具阻尼項的二階Emden-Fowler型泛函差分方程的振動準則

楊甲山

(1.梧州學院 信息與電子工程學院， 廣西 梧州 543002; 2.梧州學院 復雜系統(tǒng)仿真與智能計算實驗室， 廣西 梧州 543002)

具阻尼項的二階Emden-Fowler型泛函差分方程的振動準則

楊甲山1，2*

(1.梧州學院 信息與電子工程學院， 廣西 梧州 543002; 2.梧州學院 復雜系統(tǒng)仿真與智能計算實驗室， 廣西 梧州 543002)

研究了二階變時滯Emden-Fowler型阻尼差分方程Δ[Anφ(Δyn)]+Bnφ(Δyn)+Qnf(Φ(xσn))=0(n≥n0)的振動性，其中yn=xn+Png(xτn)，φ(u)=|u|λ-1u，Φ(u)=|u|β-1u(這里λ>0，β>0為實常數). 利用廣義的黎卡提變換，結合其它數學分析方法， 獲得了該類方程的一系列新的振動準則，并給出了若干例子說明本文所得結果的有效性．

振動性; 中立型差分方程; 黎卡提變換; 阻尼項

隨著差分系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論在計算機科學、自動控制理論、經濟學、生物數學(特別是生物種群動力學)、物理學(特別是核物理)等自然科學和社會科學中的廣泛應用，其有關理論的研究顯得越來越重要，特別是差分方程的定性理論之一的振動性研究更是受到學者們高度關注[1-19].但值得注意的是，在這些研究中，對具有阻尼項的Emden-Fowler型差分方程研究卻很少[7-9].本文考慮如下一類具有非線性中立項的二階Emden-Fowler型阻尼泛函差分方程

Δ[Anφ(Δyn)]+Bnφ(Δyn)+Qnf(Φ(xσn))=0，

n≥n0，

(1)

的振動性，其中yn=xn+Png(xτn)，n0≥0為整數;φ(u)=|u|λ-1u，Φ(u)=|u|β-1u(這里λ>0，β>0為實常數);而{An}，{Pn}，{Bn}，{Qn}，{τn}，{σn}均為實數序列;函數f(u)，g(u)∈C(R，R)且滿足uf(u)>0(u≠0)，ug(u)>0(u≠0)．

關于方程(1)的解及其振動性定義，英文的可參見[1-2]，中文的可參見[6，10].本文只討論泛函差分方程(1)的非平凡解.記

(2)

并約定zn0=1. 假設:

(H3) 當u≠0時，f(u)/u≥L，g(u)/u≤η，其中L>0， 0<η≤1均為常數．

(H4)0≤Pn<1，Qn>0，且An>Bn≥0．

文獻[4]研究了方程(1)的特殊情形

Δ(pn|Δzn|λ-1Δzn)+qnf(xn-σ)=0

的振動性，這里zn=xn+pnxn-τ.但我們可以看到，若沒有假設λ≥1，其結果是不成立的．

文獻[5-6]分別研究了泛函差分方程

和

Δ(pn(Δ(xn+φ(n，xτn))γ))+qnfβ(xgn)=0

文獻[10-11]研究了差分方程

Δ[rn|Δzn|α-1Δzn]+qnf(xn-σ)=0

本文利用Riccati變換和均法，并借助大量不等式，獲得了方程(1)振動的一系列新的充分條件，擴充了α，β的范圍，推廣、改進且統(tǒng)一了文獻[4-13，15]中的一些結果，還糾正了文[6]中定理4的證明中的錯誤.考慮這種情形：

(C)

并引入下列二重序列，后面不再說明.稱二重序列{Hn，s:n≥s≥n0}屬于集合Ω，記為Hn，s∈Ω，如果

(i) 當n≥n0時Hn，n=0; 當n>s≥n0時Hn，s>0;

引理1設(H1)～(H4)及條件(C)成立，并設序列{xn}是系統(tǒng)(1)的一個最終正解，則有

yn>0，Δyn>0，ΔAn|Δyn|λ-1Δyn<0.

(3)

證明因為序列{xn}是系統(tǒng)(1)的最終正解，故可設當n≥N≥n0時，xn>0，xτn>0，xσn>0，于是yn>0.由方程(1)，并考慮到(H3)，則有

Δ[Anφ(Δyn)]+Bnφ(Δyn)≤-LQn(xσn)β<0.

(4)

利用(2)式，得

Δzn=zn+1-zn=

注意到上式及(4)式，于是就有

Δ[znAnφ(Δyn)]=

zn+1·Δ[Anφ(Δyn)]+Δzn·[An|φ(Δyn)]=

zn+1Δ[Anφ(Δyn)]+Bnφ(Δyn)<0，

(5)

這就是說znAnφ(Δyn)=zn(An|Δyn|λ-1Δyn)是單調減少的，且Δyn最終定號.由此可斷言:Δyn>0，n≥N．

若不然，則?n1≥N，使得Δyn1<0，因此

zn(An|Δyn|λ-1Δyn)≤

zn1(An1|Δyn1|λ-1Δyn1)=-M，n≥n1，

上式中的常數M=-zn1(An1|Δyn1|λ-1Δyn1)=zn1[An1|Δyn1|λ-1(-Δyn1)]>0.于是

由(4)式不難推出ΔAn|Δyn|λ-1Δyn<0，n≥N.證畢．

引理2[17]設X，Y為非負實數，則當r>1時rXYr-1-Xr≤(r-1)Yr，等號成立當且僅當X=Y．

1 方程(1)的振動準則

定理1設(H1)～(H4)及條件(C)成立，且存在一正的序列{ρn}使得當λ≥β≥1時

(6)

其中M>0為某常數，則方程(1)是振動的．

證明反設方程(1)存在一個非振動解{xn}，即xn>0，xτn>0，xσn>0，n≥N≥n0. 由于yn≥xn， 注意到條件(H1)及(3)式， 由序列{yn}的定義， 有

yn≤xn+ηPnxτn≤xn+ηPnyτn≤xn+ηPnyn，

即

xn≥[1-ηPn]yn.

(7)

定義變換

(8)

則wn>0(n≥N). 由引理1知Aσn(Δyσn)λ≥An(Δyn)λ≥An+1(Δyn+1)λ，所以

(9)

由于β≥1，利用不等式(見[13]的引理2)xβ-yβ≥21-β(x-y)β，x≥y≥0，得

Δ(yσn)β=(yσn+1)β-(yσn)β≥

21-β(yσn+1-yσn)β=21-β(Δyσn)β>0.

(10)

于是分別利用(4)， (10)和(7)式， 并注意到y(tǒng)σn≤yσn+1， 由(8)式進一步可得

Δwn≤-LρnQn(1-ηPσn)β+

(11)

由(11)式，并利用完全平方技巧，得

Δwn≤-LρnQn(1-ηPσn)β-

-LρnQn(1-ηPσn)β+

兩邊從n1到n求和，得

wn1-wn+1≤wn1，

這與(6)式矛盾! 證畢.

定理2設(H1)～(H4)及條件(C)成立，且ΔAn≥0，如果存在一正的序列{ρn}使得當λ≥β時

(12)

其中α>0為某常數，則方程(1)是振動的．

證明反設方程(1)存在一個非振動解{xn}，即xn>0，xτn>0，xσn>0，n≥N≥n0.定義序列wn同(8)式，則當n≥N時，wn>0．

當β≥1時，利用不等式(見[14]的定理41)xβ-yβ≥βyβ-1(x-y)，x≥y≥0，得

Δ(yσn)β=(yσn+1)β-(yσn)β≥

β(yσn)β-1(yσn+1-yσn)=β(yσn)β-1Δyσn.

(13)

于是， 分別利用(4)， (13)，(9)和(7)式，并注意到y(tǒng)σn≤yσn+1，由(8)式得

(14)

當0<β<1時，利用不等式(見[14]的定理41)xβ-yβ≥βxβ-1(x-y)，x≥y>0，得

Δ(yσn)β=(yσn+1)β-(yσn)β≥

β(yσn+1)β-1(yσn+1-yσn)=β(yσn+1)β-1Δyσn>0.

(15)

同樣，由于(9)式及yσn≤yσn+1，并分別利用(4)，(15)和(7)式，由(8)式得

即(14)式仍然成立.由引理1知，當n≥N時，

0>ΔAn|Δyn|λ-1Δyn=ΔAn(Δyn)λ=
ΔAn·(Δyn+1)λ+AnΔ(Δyn)λ，

注意到ΔAn≥0，所以Δ(Δyn)λ<0，即{(Δyn)λ}是非增的序列.因此，?n≥N，有(Δyn)λ≤(ΔyN)λ，即Δyn≤ΔyN.于是，yn≤yN+(n-N)ΔyN≤yN+nΔyN.故存在合適的正常數α，使得yn≤αn.由此可得，當n≥N時yσn+1≤ασn+1≤α(n+1)，進而

(yσn+1)(λ-β)/λ≤[α(n+1)](λ-β)/λ，n≥N.

因此(14)式即為

(16)

在引理2中，令

則由不等式rXYr-1-Xr≤(r-1)Yr可得

將上式代入(16)式，得

上式整理后，兩邊從N到n求和， 得

這與(12)式矛盾! 證畢.

定理3設(H1)～(H4)及條件(C)成立，β≥λ≥1，且存在正的序列{ρn}及二重序列Hn，s∈Ω，使得

(17)

在上面的式子中M>0為某常數，則方程(1)是振動的．

證明反設方程(1)存在一個非振動解{xn}，即xn>0，xτn>0，xσn>0，n≥N≥n0.定義序列wn同(8)式.類似地，由定理1的證明知(11)式成立，即

上式兩邊同乘以Hn，s， 然后從n1(n1≥N)到n-1(n>n1)求和，得

對上式右邊第一項分部求和，然后利用完全平方技巧，得

因此

由上式進一步可得

這與(17)式矛盾! 證畢．

注1當λ=β時，由定理1和定理3分別可得文[8]中的定理1和定理2．

定理4設(H1)～(H4)及條件(C)成立，且ΔAn≥0，λ≥β，如果存在正的序列{ρn}及二重序列Hn，s∈Ω，使得

∞，

(18)

式中,α>0為某常數，則方程(1)是振動的．

證明反設方程(1)存在一個非振動解{xn}，即xn>0，xτn>0，xσn>0，n≥N≥n0.定義序列wn同(8)式.類似地，由定理2的證明知(16)式總是成立，即

于是由上式可得

在引理2中，令

則由不等式rXYr-1-Xr≤(r-1)Yr可得

于是

即

wn1，

由上式即得

于是就有

∞，

這就與(18)式產生了矛盾! 定理證畢.

注2在[6]中，作者通過下面的不等式(見[6]的P322第16行)

(Δ2zn)γ=(Δzn+1-Δzn)γ≤

(Δzn+1)γ-(Δzn)γ<0，

此處,γ>1是兩正奇數之比，即Δ2zn<0得到了與定理4類似的定理([6]中的定理4).但上述不等式是錯的，它成立的條件是Δzn+1≥Δzn(見[6]中的(2.8)式)，這就與Δ2zn<0產生了矛盾.所以，我們的定理4不僅糾正了這個錯誤，而且定理2及定理4還進一步拓廣了γ的范圍．

推論1設(H1)～(H4)及條件(C)成立，且β≥λ≥1，如果

(19)

其中,M>0為某常數，則方程(1)是振動的．

推論2設(H1)～(H4)及條件(C)成立，且ΔAn≥0，λ≥β，如果

(20)

其中,α>0為某常數，則方程(1)是振動的．

再令Hn，s=(n-s)ω，ω≥1，n≥s≥n0，類似地，可得

推論3設(H1)～(H4)及條件(C)成立，且β≥λ≥1，如果存在正的序列{ρn}，使得

(21)

其中,M>0為某常數，則方程(1)是振動的．

推論4設(H1)～(H4)及條件(C)成立，且ΔAn≥0，λ≥β，如果存在正的序列{ρn}，使得

(22)

其中,α>0為某常數，則方程(1)是振動的．

注4當β=λ時，由定理3還可得到文[9]中的定理1.進一步，若方程(1)中的β=λ≥1是2個正奇數之商，且g(u)=u，τn=n-τ，Bn≡0，f(u)=u，σn=n-σ，則方程(1)簡化為

在這種情形下，推論3就是文[15]中的定理3.1. 因此，本文定理改進且推廣了文[15]中的幾個定理．

2 例子

例1考慮下列Emden-Fowler型時滯差分方程:

(23)

所以條件(H1)～(H4)及(C)顯然是滿足的.又因為ΔAn≥0，且

所以，由推論2知方程(23)是振動的．

例2考慮具非線性中立項的二階Emden-Fowler型阻尼泛函差分方程:

(24)

5=L(u≠0)，

∞，

顯然，條件(H1)～(H4)及(C)全部滿足.為了計算簡單，現在定理1中取ρn≡1，則

(n→∞)，

所以，由定理1知方程(24)是振動的．

注5顯然，文獻[4-13，15-19]等中的定理都不適用于方程(23)和(24)，因此本文所得到的結果是新的．

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Oscillationcriteriaforsecond-orderEmden-Fowlerfunctionaldifferenceequationswithdamping

YANG Jiashan1，2

(1.School of Information and Electronic Engineering， Wuzhou University， Wuzhou 543002, China; 2.Laboratory of Complex System Simulation and Intelligent Computing， Wuzhou University，Wuzhou 543002, China)

This paper is concerned with oscillations of second-order variable delay Emden-Fowler damped difference equations of the form Δ[Anφ(Δyn)]+Bnφ(Δyn)+Qnf(Φ(xσn))=0(n≥n0)，whereyn=xn+Png(xτn)，φ(u)=|u|λ-1u，Φ(u)=|u|β-1u(λ>0，β>0 are constants).By using the generalized Riccati transformation， averaging technique and mathematical analytic methods， some new oscillation criteria for the equations are proposed. Finally， some illustrating examples have also been provided to show the importance of these results．

oscillation; neutral difference equation; Riccati transformation; damping term

2016-11-08.

國家青年科學基金項目(61503171)；廣西省教育廳科研項目(2013YB223) ;碩士學位授予單位立項建設項目(桂學位[2013]4號);梧州學院校級科研重大項目(2014A003).

*E-mail: syxyyjs@qq.com.

10.19603/j.cnki.1000-1190.2017.06.001

1000-1190(2017)06-0723-08

O175.7

A