認知負荷理論視角下的勾股定理教學課件設計

李 爽 王光明

(天津師范大學教師教育學院 300387)

勾股定理的證明方法據(jù)說超過400種，而且不同的方法與不同的文化、不同種族的思維方式緊緊聯(lián)系在一起.[1]通過歸納、整理，可以將勾股定理證明方法分為：以歐幾里得《幾何原本》為代表的演繹法；以趙爽弦圖為代表的變換法；以及以伽菲爾德“總統(tǒng)方法”為代表的代數(shù)法等.通過對多種勾股定理證明方法的教學及其思想方法的比較，拓寬學生的視野，加深學生對勾股定理知識的理解，使其學會對知識的靈活運用.在“人教版”八年級下冊數(shù)學教科書中，例題中利用趙爽弦圖方法證明勾股定理，并在“閱讀與思考”板塊中對勾股定理的其他證明方法做了簡單介紹.但在實際教學中，對勾股定理證明方法的教學形式單一，只講解一種證明方法，或是在講解兩者以上證明方法時，并沒有講解各證明方法之間的聯(lián)系.[2-8]從而導致學生沒有從多個視角去理解勾股定理的含義；或是由于沒有深刻理解，對公式進行機械記憶.在教學中，如何才能讓學生掌握勾股定理，并對勾股定理的內容產(chǎn)生興趣，這一問題值得深思.認知負荷理論者特別關注如何通過教學設計來降低學生學習過程中的外在認知負荷，由此也可以看出教學設計的重要性.這里將基于認知負荷理論，著重介紹變換法中勾股定理的兩種常見證明方法——趙爽弦圖證明方法以及畢達哥拉斯證明方法(或稱辛卜松證明方法)，對其進行教學課件設計，提出教學指導建議.就如何加深、拓展學生對勾股定理的理解作進一步的探討.

1 理論基礎

認知負荷理論(Cognitive Load Theory)是由澳大利亞教育心理學家John Sweller等人于20世紀80年代末90年代初提出,[9-11]認為人的認知資源(工作記憶)容量是有限的，主張在學習過程中內在認知負荷、外在認知負荷和相關認知負荷的總量應該限制在工作記憶容量的范圍之內，否則學習就會受到阻礙，甚至無法繼續(xù)進行下去.

1.1 內在認知負荷

內在認知負荷(Intrinsic Cognitive Load)取決于學習材料的復雜程度和學生本身已有的認知圖式.如果學習材料的復雜程度很高，但學生缺乏這一領域的先驗知識，在加工信息時必定會產(chǎn)生較高的內在認知負荷.由于內在認知負荷取決于學習材料的性質及學習者的經(jīng)驗水平，反映了獲得某種圖式所必須的同時在工作記憶中加工的信息元素的量，所以在既定學習條件下，較難改變.Sweller等人認為，盡管內在認知負荷對教師來說可能無能為力，但對學生來說，這可以通過兩種方式來降低：一是圖式的建構把原本獨立的若干元素組織成一個單一元素；二是圖式的自動化，信息加工從受控加工轉向自動加工，從有意識的努力轉向無需有意注意，因而也能夠降低工作記憶負擔.

1.2 外在認知負荷

外在認知負荷(Extraneous Cognitive Load)主要是由于不恰當?shù)慕虒W設計所致，可以通過優(yōu)化學習材料的呈現(xiàn)形式來控制外在認知負荷.外在認知負荷是由與學習過程無關的活動引起的，不是學習者建構圖式所必須的，因而又稱無效認知負荷(Ineffective cognitive load).認知負荷理論者認為，外部認知負荷主要由教學設計引起，如果學習材料的設計和呈現(xiàn)方式不當，就容易給學生帶來較高的外在負荷，干擾其學習.

1.3 相關認知負荷

相關認知負荷(Germane cognitive load)指：如果認知任務要求較低(帶來的內在認知負荷較低)，使得學習者還有充分的認知資源可用，這時他就可以投入額外一些認知資源來促進圖式的建構.這種在建構圖式時不是必須但投入后又有利于圖式建構的認知負荷.教學設計的本質就是把外在認知負荷向相關認知負荷轉變.

多媒體作品中，適當?shù)男畔⒊尸F(xiàn)方式在降低外在認知負荷的同時，還會提高學習者的注意力、興趣和動機，從而增加相關認知負荷.這里重點探討以減少外在認知負荷為目的的勾股定理證明PPT教學設計，加深學生對勾股定理的理解.

2 勾股定理PPT教學設計過程

趙爽弦圖證明方法(如圖1)以及畢達哥拉斯證明方法(如圖2)是勾股定理比較常見的兩種方法，“人教版”課本中對兩種證明方法進行分開呈現(xiàn)，但在教學過程中建議對兩者進行一起教學.

圖1 趙爽弦圖證明方法

圖2 畢達哥拉斯證明方法

圖3

設計意圖兩種證明方法在過去的教學中都是進行分開、個別教學，并沒有講解兩者之間的關系，建議在教學過程中對兩者進行一起教學.從代數(shù)、幾何兩種角度來分析兩者之間的關系：從代數(shù)角度看，這兩個證明的表達式非常接近，趙爽弦圖證明方法中第一個表達式為：c2等于小正方形的面積加上四個全等直角三角形的面積，畢達哥拉斯證明方法中第一個表達式為：c2等于大正方形的面積減去四個全等直角三角形的面積；從幾何角度看，雖然兩個圖形從外表觀察有差異，但是通過仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，它們都是以斜邊c為基準，畢達哥拉斯證明方法是內接直角三角形，構造出c2；趙爽弦圖證明方法是外接直角三角形，構造出c2.勾股定理不僅是代數(shù)問題而且是幾何問題，在以往教學中教師很少讓學生感知在圖形移動中圖形與代數(shù)推演過程的關系，建議把兩種證明方法一起教學，用數(shù)形結合的方法讓學生感知勾股定理，提高思維整合能力.

并且，課件展示兩種證明方法可以拼接在一起(如圖3)，加深學生對勾股定理的理解，這樣在同一思維下，兩個證明變得相關且有意義，突出教學課件的溝通性，同時增加學生對勾股定理的學習興趣.在勾股定理課件制作過程中，教師要善于對課件中呈現(xiàn)的信息進行合理地分割、分塊，利用圖像與聲音相結合，讓學生做到“眼到、耳到、感覺隨之就到”.[12]

2.1 趙爽弦圖證明方法

趙爽弦圖證明方法：以斜邊c為基準，內接直角三角形，構造c2.

第一步：在對圖形進行移動之前，先把原圖復制一份(如圖4①).

第二步：把復制圖形中所有字母去掉(如圖4②)，并對復制圖形進行步驟化移動：把上方三角形下移(如圖4③)，右邊三角形左移(如圖4④)，為了避免線條對視覺的干擾，去掉線條邊框(如圖4⑤).移動后得到兩個正方形，把得到的兩個正方形邊框加粗(如圖4⑥)，其邊長分別為a和b(如圖4⑦).

① ② ③ ④

⑤ ⑥ ⑦圖4

第三步：把原圖與復制圖形中多余的信息去掉，得到對應面積分別為c2和a2、b2(如圖5).

圖5

第四步：教師引導學生得出勾股定理：c2=a2+b2.

設計意圖在過去的教學當中，對圖形進行移動時，通常是在原圖中進行移動，移動過程中會造成原來圖形的改變，學生需要在工作記憶中保存先前呈現(xiàn)信息的表象表征，增加了認知負荷.為了避免這一現(xiàn)象的產(chǎn)生，在對圖形進行移動時，可以先對原圖進行復制，在復制圖形中進行移動.使學生記得原來圖形的形狀，以便于學生在頭腦中對圖形進行信息加工.然后，利用步驟化呈現(xiàn)的方式對圖形進行移動.通過引導性的移動，增強連結性，有助于學生對學習材料的組織與加工.外部信息分步驟進入學生已有知識系統(tǒng)，先前學習的知識片段作為后面學習知識片段的生長點，最后在認知結構中重新構成整體，從而減少學生的外在認知負荷.[13]通過移動可以看出，移動后的圖形(圖4⑤)與原圖中第二步代數(shù)式的意義相同：c2等于一個小正方形的面積加上兩個長方形的面積，使圖形移動與代數(shù)展演過程一一對應.以圖導文，增強學生對圖像的理解.

這樣移動的妙處在于，通過移動可以得到兩個正方形，把兩個正方形的邊框加上.其中一個正方形的邊長為b，另一個正方形的邊長為a.為了更加清晰地突出圖形之間的關系，將多余信息刪除.[14]從而得到c2=a2+b2.圖形展示完后，再讓學生觀看圖4⑦，讓學生感知原圖與復制圖形之間的關系.在此課件制作過程中，注意同一圖形在每頁課件中的位置不變，使選取組織耗用的認知資源降低，減少視覺對圖形位置改變的處理，避免分散注意力.

2.2 畢達哥拉斯證明方法

畢達哥拉斯證明方法：以斜邊c為基準，外接直角三角形，構造c2.

第一步：同理，在對圖形進行移動之前，先把原圖復制一份，并把復制圖形中所有字母去掉(如圖6①).

第二步：對復制圖形進行步驟化移動：把上方三角形下移(如圖6②)，左邊三角形上移(如圖6③)，右邊三角形左移(如圖6④).移動后得到兩個正方形，邊長分別為a和b(如圖6⑤)，面積對應為a2、b2(如圖6⑥).

① ② ③

④ ⑤ ⑥圖6

第三步：把原圖與復制圖形中多余的信息去掉，得到對應面積分別為c2和a2、b2(如圖7).

圖7

第四步：教師引導學生得出勾股定理：c2=a2+b2.

設計意圖同理，利用步驟化呈現(xiàn)方式對圖形進行移動.通過移動可以看到，移動后的圖形6④與第二步代數(shù)式的意義相同：c2等于大正方形的面積減去兩個長方形的面積.移動后可以得到兩個正方形，它們的邊長分別為a和b，面積分別對應為a2和b2.原圖與移動后的圖形中四個三角形的面積是相等的，除了三角形面積之外，剩下的正方形面積是什么關系呢？通過構造這兩個正方形，得出c2與a2、b2之間的關系.為了避免產(chǎn)生干擾，同樣可以刪除多余信息，得出c2=a2+b2.圖形展示完后，再讓學生觀看圖6⑥，讓學生感受它們之間的關系.

通過這兩種證明方法，讓學生很好地感知勾股定理的含義：在直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.認知負荷理論視角下的勾股定理教學課件設計，通過感覺記憶、工作記憶和長時記憶這三種記憶模式相互結合對各種信息進行處理.但是工作記憶的容量是有限的，一次最多只能存儲7±2條基本信息或信息組塊.如果同時進入工作記憶的信息組塊數(shù)量超過這一限制，記憶容量超出負荷，導致信息加工活動受阻或根本無法有效展開.這就要求教師在進行勾股定理教學時，不宜一次呈現(xiàn)過多信息，對重要信息進行突出、強調.同時，工作記憶對于新知識信息的保存時間也較短，大約1—2分鐘，新信息只有得到進一步地加工進入長時記憶，才可以長期保留.依據(jù)這一原理，在勾股定理教學中，要有效組織兩種方法同時教學，鞏固新信息進入長時記憶，長時記憶內容的變化則標志著持久意義上的學習的發(fā)生.通過這樣的教學，才能讓學生真正理解勾股定理的含義，及其勾股定理體現(xiàn)的多元數(shù)學文化，使學生的認知活動達到自動化，彌補個體學習者工作記憶容量有限的缺點，降低工作記憶的負荷總量.[15]

3 勾股定理課件中設計原則的體現(xiàn)

基于認知負荷理論，勾股定理的教學課件中體現(xiàn)出以下設計原則.

3.1 簡潔明了

在制作課件過程中，盡量減少符號的使用，避免冗余信息對學生視覺的干擾，減少進入工作記憶的信息組塊數(shù)量.體現(xiàn)了認知負荷理論的冗余原則.[16]例如在勾股定理課件制作中，先畫一個直角三角形，標出它的每條邊分別為a、b、c.在畫趙爽弦圖證明方法以及畢達哥拉斯證明方法時，可以不用把每一個直角三角形的各邊長都標示出來，這樣可以使畫面更加干凈，整潔.避免冗余信息對學生視覺的干擾.

3.2 同時呈現(xiàn)

在有多種信息來源的情況下，學習者的注意力會分散到不同來源的多種信息上.課件制作過程中，相互提及的信息資源在空間和時間上應當相互接近，才能達到好的教學效果.體現(xiàn)了認知負荷理論的注意力分散原則.[17]勾股定理教學課件設計中，數(shù)形結合，兩種證明方法同時教學，有助于學生思維的整合，并且讓圖形移動與代數(shù)推演過程一一對應，通過對圖形的理解，讓代數(shù)生義.以圖導文，增強對圖像的理解.

3.3 雙管齊下

混合視聽模式比單一模式呈現(xiàn)信息更有可能增加有效工作記憶容量，降低認知負荷.體現(xiàn)了認知負荷理論體現(xiàn)通道原則.[18]也就是說，當僅采用一種通道加工信息時，如果需求超載，負擔過重，可以讓其他通道也參與進來，來共同分擔處理其中某些信息.

PPT課件中常采用文字和圖片來呈現(xiàn)信息，由于二者都作用于視覺通道，同時呈現(xiàn)易導致視覺通道認知超載.此時，如果將文本轉變?yōu)榍‘數(shù)难哉Z講解，可以減少學生視覺的分散，能夠集中注意力.在勾股定理課件制作中，盡量減少文字的呈現(xiàn)，運用恰當?shù)难哉Z講解，可以減少學生視覺通道的負荷.

3.4 重點突出

在課件制作的過程中，每頁課件的重點要突出，增強刺激，其余信息要淡化、弱化，避免不必要的刺激對學生視覺的干擾.體現(xiàn)了認知負荷理論體現(xiàn)的形式原則.[19]在勾股定理課件制作當中，淡化不必要的信息，減少視覺上的刺激，從而突出此頁課件中要表達的思想.

3.5 位置固定

同一圖形出現(xiàn)在連續(xù)幾張課件中時，圖形位置應固定不變，避免注意力的分散.體現(xiàn)了認知負荷理論的一致性原則.[19—21]在課件播放過程中，學生比較容易關注動態(tài)的圖形，位置發(fā)生改變，使相鄰兩頁課件產(chǎn)生振動效果，不利于學生注意力的集中.勾股定理課件制作過程中，同一圖形出現(xiàn)在連續(xù)幾張課件中時，圖形位置應固定，減少視覺對圖形位置改變的處理，降低視覺產(chǎn)生的認知負荷.

3.6 步驟化呈現(xiàn)

利用課件對所學知識進行呈現(xiàn)時，要進行步驟化呈現(xiàn)，讓學生親歷知識形成過程，激發(fā)學生數(shù)學學習興趣.體現(xiàn)了認知負荷理論的分割原則.[22]在信息爆炸的時代，教師在教學當中往往通過各種教學輔助軟件給出一個完整的圖形，缺乏步驟化呈現(xiàn)，導致學生不能很好地領會知識的形成過程并對問題進行深入思考，缺乏對所學知識的深刻理解.勾股定理課件設計中，對圖形進行移動時，采用步驟化呈現(xiàn)方式，通過圖形逐步引導學生對代數(shù)式的理解，有助于學生對學習材料的組織與加工，減少外在認知負荷.

在對勾股定理證明方法的教學中，基于認知負荷理論，著重對知識的整合教學，數(shù)形結合，將圖形移動與代數(shù)推演過程一一對應，讓代數(shù)產(chǎn)生意義，使學生容易理解.通過兩者之間的整合教學，理解兩者之間的聯(lián)系，并增強了數(shù)學學習的趣味性.勾股定理及其證明作為多元文化數(shù)學教育的極好題材，在今后的研究中，有必要將各種方法之間的區(qū)別和聯(lián)系進行一定的梳理，潛心創(chuàng)造優(yōu)秀的數(shù)學 PPT 教學課件，然后呈現(xiàn)在數(shù)學課程和數(shù)學教學中，以期加強學生對勾股定理的理解，為促進課堂的有效教學而努力.

致謝：感謝臺灣交通大學陳明璋老師對本文的指導與提供的幫助.