3t+1階幻立方的一種構造方法

侴萬禧, 門 博

(1. 安徽理工大學 土木建筑學院, 安徽 淮南 232001;2. 沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

理論與應用研究

3t+1階幻立方的一種構造方法

侴萬禧1, 門 博2

(1. 安徽理工大學 土木建筑學院, 安徽 淮南 232001;2. 沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

對幻立方給以簡單介紹,闡明幻立方的均衡結構特性,由客船沉沒的原因指出幻立方的應用價值。給出了幻立方的一種構造方法,闡明了3t+1幻立方的構造思路和基本步驟。介紹了3t+1階幻立方構造過程,按照這種構造步驟,給出了t=3時的情況下,10階幻立方的構造全過程及每一個步驟中的相應結果。最后得到10階幻立方的10個幻方,解決了3t+1幻方的計數(shù)問題。

幻方; 幻立方; 計數(shù)

0 引 言

13世紀,中國南宋數(shù)學家楊輝在世界上首先開展了對幻方的系統(tǒng)研究,歐洲14世紀也開始了這方面的工作。著名數(shù)學家費爾瑪、歐拉都進行過幻方研究。如今,幻方仍然是組合數(shù)學的研究課題之一,經(jīng)過一代代數(shù)學家與數(shù)學愛好者的共同努力,幻方與它的變體所蘊含的各種神奇的科學性質(zhì)正逐步得到揭示[1-3],已在組合分析、實驗設計、圖論、數(shù)論、群、對策論、紡織、工藝美術、程序設計、人工智能等領域得到廣泛應用。

幻立方是幻方向三維空間的自然延伸,是由自然數(shù)1到n組成邊長為n的正方體,將n3個自然數(shù)按順序依次填入n×n×n立方體中,如圖1所示。由上向下是從第1層到第n層的n個劃分,每一層均是n行×n列的一個正方形,稱之為一個直剖面或一個方陣。同理,立方體還有另2個方向的直剖面:從后向前方向的剖面,從左到右方向的剖面?；昧⒎绞且环N軸對稱和中心對稱圖形,具有神奇的均衡結構[4-6]。

依據(jù)“歲月”號客船向一側傾覆的視頻,可以判斷“歲月”號客船沉沒的原因是該客船在沉沒瞬間承受著巨大的偏心力,這個巨大的偏心力是船上的集裝箱等物品的不均勻荷載造成的,不均勻的荷載來源于貨物的扎堆亂放。各類船只在啟航前,運用幻立方構造的思路,將船上的集裝箱堆成荷載對稱于中心線的長方體頗有必要。

幻立方的構造方法比較復雜[7-9],多重幻方是一個典型的NP難題[10-12],利用計算機搜索幻方的時間復雜度是超乎人們想象的。

1 基本思路

本文的3t+1階幻立方的構造可概括為以下幾個步驟。

步驟1 將S=[1,2,3,…,n3]中的n3個自然數(shù)按順序依次填入n×n×n立方體的n個截面上,使得n個截面上出現(xiàn)n×n個沿水平線排列的級數(shù)序列和n×n個沿垂線排列的級數(shù)序列,從而形成n×n個級數(shù)序列的n個劃分----方陣B(1),B(2),…,B(n)。

步驟2 將方陣B(1),B(2),…,B(n)各劃分成4個子矩陣:1個t×t方陣,1個(2t+1)×(2t+1)方陣,2個長方矩陣為t×(2t+1)和(2t+1)×t階的。

步驟3 令2個長方矩陣中的2t個序列與(2t+1)×(2t+1)方陣中的2t個序列相互置換,令t×t方陣中的t×t個自然數(shù)重新排列成一個幻方,即得3t+1階幻立方的10個幻方M(1),M(2),M(3),…,M(10)。

2 取t=3的10階幻立方

下面是10階幻立方的構造步驟。

步驟1 將S=[1,2,3,…,1 000]中的1 000個自然數(shù)按順序依次填入10×10×10立方體的10個截面上,使得10個截面上出現(xiàn)10×10個沿垂線排列的級數(shù)序列,從而形成10×10個級數(shù)序列的10個劃分----方陣A(1),A(2),…,A(10)。

A(1)=123456789101111121131141151161171181191202212222232242252262272282292303313323333343353363373383393404414424434444454464474484494505515525535545555565575585595606616626636646656666676686696707717727737747757767777787797808818828838848858868878888898909919929939949959969979989991000A(2)=11121314151617181920121122123124125126127128129130231232233234235236237238239240341342343344345346347348349350451452453454455456457458459460561562563564565566567568569570671672673674675676677678679680781782783784785786787788789790891892893894895896897898899900901902903904905906907908909910A(3)=3132333435363738393131132133134135136137138139140241242243244245246247248249250351352353354355356357358359360461462463464465466467468469470571572573574575576577578579580681682683684685686687688689690791792793794795796797798799800801802803804805806807808809810911912913914915916917918919920 …A(10)=1020304050607080901001911921931941951961971981992002912922932942952962972982993003913923933943953963973983994004914924934944954964974984995005915925935945955965975985996006916926936946956966976986997007917927937947957967977987998008918928938948958968978988999009919929939949959969979989991000

步驟2 將方陣A(1),A(2),A(3),…,A(10)各劃分成4個子矩陣:1個7×7方陣,1個3×3方陣,2個長方矩陣為3×7和7×3階的。

B(1)=11121314151617181911021121221321421521621721821922032132232332432532632732832933043143243343443543643743843944054154254354454554654754854955065165265365465565665765865966076176276376476576676776876977087187287387487587687787887988098198298398498598698798898999009209309409509609709809901000B(2)=2122232425262728292103113123133143153163173183193204214224234244254264274284294305315325335345355365375385395406416426436446456466476486496507517527537547557567577587597608618628638648658668678688698709719729739749759769779789799810810830840850860870880890900901911921931941951961971981991B(3)=3132333435363738393104114124134144154164174184194205215225235245255265275285295306316326336346356366376386396407417427437447457467477487497508518528538548558568578588598609619629639649659669679689699710720730740750760770780790800801811821831841851861871881891902912922932941952962972982992 …B(10)=102030405060708090100101111121131141151161171181191202212222232242252262272282292303313323333343353363373383393404414424434444454464474484494505515525535545555565575585595606616626636646656666676686696707717727737747757767777787797808818828838848858868878888898909919929939949959969979989999

步驟3 令7×7方陣中3條線上的序列與右側長方矩陣中3條垂線上的序列相互置換;令7×7方陣中的另外3條線上的序列與左下長方矩陣中的3條水平線上的序列相互置換;令7×7方陣中剩余線上的7個數(shù)保持原位不動;令3×3方陣中9個自然數(shù)重新排列成幻方,最后,得10階幻立方的10個幻方M(1),M(2),M(3),…,M(10)。

M(1)=16975864757188399603642431229701129168757672884940535423385991022319281679738516465344748869920334293182716275064551727588099304453942833161756638427376881994055649514221607596485374708829950667253132112133244355466576110277888910004255366475116220331488998078863741152263304415526990798879M(2)=26985874767198409613652441239611139268857772985040635523486090122419382678739517466345749870911335294183726285074561737598109214463952843261856758527476982093155749614322608597486375709830941668254133122143254365476586210377989099142653764854216320431590097178963842153264305416527981799880M(3)=3699588477720841962366245124962114936895787308414073562358519022251948367974051846734675086191233629518473629508457174760801922447396285336195683862757708119325584971442360959848737671082194266925513413215326437548659631047808819924275386495316420531689197279063943154265306417528982800871M(4)=4700579478711832953367246125963115946905797218424083572368529032261958468073151946834774186291333729618574630509458175751802923448397286346205693872767618129335594981452461059948837770182294367025613514216327438549660641057718829934285396505416520631789297378164044155266307418529983791872M(5)=5691590479712833954368247126964116956815807228434093582378539042271968567173252046934874286391433829718675621510459176752863924449398287356115703882777628139345604991462560160048937670282394466125713615217328439550651651067728839944295406415511620731889397478263145156267308419530984792873M(6)=6692581480713834955369248127965117966825717238444103592388549052281978667273351147034974386491533929818776622501460177753804925450399288366125613892787638149355515001472660259149037970382494566225813716218329440541652661077738849954365316425616720831989497578363246157268309420521985793874M(7)=769353247171483595637024912896611897683572724845401360239855906229198876737345124613507448659163402991887762350245117875480592644140028937631562390279764815936552491148276035924813807048259466632591381721933043154265367108774885996421532635716820932089597678463347158269310411522986794875M(8)=8694583472715836957361250129967119986845737258464023512408569072301998867473551346234174586691733130018978624503452179755806927442391290386145633812807658169375534921492860459348237170582694766426013918220321432543654681097758869974225336445816921031189697778563448159270301412523987795876M(9)=9695584473716837958362241130968120996855747268474033522318579082212008967573651446334274686791833229119079625504453180756807928443392281396155643822817668179385544931502960559427137270682794866525114019211322433544655691107768879984235346455917020131289797878663549160261302413524988796877 …M(10)=106965854747178389593632421219691211006865757278484043532328589092221919067673751546434374786891933329218180626505454171757808929444393282406165653832727678189395554941413060659548437370782894966625213120212323434545656701017778889994245356466016120231389897978763650151262303414525989797878

以上所得的幻立方矩陣系2D幻方矩陣,倘若將該立方矩陣實施下列措施:1)令矩陣M(1)中的10個序列保持原位;2)令矩陣M(2)中的10個序列上移1個行距;3)令矩陣M(3)中的10個序列上移2個行距;4)令矩陣M(4)中的10個序列上移3個行距;…;10)令矩陣M(3)中的10個序列上移9個行距,則得10階3D幻立方的10個幻方C(1),C(2),C(3),…,C(10)如下:

C(1)=16975864757188399603642431229701129168757672884940535423385991022319281679738516465344748869920334293182716275064551727588099304453942833161756638427376881994055649514221607596485374708829950657253132112133244355466576110277888910004255366475116220331488998078863741152263304415526990798879C(2)=9611139268857772985040635523486090122419382678739517466345749870911335294183726285074561737598109214463952843261856758527476982093155749614322608597486375709830941668254133122143254365476586210377989099142653764852163204315900971789638421532643054165279817998802698587476719840951365244123C(3)=8519022251948367974051846734675086191233629518473629508457174760801922447396285336195683862757708119325584971442360959848737671082194266925513413215326437548659631047808819924275386495316420531689197279063943154265306417528982800871369958847772083195236624512496211493689578730841407356235C(4)=7418629133372961857463050945817575180292344839728634620569387276761812933559498145246105994883777018229436702561351421632743354966064105771882993428539650541652063178929737816404415526630741852998379187247005894787118329533672461259631159469057972184240835723685290322619584680731519468347C(5)=3882777628139345604991462560160048937670282394466125713615217328439550651651067728839944295406415516620731889397478263145156267308419530984792873569159047971283395436824712696411695681580722843409358237853964227196856717325204693487428639143382971867562151045917675280392444939828735611570C(6)=3892787638149355515001472660259149037970382494566225813716218329440541652661077738849954365316425616720831989497578363246157268309420521985793874669258148071383495536924812796511796682571723844410359238854905228197866727335114703497438649153392981877662250146017775380492545039928836612561C(7)=5924813807048259466632591381721933043154265367108774885996421532643571682093208959767846334715826931041152298679487576935824717148359563702491289661189768357272484540136023985590622919887673734512461350744865916340299188776235024511787548059264414002893761356239027976481593655249114827603C(8)=2203214325436546810977588699742253364458169210311896977785634481592703014126239877968768694583472715836357361250129967119986845737258464023512408569072301998867473551346234174586691733130018978624503452179755806927442391290386145633812807658169375534921492860459348237170582694766426013918C(9)=42353464559170201312897978786635491602613024135249887968779695584473716837958362241130968120996855747268474033522318579082212008967573651446334274686791833229119079625504453180756807928443392281396155643822717668179385544931502960559448337270682794866525114011921132243354465569110776887998 …C(10)=636501512623034145259897978781069658547471783895936324212196911110068657572784840435323285890922219190676737515464343747868919333292181806265054541717578089294443932824061656538327276781893955549414130606595484373707828949666252131202123234345456567010177788899942453564660161202313898979787

3 結 語

本文的貢獻是:1)發(fā)現(xiàn)了3t+1階幻立方的構造方法;2)構造出10階幻立方的10個幻方M(1),M(2),M(3),…,M(10);3)解決了N階幻立方的計數(shù)問題。作者的期待是讓幻立方的基本思路在集裝箱運輸領域及其他更多領域中得到廣泛的應用[13]。

[ 1 ]DENES J. Latin squres and their application[M]. Budapest:Akademiai kiado, 1974.

[ 2 ]楊富鋒. 構造奇次同心幻方的一種方法[J]. 數(shù)學的實踐與認識, 2006,36(5):192-199.

[ 3 ]楊驊飛,王朝瑞. 組合數(shù)學及其應用[M]. 北京:北京理工大學出版社, 1992.

[ 4 ]曹小琴,高治源,周瑋媛. 用兩個正交拉丁幻方構造2n+1階完美幻方的一種簡便方法[J]. 寧夏大學學報(自然科學版), 2004,25(2):119-123.

[ 5 ]汪潘義. 偶數(shù)階幻方矩陣行列式的研究[J]. 合肥學院學報(自然科學版), 2010,20(1):23-26.

[ 6 ]歐陽錄. 最佳拉丁方與高級原幻方[J]. 數(shù)學理論與應用, 2001,21(3):22-28.

[ 7 ]俞萬禧. 20階正交拉丁方的構造[J]. 淮南工業(yè)學院學報, 2000,20(3):55-60.

[ 8 ]俞萬禧. 3t+1階正交拉丁方構造的新方法----圖表法[J]. 礦業(yè)科學技術, 2001,29(4):45-50.

[ 9 ]劉玉君. Turbo碼中幻方交織器的研究與設計[J].信息工程大學學報, 2006,7(4):291-395.

[10]祝寶滿,龔和林. 非素數(shù)階幻方的構造[J]. 數(shù)學的實踐與認識, 2008,38(15):207-214.

[11]陳劍南. 素數(shù)階均衡完美幻方若干問題初探[J]. 計算機工程與應用, 2005,45(21):179-182.

[12]姜偉,劉彥佩. 幾類4-正則平面圖的最小折數(shù)縱橫擴張[J]. 沈陽師范大學學報(自然科學版), 2007,25(2):129-134.

[13]歐陽錄. 幻方與幻立方的當代理論[M]. 長沙:湖南教育出版社, 2004.

Amethodofconstructingmagiccubesoforder2t+1

CHOUWanxi1,MENBo2

(1. School of Civil Engineering and Architecture, Anhui University of Science and Technology, Huainan 232001, China; 2. College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

The problem of magic cubes is introduced. The characteristics of equilibrium structure of magic cubes is clarified in this paper. The application value of magic cubes is pointed out by analyzing the reason of a ship sank. A method to construct 3t+1 order magic cubes is discovered. The basic procedure of constructing 3t+1 order magic cubes is described. The procedure of constructing 3t+1 order magic cubes is presented. According to this construction steps, the procedure of constructing 10 order magic cubes is given fort=3 and the corresponding rusults to each step is obtained. Finally, 10 magic cubes of 10 order magic cube is obtained and the enumeration problem of 3t+1 order magic cube is solved.

magic cubes; construction;enumeration proble

2017-05-16。

國家自然科學基金資助項目(11201313)。

侴萬禧(1930-),男,遼寧大連人,安徽理工大學教授。

1673-5862(2017)04-0461-05

O157

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.04.016