應(yīng)用驅(qū)動(dòng)下的《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)改革

游永興

（湖北警官學(xué)院，武漢 430034）

YOU Yong-xing

(Hubei University of Police,Wuhan 430034)

應(yīng)用驅(qū)動(dòng)下的《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)改革

游永興

（湖北警官學(xué)院，武漢 430034）

《離散數(shù)學(xué)》作為計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的核心課程，內(nèi)容抽象，應(yīng)用能力培養(yǎng)困難。利用工作過(guò)程系統(tǒng)化課程理論和方法，根據(jù)《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)面臨的形勢(shì)和不足，探討通過(guò)應(yīng)用驅(qū)動(dòng)帶動(dòng)課程改革，培養(yǎng)學(xué)生良好的程序設(shè)計(jì)能力和計(jì)算思維能力。

離散數(shù)學(xué)；應(yīng)用驅(qū)動(dòng)；教學(xué)改革；工作過(guò)程系統(tǒng)化課程

0 引言

1977年IEEE將《離散數(shù)學(xué)》確定為計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)核心主干課程，是計(jì)算機(jī)科學(xué)（Computer Science，CS）、計(jì)算機(jī)工程（Computer Engineering，CE）和系統(tǒng)工程（Sys?tem Engineering,SE）等專(zhuān)業(yè)的重要核心課程。離散數(shù)學(xué)不僅提供計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)需要的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，也培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力，強(qiáng)化學(xué)生的程序設(shè)計(jì)能力并作為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理、數(shù)據(jù)庫(kù)原理、操作系統(tǒng)、人工智能等專(zhuān)業(yè)課的前導(dǎo)課程[1]。

德國(guó)的工作導(dǎo)向課程理論強(qiáng)調(diào)基于工作過(guò)程的要求實(shí)現(xiàn)知識(shí)的構(gòu)建，通過(guò)分析工作過(guò)程，將知識(shí)的展現(xiàn)和學(xué)習(xí)從靜態(tài)的理論講解轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)過(guò)程，從提升學(xué)生的實(shí)踐能力入手改革教學(xué)過(guò)程，著眼于隱含在動(dòng)態(tài)行為體系之中的、整合了實(shí)踐知識(shí)與理論知識(shí)的工作過(guò)程知識(shí)的生產(chǎn)與構(gòu)建[2]。

根據(jù)工作過(guò)程系統(tǒng)化課程開(kāi)發(fā)的理論和實(shí)踐，結(jié)合《離散數(shù)學(xué)》的教學(xué)實(shí)際，分析離散數(shù)學(xué)的對(duì)象的和教學(xué)目的，利用系統(tǒng)方法對(duì)教學(xué)活動(dòng)要素進(jìn)行分析，考慮各要素的活動(dòng)和相互作用，通過(guò)要素的自身運(yùn)動(dòng)和相互作用有效的提高教學(xué)效果。使用具體應(yīng)用問(wèn)題作為新載體實(shí)現(xiàn)教學(xué)活動(dòng)中教學(xué)要素的相互作用，提高學(xué)生應(yīng)用《離散數(shù)學(xué)》知識(shí)解決實(shí)際工作的能力，通過(guò)應(yīng)用驅(qū)動(dòng)從源頭上提高課程的教學(xué)質(zhì)量。

1 《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)現(xiàn)狀

《離散數(shù)學(xué)》課程是計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，以學(xué)生擁有良好程序設(shè)計(jì)能力所需要的數(shù)學(xué)理論知識(shí)為直接目標(biāo)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和計(jì)算思維能力。計(jì)算思維最本質(zhì)的內(nèi)容是抽象和自動(dòng)化；而這兩個(gè)內(nèi)容恰好反映了計(jì)算的根本問(wèn)題，即什么能被有效地自動(dòng)進(jìn)行[3]?！峨x散數(shù)學(xué)》由數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、組合數(shù)學(xué)、圖論、初等數(shù)論等多個(gè)數(shù)學(xué)分支的內(nèi)容組成，相互獨(dú)立但教學(xué)目的統(tǒng)一，即：訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用離散結(jié)構(gòu)構(gòu)建問(wèn)題的抽象模型并在其基礎(chǔ)上構(gòu)造算法和解決問(wèn)題的能力；這種能力恰好就是計(jì)算思維能力的核心所在[3]。

《離散數(shù)學(xué)》在湖北警官學(xué)院的計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)和信息安全兩個(gè)專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)，均于第二學(xué)年第二學(xué)期開(kāi)設(shè)，教學(xué)時(shí)數(shù)為48學(xué)時(shí)。計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)德、智、體綜合發(fā)展，具有較好理論基礎(chǔ)，具備相應(yīng)的基本知識(shí)和基本技能，能從事專(zhuān)業(yè)教學(xué)、科學(xué)研究的應(yīng)用型人才。信息安全專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)德、智、體、美全面發(fā)展，具備維護(hù)信息安全的能力，能從事信息系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)和評(píng)價(jià)、網(wǎng)絡(luò)安全保護(hù)等方面工作，能對(duì)信息網(wǎng)絡(luò)的安全威脅進(jìn)行積極有效防御的專(zhuān)門(mén)技術(shù)人才。

根據(jù)《高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告暨專(zhuān)業(yè)規(guī)范（試行）》、《高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)公共核心知識(shí)體系與課程》、《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)實(shí)施方案[4]和兩個(gè)專(zhuān)業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)及相應(yīng)的前后繼課程，根據(jù)湖北警官學(xué)院的教學(xué)實(shí)際，給出《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)的核心知識(shí)單元分布：

表1 離散數(shù)學(xué)的核心知識(shí)單元分布表

其中遞歸部分作為機(jī)動(dòng)知識(shí)準(zhǔn)備，為教學(xué)留有余地。課程教學(xué)目的就是為了培養(yǎng)學(xué)生的程序設(shè)計(jì)能力和計(jì)算思維能力，為學(xué)生學(xué)好后繼課程直至為自己的職業(yè)生涯打下良好基礎(chǔ)。離散數(shù)學(xué)包含了數(shù)學(xué)的若干個(gè)分支的內(nèi)容，概念和公式多，理論性強(qiáng)，邏輯性強(qiáng)，內(nèi)容抽象，普遍課時(shí)不多（通常在48到64學(xué)時(shí)之間），學(xué)生難以做到將《離散數(shù)學(xué)》的理論應(yīng)用到專(zhuān)業(yè)課程的實(shí)際問(wèn)題，影響了學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)和提高[5]，這是教學(xué)過(guò)程中必須面對(duì)和解決的，也是改革的原因和動(dòng)力。

2 應(yīng)用驅(qū)動(dòng)教學(xué)方法簡(jiǎn)介

應(yīng)用驅(qū)動(dòng)（任務(wù)驅(qū)動(dòng)）式教學(xué)方法基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，符合工作過(guò)程系統(tǒng)化課程開(kāi)發(fā)的思想，以學(xué)生為中心，以任務(wù)為驅(qū)動(dòng)，通過(guò)具體而有意義的任務(wù)讓學(xué)生融入到知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)學(xué)生掌握的知識(shí)進(jìn)行回顧，對(duì)學(xué)生未掌握的知識(shí)進(jìn)行復(fù)述和學(xué)習(xí)，師生共同完成知識(shí)的解構(gòu)和建構(gòu)。

應(yīng)用驅(qū)動(dòng)式教學(xué)法產(chǎn)生的重要理論依據(jù)是Krash?en 的理解性輸入(comprehensible input)及“學(xué)習(xí)”(1earn?ing)和“習(xí)得”(acquisition)理論[6]。方法以任務(wù)為驅(qū)動(dòng)，圍繞學(xué)生這個(gè)中心，在應(yīng)用情景中進(jìn)行思考和新知識(shí)學(xué)習(xí)，通過(guò)一個(gè)個(gè)具體而有意義的任務(wù)完成教學(xué)活動(dòng)。應(yīng)用驅(qū)動(dòng)在課前準(zhǔn)備中提出新任務(wù)來(lái)導(dǎo)入學(xué)習(xí)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)主動(dòng)性有極大的改善，學(xué)生和教師一起對(duì)既有知識(shí)進(jìn)行總結(jié)分析可以極好的鞏固原有知識(shí)，對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)更具有針對(duì)性，學(xué)生的成就感更好更能激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)為后繼課程的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

3 應(yīng)用驅(qū)動(dòng)的《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)改革

《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)面臨著學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)不足的問(wèn)題，面臨著內(nèi)容的邏輯性和抽象性太強(qiáng)的實(shí)際，著眼于學(xué)生程序設(shè)計(jì)能力提升的具體目標(biāo)，著力于學(xué)生計(jì)算思維能力的提升，按照工作過(guò)程系統(tǒng)化課程的理論和實(shí)踐，在教學(xué)中通過(guò)應(yīng)用驅(qū)動(dòng)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力。圖1給出了應(yīng)用驅(qū)動(dòng)下常規(guī)的教學(xué)步驟：

圖1 應(yīng)用驅(qū)動(dòng)下的《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)實(shí)施過(guò)程圖

案例1：在圖的教學(xué)中，預(yù)先提出著名的七橋問(wèn)題：

圖2 七橋問(wèn)題

在上圖中A和B為島，C和D為陸地，相應(yīng)有7座橋?qū)⑺鼈冞B接在一起，有人提出能不能經(jīng)過(guò)所有橋一次并且僅經(jīng)過(guò)一次的問(wèn)題。問(wèn)題提出后很長(zhǎng)時(shí)間后直到歐拉來(lái)到之后才解決，并向圣彼得堡科學(xué)院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文，標(biāo)志著圖論的全新開(kāi)始。七橋問(wèn)題的圖形可以轉(zhuǎn)化為拓?fù)鋱D：

圖中每個(gè)陸地和島轉(zhuǎn)變?yōu)锳BCD四個(gè)點(diǎn)，7座橋轉(zhuǎn)化為點(diǎn)之間的聯(lián)線(xiàn)，這樣七橋問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為拓?fù)鋱D（同時(shí)介紹將其轉(zhuǎn)化為關(guān)系矩陣的方法）。然后就給出點(diǎn)和線(xiàn)之間的關(guān)聯(lián)度等相關(guān)概念，并指出起點(diǎn)和終點(diǎn)與中間途徑點(diǎn)之間的區(qū)別，從而給出邊、點(diǎn)、關(guān)聯(lián)、關(guān)聯(lián)次數(shù)等需要引入的新概念，然后利用新知識(shí)和原有知識(shí)可以知道七橋問(wèn)題是不可能有解的。進(jìn)一步提出如果每座橋是單向通行的話(huà)，從而提出新的問(wèn)題進(jìn)入有向圖的相關(guān)知識(shí)講解。

圖3 七橋問(wèn)題拓?fù)鋱D

案例2：在等值驗(yàn)算的教學(xué)中，預(yù)先提出如下問(wèn)題：在某次會(huì)議中，3名參會(huì)者根據(jù)王教授的講話(huà)對(duì)他是哪個(gè)地區(qū)的人判斷如下：

甲：王教授不是廣東人，是北京人。

乙：王教授不是北京人，是四川人。

丙：王教授既不是四川人，也不是北京人。

以上判斷一人全對(duì)，一人對(duì)一半錯(cuò)一半，一人全錯(cuò)。試分析王教授到底是哪里人？[7]

問(wèn)題給出后，學(xué)生很快就可以用排除法給出答案，然后教師引導(dǎo)提出問(wèn)題：如果使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行判斷的話(huà)，如何才能有效的自動(dòng)運(yùn)行。學(xué)生提出排除法可以自動(dòng)有效的運(yùn)行，教師指出如果王教授的可能地址不止三個(gè)的時(shí)候排除法的時(shí)間效率問(wèn)題，學(xué)生很快意識(shí)到運(yùn)算規(guī)模增長(zhǎng)較快，從而引入用邏輯驗(yàn)算對(duì)問(wèn)題分析求解的新課教學(xué)內(nèi)容，這極大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

《離散數(shù)學(xué)》是數(shù)學(xué)若干個(gè)分支中有助于培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算思維能力的部分所組成的一個(gè)整體，具有較強(qiáng)的開(kāi)放性和包容性，與數(shù)學(xué)課程里的其他內(nèi)容不同的是具有明確的應(yīng)用背景，可以說(shuō)每個(gè)教學(xué)點(diǎn)都是基于具體問(wèn)題的，這使得應(yīng)用驅(qū)動(dòng)對(duì)于《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)而言可操作性極強(qiáng)，同時(shí)改革可以極大提升學(xué)生的自學(xué)能力，為網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)和翻轉(zhuǎn)課堂鋪下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

4 教學(xué)改革對(duì)教師的影響

應(yīng)用驅(qū)動(dòng)在提升教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)，對(duì)教師本身的提升作用也是明顯的。為了搞好應(yīng)用驅(qū)動(dòng)下的教學(xué)實(shí)施，需要更多的考慮學(xué)生實(shí)踐能力的提升，從而對(duì)備教輔改考五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)有著深刻的改變，如圖4所示：

圖4 應(yīng)用驅(qū)動(dòng)下離散數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程示意圖

與傳統(tǒng)的教學(xué)模式相比較，需要教師做更多的課前準(zhǔn)備和課后總結(jié)，每個(gè)教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)準(zhǔn)備上都要尋找適合的應(yīng)用問(wèn)題，對(duì)于教師而言這個(gè)工作量是巨大的。每次課前，教師都要對(duì)前面的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的掌握情況了如指掌，才能根據(jù)授課內(nèi)容選擇適合的應(yīng)用問(wèn)題，這往往要對(duì)教材和網(wǎng)絡(luò)等資源做好充分的利用，尤其是后繼課程需要教師進(jìn)行比較深入的了解。根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的分類(lèi)，表2給出了《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)內(nèi)容和后繼學(xué)科的關(guān)系：

表2 《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)內(nèi)容和后繼課程關(guān)系表

案例3：教師在準(zhǔn)備初等數(shù)論的教學(xué)內(nèi)容時(shí)，根據(jù)表2知道需要從密碼學(xué)中尋找應(yīng)用作為教學(xué)的驅(qū)動(dòng)，在密碼學(xué)中可以知道對(duì)于公鑰密碼體系而言，公鑰密碼的初始設(shè)想是單向函數(shù)的概念：函數(shù)計(jì)算過(guò)程作為加密過(guò)程，而從加密過(guò)程無(wú)法知道解密過(guò)程即其反函數(shù)的構(gòu)造。從學(xué)生已有的知識(shí)里面尋找函數(shù)的反函數(shù)不可以求出的例子，然后引入模同余的概念和相關(guān)知識(shí)，進(jìn)而講授RSA密碼體系，這樣就完成了教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)。

根據(jù)表2的內(nèi)容，教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容可以從合適的后繼學(xué)科里選擇合適的例子做好教學(xué)設(shè)計(jì)，通過(guò)學(xué)生的反饋引入新的教學(xué)內(nèi)容，這也要求教師必須對(duì)后繼學(xué)科的基本思維和基本方法有個(gè)大概的了解。教師經(jīng)過(guò)精心準(zhǔn)備，通過(guò)應(yīng)用驅(qū)動(dòng)針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)計(jì)教學(xué)方案，在課前課后反饋中及時(shí)調(diào)整教學(xué)思路，著眼于培養(yǎng)學(xué)生良好的計(jì)算思維能力，通過(guò)不斷的實(shí)踐和反饋以提升學(xué)生的程序設(shè)計(jì)能力，為學(xué)生今后的專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)和工作打下良好的程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。

5 結(jié)語(yǔ)

當(dāng)今時(shí)代技術(shù)發(fā)展迅猛，新知識(shí)和新技術(shù)日新月異，尤其是基于計(jì)算機(jī)應(yīng)用和網(wǎng)絡(luò)的新產(chǎn)品層出不窮，這都是建立在良好的程序設(shè)計(jì)能力上的，既是加強(qiáng)《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)的動(dòng)力也是壓力，還須及時(shí)將這些新應(yīng)用的設(shè)計(jì)原理與《離散數(shù)學(xué)》這個(gè)開(kāi)放的內(nèi)容體系進(jìn)行融合，不斷發(fā)展離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)形式。

[1]張小峰，蔡春波，李秀芳，楊洪勇.基于程序設(shè)計(jì)能力培養(yǎng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革[J].計(jì)算機(jī)教育，2015（2）：44-47.

[2]姜大源.論高等職業(yè)教育課程的系統(tǒng)化設(shè)計(jì)[J].中國(guó)高教研究，2009（4）：66-70.

[3]常亮，徐周波，古天龍，董榮勝.離散數(shù)學(xué)教學(xué)中的計(jì)算思維培養(yǎng)[J].計(jì)算機(jī)教育，2011（14）：90-94.

[4]屈婉玲，王元元，傅彥，張桂蕓.《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)實(shí)施方案[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2011（1）：39-41.

[5]陳光喜，古天龍.《離散數(shù)學(xué)》精品課程教學(xué)改革實(shí)踐[J].桂林電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2007（4）：300-302.

[6]祁云嵩，華偉.任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法應(yīng)用研究[J].當(dāng)代教育論壇，2008（12）：119-121.

[7]屈婉玲，耿素云，張立昂.離散數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[8]陳敏，李澤均.離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)學(xué)科中的應(yīng)用[J].電腦知識(shí)與技術(shù)，2009（1）：251-252.

Teaching Reform of Discrete Mathematics Course under Application-Driven

Discrete mathematics with the abstract content,is the core course of computer science and is difficulty in applying capacity culture.Takes advantage of the theory and method of systematic work process course and base on the situation and shortage of the discrete mathematics teach,discusses the application-driven course reform to develop students'good program design ability and computational thinking ability.

Discrete Mathematics;Application-Driven;Teaching Reform;the Systematic Work Process Course

湖北省教育廳科研項(xiàng)目（No.2015071）、湖北警官學(xué)院院級(jí)教研項(xiàng)目（No.2015020）

1007-1423（2017）33-0034-04

10.3969/j.issn.1007-1423.2017.33.008

游永興（1973-），男，湖北鶴峰人，碩士研究生，副教授，研究方向?yàn)閿?shù)論及其應(yīng)用、數(shù)學(xué)教育

2017-10-31

2017-11-22

YOU Yong-xing

(Hubei University of Police,Wuhan 430034)