xué)黑洞得到了大量的研究，例如Song等人利用超材料實(shí)現(xiàn)聲相干完美吸收器[11]，Naify[12]和Elliott[13]利用梯度材料設(shè)計(jì)了全方位的水下完美吸收體，Cheng等人利用均勻的各向異性超材料設(shè)計(jì)了一個(gè)二維寬頻帶的全方位聲學(xué)吸收體并完成實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[14]，Hu等人則利用坐標(biāo)變換方法設(shè)計(jì)了彈性波的黑洞結(jié)構(gòu)[15]。

然而，目前存在的聲學(xué)黑洞大多數(shù)都局限于規(guī)則的圓形結(jié)構(gòu)，因此發(fā)展任意形狀的聲學(xué)黑洞變得非常重要。Wei等人用傳統(tǒng)的聲學(xué)變換方法設(shè)計(jì)了任意形狀的聲學(xué)黑洞[16]，但該方法會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的各向異性，使得黑洞難以實(shí)現(xiàn)?；诖耍疚奶岢隽艘环N簡(jiǎn)化的任意形狀聲學(xué)黑洞設(shè)計(jì)方法，利用比例映射變換可以避免傳統(tǒng)聲學(xué)變換方法所導(dǎo)致的材料參數(shù)的高度各向異性，降低聲學(xué)黑洞吸收體的制作成本。本文給出了3種形狀的黑洞結(jié)構(gòu)，結(jié)果表明，該模型可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜形狀下聲波的顯著吸收，證明了任意形狀聲學(xué)黑洞的有效性。

1 理論模型

對(duì)于如圖1(a)所示二維圓形黑洞結(jié)構(gòu)，基于“有效勢(shì)”的折射率分布可以表示為[4]

(1)

式中n0為背景介質(zhì)的折射率，R1,R2分別為黑洞內(nèi)核和黑洞包覆層的半徑。折射率隨半徑的變化可以使得聲波在其中傳播時(shí)由外而內(nèi)改變方向，就好像聲波在勢(shì)力場(chǎng)中在有勢(shì)力的作用下向著低勢(shì)能的方向前進(jìn)。為了簡(jiǎn)單起見，圓形聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的參數(shù)分布可以參照變換光學(xué)和變換聲學(xué)的關(guān)系，將聲波方程中的彈性參數(shù)和Maxwell方程中的電磁參數(shù)相對(duì)比得到[5,9,17-18]。

(2)

其中ρ0,κ0分別表示背景材料的密度和彈性模量。

當(dāng)黑洞結(jié)構(gòu)的橫截面由閉合的任意曲線r=R0(θ)構(gòu)成時(shí)，如圖1(b)所示，與隱身斗篷類似，也可以看作是空間的變換。一般來(lái)說(shuō)，隱身斗篷離不開空間壓縮，而黑洞的變形則更像把原來(lái)的圓環(huán)拉扯而成的變形區(qū)域。對(duì)比圖1(a)和1(b)中的曲線，其中每一對(duì)都相差R0(θ)的倍數(shù)，因此任意形狀的黑洞結(jié)構(gòu)可以采用徑向的比例映射來(lái)變換得到。

圖1 黑洞結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

引入比例因子

ρ=r,ρ′=rR0(θ′)

(3)

則映射關(guān)系如式(4)所示。

ρ′=ρR0(θ′),θ′=θ,z′=z

(4)

根據(jù)式(2)，任意形狀黑洞中彈性參數(shù)的表達(dá)式為

(5)

(6)

這意味著材料的彈性模量為非均勻但各向同性的。無(wú)論曲線R0(θ)選取任何函數(shù)，該模型都可以形成有效勢(shì)從而引導(dǎo)聲波被吸收。

2 數(shù)值仿真與分析

為了驗(yàn)證模型的有效性，本文對(duì)3種不同形狀的黑洞結(jié)構(gòu)進(jìn)行了全波模擬。背景介質(zhì)選取為水，密度和模量分別為ρ=998 kg/m3,κ=2.19×109Pa。半徑分別選為R1=0.2 m，R2=0.5 m。入射波頻率為16 kHz，分別考慮了平面波和高斯波兩種情況。為了簡(jiǎn)單起見，我們采用吸收邊界來(lái)代替內(nèi)核的耗散材料。3種曲線的方程如式(7)所示。

CaseA:R0(θ)=0.7+0.1sin(θ)+0.1sin(3θ)+0.1cos(5θ)

CaseB:R0(θ)=[12+2cos(θ)+sin(2θ)-2sin(3θ)]/20

CaseC:R0(θ)=1+0.1sin(θ)+0.2sin(3θ)

(7)

圖2顯示了式(7)中算例A的聲壓場(chǎng)分布。其中圖2(a)和2(c)分別表示僅有耗散材料時(shí)平面波和高斯波的傳播情況。當(dāng)入射波為平面波時(shí)，很明顯只有位于吸聲邊界范圍內(nèi)的聲波被吸收，并在其身后留下了一個(gè)與吸收邊界相當(dāng)大小的聲陰影部分。而當(dāng)入射波為高斯波時(shí)，由于高斯波的位置高于吸收邊界，因此幾乎沒(méi)有被吸收。圖2(b)和2(d)顯示了放置黑洞結(jié)構(gòu)時(shí)的聲壓場(chǎng)?？梢钥闯?，入射波為平面波時(shí)，當(dāng)波通過(guò)黑洞區(qū)域后，吸聲區(qū)域明顯大于吸收邊界，并且高斯波也被拖拽而偏離原來(lái)的軌跡，最終被黑洞吞噬。這證明了該黑洞設(shè)計(jì)的有效性。

圖2 算例A在平面波和高斯波下的聲壓場(chǎng)分布

值得注意的是，在聲壓場(chǎng)中可以觀察到有散射現(xiàn)象的發(fā)生，這是由不規(guī)則的邊界引起的，尤其是曲率變化劇烈的地方。此外，由圖2(b)和2(d)可以看出，在黑洞邊界曲線上存在反向扭曲的位置會(huì)有一小部分聲波逃逸出黑洞范圍，這是由于由比例映射產(chǎn)生的“有效勢(shì)”相對(duì)于曲線的扭曲度較為溫和，不足以完全控制波的軌跡。但是，因?yàn)槁暡ǖ能壽E已經(jīng)被改變了，因此當(dāng)逃逸的聲波再次遇上黑洞邊界的時(shí)候?qū)⒈辉俅挝搿?/p>

為了驗(yàn)證上述分析，圖3顯示了式(7)中算例B的聲壓場(chǎng)分布。圖3(a)和3(c)分別表示僅有耗散材料時(shí)平面波和高斯波的傳播情況，圖3(b)和3(d)顯示了放置黑洞結(jié)構(gòu)時(shí)的聲壓場(chǎng)?？梢钥闯?，由于算例B的曲線較為平緩，在黑洞結(jié)構(gòu)大幅增加聲波吸收的同時(shí)，散射現(xiàn)象也得到了較好的改善。

圖3 算例B在平面波和高斯波下的聲壓場(chǎng)分布

此外，式(7)中算例C的聲壓場(chǎng)分布如圖4所示。為了節(jié)省篇幅，文中僅僅顯示了存在聲學(xué)黑洞時(shí)的聲壓場(chǎng)，同樣可以得到以上結(jié)論。

圖4 算例C黑洞結(jié)構(gòu)下的聲壓場(chǎng)分布

特殊的，當(dāng)曲線表達(dá)式為R0(θ)=1時(shí)，模型將退化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓形黑洞，相應(yīng)的聲壓場(chǎng)如圖5所示，與文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果一致。

圖5 圓形黑洞聲壓場(chǎng)

3 結(jié)論

基于聲學(xué)變換的思想，本文提出一種簡(jiǎn)化的任意形狀聲學(xué)黑洞設(shè)計(jì)方法。區(qū)別于聲學(xué)隱身斗篷的空間壓縮，當(dāng)引入徑向比例映射時(shí)，可消除傳統(tǒng)聲學(xué)變換方法所導(dǎo)致的材料參數(shù)高度各向異性問(wèn)題，得到非均勻但各向同性的聲學(xué)黑洞，降低聲學(xué)黑洞吸收體的制作成本。通過(guò)3種不同形狀的算例表明，該模型可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜形狀下聲波的顯著吸收，證明了任意形狀聲學(xué)黑洞的有效性。本文的工作將對(duì)聲波吸收和噪聲控制提供一定的理論依據(jù)。

[1] COLLIN S,PARDO F,TEISSIER R,et al.Efficient light absorption in metal-semiconductor-metal nanostructures[J].Appl.Phys.Lett,2004,85(2):194-196.

[2] KUO M L,POXSON J,KIM Y S,et al.Realization of a near-perfect antireflection coating for silicon solar energy utilization[J].Opt.Lett,2008,33(21):2527-2529.

[3] LANDY N I,SAJUYIGBE S,MOCK J J,et al.Perfect metamaterial absorber[J].Phys.Rev.Lett,2008,100(20):207402.

[4] MORSE P,FESHBACH H.Methods of Theoretical Physics[M].Mc.Graw-Hill,1953.

[5] NARIMANOV E E,KILDISHEV A V.Optical black hole:Broadband omnidirectional light absorber[J].Appl.Phys.Lett,2009,95(4):041106.

[6] CHENG Q,CUI T J,JIANG W X,et al.An omnidirectional electromagnetic absorber made of metamaterials[J].New J.Phys,2010,12(6):063006.

[7] LU W,JIN J,LIN Z,et al.A simple design of an artificial electromagnetic black hole[J].J.Appl.Phys,2010,108(6):064517.

[8] ZHOU J,CAI X,CHANG Z,et al.Experimental study on a broadband omnidirectional electromagnetic absorber[J].J.Opt,2011,13(8):085103.

[9] LI R,ZHU X,LIANG B,et al.A broadband acoustic omnidirectional absorber comprising positive-index materials[J].Appl.Phys.Lett,2011,99(19):193507.

[10]CLIMENT A,TORRENT D,SANCHEZ-DESEHA J.Omnidirectional broadband acoustic absorber based on metamaterials[J].Appl.Phys.Lett,2012,100(14):144103.

[11]SONG J Z,BAI P,HANG Z H,et al.Acoustic coherent perfect absorbers[J].New J.Phys,2014,16(3):033026.

[12]NAIFY C J,MARTIN T P,LAYMAN C N,et al.Underwater acoustic omnidirectional absorber[J].Appl.Phys.Lett,2014,104(7):073305.

[13]ELLIOTT A S,VENEGAS R,GROBY J P,et al.Omnidirectional acoustic absorber with a porous core and a metamaterial matching layer[J].J.Appl.Phys,2014,115(20):204902.

[14]GU Z M,JIANG X,LIANG B,et al.Experimental realization of broadband acoustic omnidirectional absorber by homogeneous anisotropic metamaterials[J].J.Appl.Phys,2015,117(7):074502.

[15]CHANG Z,HU G K.Elastic wave omnidirectional absorbers designed by transformation method[J].Appl.Phys.Lett,2012,101(5):054102.

[16]WEI Q,CHENG Y,LIU X J.Acoustic omnidirectional superabsorber with arbitrary contour[J].Appl.Phys.Lett,2012,100(9):094105

[17]Chen H Y,Chan C T.Acoustic cloaking in three dimensions using acoustic metamaterials[J].Appl.Phys.Lett,2007,91(18):183518.

[18]Chen H Y,Chan C T.Acoustic cloaking and transformation acoustics[J].J.Phys.D:Appl.Phys,2010,43(11):113001.

Simplifieddesignmethodofacousticblackholeswitharbitraryshapes

XU Wei-kai1，ZHANG Meng1，WANG Wei2
(1.Faculty of Aerospace Engineering,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China;2.School of Civil Engineering,Shenyang Jianzhu University,Shenyang 110168,China)

A simple model was presented to investigate two-dimensional acoustic black holes with arbitrary shapes.In the model,a proportional mapping was considered to eliminate the high anisotropy of parameters caused by traditional transformation acoustics and reduce production cost of acoustic black holes absorber.Numerical simulations show that remarkable absorption of acoustic wave is realized under complicated situation.The proposed method can control the acoustic absorption with arbitrary geometries.This will provide the theoretical support for acoustic energy absorption and noise control.

acoustic black holes;arbitrary shapes;proportional mapping;acoustic transformation

2017-06-26

國(guó)家自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào)：11302135,51308357,11672187)；遼寧省自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào)：201602572,201602627)；遼寧省高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(項(xiàng)目編號(hào)：LJQ2014019,LJQ2015091)。

許衛(wèi)鍇(1979-)，男，山東淄博人，副教授，博士，主要研究方向：超材料微結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，聲子晶體，E-mail：wkxu@sau.edu.cn。

2095-1248(2017)06-0022-05

O429;TB535

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2017.06.004

劉劃 英文審校：趙歡)