許韜+郭啟龍+戴芊慧+孟得新
摘要:《數(shù)理方程》素來具有知識點綜合性強(qiáng)、數(shù)學(xué)推導(dǎo)復(fù)雜煩瑣、學(xué)生普遍缺少學(xué)習(xí)興趣和耐心等特點。以Mathematica符號計算平臺為基礎(chǔ),我們針對弦的振動過程、桿的熱量傳導(dǎo)、溫度(電勢)的穩(wěn)恒分布、行波的傳播以及特殊函數(shù)的性質(zhì)等教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計了一定的圖形和動畫,將難以描繪的物理現(xiàn)象和抽象的特殊函數(shù)向?qū)W生進(jìn)行可視化演示,從而在一定程度上激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高了課堂教學(xué)效果。
關(guān)鍵詞:數(shù)理方程;可視化教學(xué);Mathematica軟件
中圖分類號:G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號:1674-9324(2017)52-0144-03
一、數(shù)理方程的課程特點及教學(xué)中存在的問題
數(shù)理方程是指在物理學(xué)、力學(xué)、工程和技術(shù)等領(lǐng)域提出的經(jīng)過一定簡化后能夠反映客觀世界物理量之間關(guān)系的微分方程。它是一門數(shù)學(xué)、物理知識高度綜合的課程,需要《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》、《常微分方程》、《復(fù)變函數(shù)與積分變換》和《大學(xué)物理》等課程的諸多知識點作為基礎(chǔ)。首先,數(shù)理方程所涉及三類模型的建立都是以物理學(xué)中的基本原理或?qū)嶒灦蔀榛A(chǔ)的。其中,部分原理和定律是學(xué)生在中學(xué)或大學(xué)物理中學(xué)習(xí)過的,而另一部分則是學(xué)生完全沒有接觸過的,如熱傳導(dǎo)方程的建立需要利用傅里葉實驗定律。其次,求解數(shù)理方程定解問題的各種解析方法是本課程講授的主要內(nèi)容,這些求解方法都需要完成大量微分和積分運算,其顯著特點為計算和推導(dǎo)煩瑣、過程和步驟冗長、數(shù)學(xué)知識點多且綜合程度高。以齊次方程在齊次邊界下的分離變量法為例,其求解過程涉及變量分離、常微分方程本征值問題求解、線性疊加原理以及傅里葉級數(shù)展開四個主要知識點。最后,數(shù)理方程具有十分深刻而廣泛的物理背景,其解可以準(zhǔn)確地描述一些實際物理過程或現(xiàn)象。例如:利用分離變量法求解所得本征值和本征函數(shù)可分別表示駐波的頻率和波形。
《數(shù)理方程》不僅能夠很好地鍛煉學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)物理知識的能力,而且在一定程度上還可以提高他們的理論分析、模型建立和解析計算能力。然而,在實際教學(xué)中該課程卻被公認(rèn)為“學(xué)生難學(xué)、老師難教、考試難過”[1]。從學(xué)生角度講,數(shù)理方程涉及數(shù)學(xué)知識點眾多、理論分析復(fù)雜、計算量大、過程冗長而煩瑣,這使得不少學(xué)生認(rèn)為該課程沉悶乏味,很快便失去了繼續(xù)學(xué)習(xí)下去的興趣和耐心。不僅如此,大量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計算也讓學(xué)生無暇顧及數(shù)理方程的物理背景和實際應(yīng)用,從而難以將數(shù)學(xué)計算結(jié)果與實際物理過程和現(xiàn)象進(jìn)行聯(lián)系。從教師角度講,受課程知識體系結(jié)構(gòu)和傳統(tǒng)教學(xué)理念的束縛,老師們習(xí)慣將該課程當(dāng)作一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課進(jìn)行講授,一味強(qiáng)調(diào)理論的完整性、步驟的連貫性,滿堂課充斥著理論分析和數(shù)學(xué)計算,極大地降低了課堂的趣味性和生動性。因此,如何激發(fā)學(xué)生對數(shù)理方程的學(xué)習(xí)興趣和提高該課程的教學(xué)效果一直是教師們關(guān)心的一個問題。近年來,已發(fā)表的相關(guān)教學(xué)改革研究包括:利用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真的可視化教學(xué)改革[2,3]、體現(xiàn)專業(yè)需求和特色的教學(xué)改革[4,5]以及實驗教學(xué)和數(shù)值仿真相結(jié)合的教學(xué)改革[6]等等。
二、Mathematica軟件及可視化教學(xué)改革探索
隨著數(shù)學(xué)和計算機(jī)科學(xué)的發(fā)展,符號計算(亦稱“計算機(jī)代數(shù)”)作為一門新興的交叉學(xué)科逐漸形成并迅速發(fā)展[7]。由美國物理學(xué)家Stephen Wolfram發(fā)明的Mathematica是一款以符號計算功能見長的數(shù)學(xué)軟件,能夠完成矩陣和張量的計算、初等函數(shù)的化簡、定(不定)積分的計算、函數(shù)的冪級數(shù)展開、代數(shù)方程和微分方程組求解等復(fù)雜的符號運算,并且具有強(qiáng)大的二維和三維繪圖功能。Mathematica用戶界面友好,操作簡單、易學(xué)、易用,這是因為它具有像計算器一樣簡單的交互式操作方式,計算是在用戶和軟件相互交換和傳遞信息數(shù)據(jù)過程中完成的。經(jīng)歷近三十年的發(fā)展,Mathematica在數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)和計算機(jī)方面的專家學(xué)者中得到了廣泛應(yīng)用,成為理論研究的重要實驗工具。不僅如此,她還被用于計算機(jī)輔助教學(xué),目前已成為國內(nèi)很多高校數(shù)學(xué)類課程有力的輔助工具。教師可通過該軟件直觀形象地向?qū)W生解釋抽象的數(shù)學(xué)概念和幾何含義,而學(xué)生則可利用Mathematica“輕松做數(shù)學(xué)題”,從而提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)軟件解決問題的能力。
數(shù)理方程求解涉及多元函數(shù)微積分、常微分方程求解以及傅里葉級數(shù)展開等復(fù)雜的計算,這些運算大部分都能夠在符號計算系統(tǒng)上得以完成;另外,Mathematica強(qiáng)大的繪圖功能使得對數(shù)理方程的精確解析解進(jìn)行可視化演示成為可能。因此,將Mathematica融入《數(shù)理方程》的可視化教學(xué)是可行且十分有必要的。為了改變傳統(tǒng)的滿堂公式推導(dǎo)和求解計算的教學(xué)方式,我們制作出一套含有豐富圖形和動畫的電子課件,尤其是將一些難以描繪的物理現(xiàn)象和抽象的特殊函數(shù)進(jìn)行可視化演示,具體的改革內(nèi)容如下:
1.利用分離變量法求解數(shù)理方程在不同初邊值條件下的定解問題是一個極其重要的教學(xué)內(nèi)容,但是如何將分離變量解與實際物理過程和現(xiàn)象相聯(lián)系是教學(xué)中容易被忽略的環(huán)節(jié)。我們通過二維(三維)圖形和動畫演示,讓學(xué)生清楚地看到在固定端、自由端和彈性支撐端三種情況下的弦振動過程,在恒溫端、絕熱端和熱交換端三種情況下一維有界桿的熱量傳導(dǎo)過程,以及在圓盤、圓環(huán)或扇形區(qū)域溫度(電勢)的穩(wěn)恒分布。
2.行波法是求解雙曲型方程的常見方法,但是如何理解行波解的物理意義卻讓學(xué)生倍感頭疼。為此,我們利用二維動畫讓學(xué)生觀察到行波的傳播過程,同時通過初值條件的改變向?qū)W生演示初始擾動對于行波傳播的影響。另外,我們還將理論分析和圖形演示相結(jié)合,形象地解釋如何根據(jù)達(dá)朗貝爾公式理解依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域等概念。
3.在利用分離變量法求解球(柱)坐標(biāo)系下三類數(shù)理方程時還會涉及貝塞爾函數(shù)和勒讓德函數(shù)。不同于常見的初等函數(shù),這兩類函數(shù)是用級數(shù)形式表示的特殊函數(shù)。利用Mathematica的函數(shù)繪圖功能,我們可清楚地向?qū)W生展示這兩類函數(shù)的零點、周期性和極值分布等特征,從而使學(xué)生建立對這兩類特殊函數(shù)直觀形象的認(rèn)識。
三、基于Mathematica的數(shù)理方程可視化教學(xué)案例
1.一端固定一端自由的弦振動過程演示。
對于如下波動方程定解問題:
該段代碼的最后一行可輸出弦自由振動的動態(tài)演示圖,截取部分時刻的靜態(tài)圖形如下:
通過圖1的演示,學(xué)生能夠清晰地觀察到在一端固定而另一端自由情況下弦的自由振動過程。進(jìn)一步,我們可以分別作出U[1],U[2],U[3]…的動態(tài)演示圖,使學(xué)生理解為什么分離變量解是由一系列駐波疊加而成。此外,我們還能選取不同的a值作出弦振動的動態(tài)演示圖,從而讓學(xué)生感受參數(shù)a與波傳播的速度有關(guān)。
2.兩端固定的弦受迫振動過程演示。
對于如下非齊次波動方程定解問題:
四、結(jié)束語
我們利用Mathematica強(qiáng)大的符號計算和繪圖功能,將難以描繪的物理現(xiàn)象和抽象的特殊函數(shù)以圖形或動畫形式演示,使得學(xué)生能夠直觀形象地理解數(shù)學(xué)表達(dá)式,并且與具體物理現(xiàn)象和過程建立聯(lián)系。這既鍛煉了學(xué)生的物理思維,又激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣。然而,僅僅在電子課件中增設(shè)可視化教學(xué)環(huán)節(jié)對于顯著改善《數(shù)理方程》的教學(xué)效果還是不夠的。我們下一步的教學(xué)改革思路有如下兩方面:(1)增加Mathematica的上機(jī)教學(xué)環(huán)節(jié),向?qū)W生講授符號計算和圖形繪制的常用指令,讓數(shù)學(xué)軟件成為學(xué)生學(xué)習(xí)《數(shù)理方程》的“演草紙”;(2)增加課程大作業(yè)環(huán)節(jié),設(shè)計難度適當(dāng)?shù)木C合性題目,要求學(xué)生利用本門課程所學(xué)知識并借助Mathematica完成數(shù)學(xué)計算和圖形分析,以提高綜合運用數(shù)學(xué)、物理和計算機(jī)知識解決問題的能力。
參考文獻(xiàn):
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