巖石非線性黏彈塑性蠕變模型研究

楊廣雨，王 偉，熊德發(fā)，馮曉偉

(1.河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210098；2.河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所，江蘇南京 210098)

巖石非線性黏彈塑性蠕變模型研究

楊廣雨1，2，王 偉1，2，熊德發(fā)1，2，馮曉偉1，2

(1.河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210098；2.河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所，江蘇南京 210098)

提出一種新的非定常粘滯系數(shù)的流變?cè)?，然后將提出的非線性流變?cè)M(jìn)到Poyting-Thomson模型中，從而建立了新的非線性黏彈塑性流變模型，該模型不但可以較好地模擬巖石蠕變?nèi)齻€(gè)階段，而且模型參數(shù)較少。推導(dǎo)出模型的本構(gòu)方程及蠕變方程，并探討了模型參數(shù)的辨識(shí)方法，最后利用本文建立的非線性流變模型所得到的理論曲線與砂巖蠕變?cè)囼?yàn)曲線進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明：本文建立的非線性流變模型具有較高的準(zhǔn)確性及合理性。

巖石流變；非線性元件；加速蠕變；飽依丁-湯姆遜模型

巖石流變是影響巖土工程長(zhǎng)期穩(wěn)定性的一個(gè)重要因素，在對(duì)巖石流變現(xiàn)象的模擬方法中，利用彈簧、滑塊及黏性元件模擬巖石蠕變現(xiàn)象是較為常用的方法，但是傳統(tǒng)的基本元件都為線性元件，只能模擬巖石蠕變的前兩個(gè)階段，即衰減階段和穩(wěn)定階段，無(wú)法模擬加速蠕變階段。因此，很多學(xué)者開始將非線性流變?cè)氲浆F(xiàn)有的流變模型中去以便能模擬巖石加速蠕變階段[1-11]。本文針對(duì)傳統(tǒng)的Poyting-Thomson模型無(wú)法模擬巖石加速蠕變階段的不足，通過(guò)引進(jìn)非定常黏滯系數(shù)的黏滯元件，建立了非線性流變模型，擬合結(jié)果表明本文建立的模型的正確性及可行性。

1 巖石非線性黏彈塑性流變模型

1.1 改進(jìn)的非線性流變?cè)澳Ｐ捅緲?gòu)關(guān)系

本文在熊良宵等[12]構(gòu)建的非線性流變?cè)幕A(chǔ)上通過(guò)改進(jìn)提出一種新的非定常黏塑性元件，該元件中的黏滯系數(shù)是與流變時(shí)間t有關(guān)的函數(shù)，改進(jìn)后的非線性流變?cè)疽鈭D見(jiàn)圖1。

圖1 本文使用的非線性流變?cè)﨔ig.1 The non-linear rheological component

改進(jìn)后的元件滿足以下應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

將上述改進(jìn)后的流變?cè)ㄏ聢D2的第1部分）與傳統(tǒng)的飽依丁-湯姆遜體模型（下圖2的第2部分）進(jìn)行串聯(lián)，從而可以得到新的非線性流變模型，見(jiàn)圖2。

圖2 本文建立的巖石非線性流變模型Fig.2 The nonlinear rheological model of rock

由于本文建立的模型的本構(gòu)關(guān)系受到應(yīng)力σs的影響，所以，需要根據(jù)應(yīng)力σ與σs關(guān)系來(lái)建立模型的本構(gòu)關(guān)系，由模型的性質(zhì)可知，需要分兩種情況來(lái)建立模型的本構(gòu)關(guān)系，第一種是當(dāng)σ ≤ σs時(shí)，第二種情況是當(dāng)σ ＞σs時(shí)。下面對(duì)這兩種情況分別推導(dǎo)其本構(gòu)關(guān)系。

當(dāng)σ ≤ σs時(shí)，此時(shí)由于滑塊受力小于摩擦阻力，滑塊無(wú)法滑動(dòng)，因此圖2的第一部分應(yīng)變?yōu)榱?，第一部分相?dāng)于一個(gè)剛體，對(duì)模型的本構(gòu)關(guān)系沒(méi)有影響，此時(shí)模型就變成傳統(tǒng)的飽依丁-湯姆遜模型。

當(dāng)σ ≤ σs時(shí)，模型的狀態(tài)方程為

式中：σEi(i=1，2)為對(duì)應(yīng)彈性元件所受的應(yīng)力，εEi(i=1，2)為對(duì)應(yīng)元件的應(yīng)變，εηi(i=1，2)為模型中對(duì)應(yīng)黏性元件的應(yīng)變，σηi(i=1，2)為模型中對(duì)應(yīng)黏性元件所受到的應(yīng)力，ηi(i=1，2)為對(duì)應(yīng)黏性元件的黏滯系數(shù)，ε時(shí)模型的應(yīng)變，ε·為模型的應(yīng)變率。

利用上述得到的(2)、(3)式，可以求得模型的本構(gòu)關(guān)系。

當(dāng)σ ≤ σs時(shí)，模型本構(gòu)關(guān)系為

當(dāng)σ ＞ σs時(shí)，模型的本構(gòu)方程為

1.2 非線性流變模型蠕變特性分析

為了探究建立的模型具有哪些流變特性，首先需要建立σ =σ0時(shí)的巖石流變方程，根據(jù)兩式，利用Laplace變換求解方程時(shí)，首先需要求解當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)的初始條件。當(dāng)t=0時(shí)，應(yīng)力狀態(tài)不同時(shí)，初始條件也是有差別的。下面分別給出當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)σ ≤ σs與σ ＞ σs的初始條件。

當(dāng)σ0≤ σs時(shí)，σ0為定常數(shù)，ε(0)為

當(dāng)σ0＞ σs時(shí)，σ =0，σ¨=0，

根據(jù)上述初始條件結(jié)合式，利用Laplace變換和逆變換可以求得模型的蠕變方程。

當(dāng)σ0≤ σs時(shí)，模型的蠕變方程為

當(dāng)σ0＞ σs時(shí)，模型的蠕變方程為

當(dāng)σ0≤ σs時(shí)，上式模型的蠕變方程(6)對(duì)t求一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)，由此可得

當(dāng)σ0＞ σs時(shí)，上式模型的蠕變方程(7)對(duì)t求一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)，由此可得

2 流變模型的試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 模型參數(shù)辨識(shí)方法

本文建立的非線性流變模型共有5個(gè)參數(shù)即E1、E2、η2、η1、a，這也是本文模型的一大優(yōu)點(diǎn)。文中建立的流變模型可以按照有無(wú)加速蠕變階段的條件分為穩(wěn)態(tài)蠕變（巖石蠕變只有前兩個(gè)階段）和不穩(wěn)態(tài)蠕變（巖石應(yīng)力超過(guò)σs，蠕變有三個(gè)階段），當(dāng)模型為穩(wěn)態(tài)蠕變時(shí)，采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)擬合，參數(shù)擬合的效果往往較好。當(dāng)巖石蠕變類型為不穩(wěn)態(tài)蠕變時(shí)，直接用最小二乘法來(lái)參數(shù)擬合的效果往往不滿足要求。所以本文使用流變曲線分解法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，根據(jù)巖石試驗(yàn)曲線的特點(diǎn)，辨識(shí)出加速蠕變的臨界時(shí)間tc，在tc之前，模型用最小二乘法求得模型中的E1、E2、η2、η1，然后用得到模型做出在tc之后的理論蠕變曲線，將巖石蠕變?cè)囼?yàn)曲線與得到的理論曲線做差得到差函數(shù)φ(t)，然后，將差函數(shù)φ(t)與時(shí)間t作冪指函數(shù)擬合，從而求得模型參數(shù)a，至此，模型中的全部參數(shù)均已求出。

2.2 模型驗(yàn)證

本文是通過(guò)引用王偉等[12]砂巖流變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證模型是否正確合理，該砂巖的分級(jí)加載流變?cè)囼?yàn)曲線見(jiàn)下圖3。

圖3 砂巖分級(jí)加載流變?cè)囼?yàn)曲線Fig.3 The rheological test curve in the conditon of sandstone graded load

根據(jù)圖3可知，當(dāng)對(duì)砂巖施加第一級(jí)荷載時(shí)，砂巖產(chǎn)生了瞬時(shí)的彈性變形，在荷載小于150 MPa之前，在每一級(jí)荷載條件下，砂巖的應(yīng)變率逐漸趨于一個(gè)大于零的定常值。當(dāng)荷載大于150 MPa時(shí)，砂巖的應(yīng)變率趨于無(wú)窮大，此時(shí)砂巖發(fā)生加速蠕變破壞。

在本文建立的非線性流變模型的基礎(chǔ)上，引進(jìn)王偉等[13]砂巖流變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)，當(dāng)施加的荷載小于150 MPa時(shí)，利用最小二乘法進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)，當(dāng)荷載大于等于150 MPa時(shí)，利用上節(jié)介紹的流變曲線分解法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。經(jīng)過(guò)曲線擬合可得該模型在每級(jí)荷載條件下的參數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 流變模型參數(shù)擬合結(jié)果Tab.1 The parameter fi tting results for Rheological model

根據(jù)表1得到的模型參數(shù)，帶入到理論公式里，然后將理論流變曲線與砂巖流變?cè)囼?yàn)曲線進(jìn)行對(duì)比分析，對(duì)比結(jié)果見(jiàn)下圖4。

圖4 砂巖流變?cè)囼?yàn)曲線與模型理論曲線對(duì)比圖Fig.4 Comparison chart of rheological test curve and model theory curve of sandstone

根據(jù)圖4 的對(duì)比曲線可知本文建立的非線性流變模型不僅可以很好地反映巖石蠕變前兩個(gè)階段，也能夠較好地模擬巖石加速蠕變階段，從而證明了本文建立的非線性流變模型的正確性。

3 結(jié)論

1）使用改進(jìn)的非線性流變?cè)?，建立了新的飽依?湯姆遜模型，推導(dǎo)了其本構(gòu)方程及蠕變方程，分析了流變模型的非線性流變特性，當(dāng)σ0≤ σs時(shí)，本文建立的模型可以反映巖石蠕變的前兩個(gè)階段，當(dāng)σ0＞σs時(shí)，非線性流變模型可以較好的模擬巖石蠕變?nèi)^(guò)程。

2）將模型得到的理論蠕變曲線與砂巖流變?cè)囼?yàn)曲線進(jìn)行對(duì)比分析，兩者的曲線比較吻合，這表明了本文建立的非線性流變模型的正確性。

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Study on nonlinear viscoelasto-plastic creep model of rock

YANG Guangyu1，2，WANG Wei1，2，XIONG Defa1，2，F(xiàn)ENG Xiaowei1，2
(1.Key Laboratory of Ministry of Education For Geotechnical & embankment Engineering，Hohai University，Nanjing 210098，China；2.Geotechnical Research Institute，Hohai University，Nanjing 210098，China)

In this paper，a new rheological component with unsteady viscous coef fi cient is proposed，then connecting the proposed nonlinear rheological component with the Poyting-Thomson model，a new nonlinear viscoelastic-plastic rheological model is established. The model can not only simulate the three stages of rock creep，but also has less model parameters. In this paper，the constitutive equation and creep equation of the model are deduced，and the identi fi cation method of the model parameters is discussed. Finally，the theoretical curves obtained by the nonlinear rheological model established in this paper and the sandstone creep test curves is compared and analyzed. The results show that the nonlinear rheological model established in this paper has good accuracy and rationality.

rock rheology；nonlinear component；accelerative creep；Poyting-Thomson model

TU43

A

1673-9469（2017）04-0023-04

10.3969/j.issn.1673-9469.2017.04.006

2017-07-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11672343，51679069)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2016B20214)

楊廣雨(1993-)男，河南駐馬店人，碩士，從事巖石力學(xué)與工程方面的研究。