創(chuàng)設(shè)放縮情境 實(shí)施恰當(dāng)放縮

張才元

(重慶市巴川中學(xué)校(新高中) 402560)

在為學(xué)生復(fù)習(xí)過程中，筆者遇到許多學(xué)生，他們一聽說用放縮法證明不等式就望而生畏，一碰到用放縮法證明數(shù)列不等式就望題興嘆.其實(shí)不然，從放縮法的本源性分析，放縮是很好理解的，也是很有趣的.所謂“放縮法”，就是放大或縮小的方法：兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，若a>b，則從a到b就是縮?。环粗?，從b到a就是放大；對(duì)a

1 創(chuàng)設(shè)放縮情境

例1已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=3，點(diǎn)(an,an+1)在直線3x-y=0上，

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解(Ⅰ)由題設(shè)，求得a1=1,a2=2，猜想an=n.

所以an+1=n+1. 因此，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n.

反思由求和公式13+23+33+…+n3=

例3已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,Tn=S2n-Sn.

(Ⅰ)求證：Tn+1>Tn；

分析由遞推式易得bn、Sn、Tn的表達(dá)式，聯(lián)想比較法證得(Ⅰ)，由(Ⅰ)確定Tn單調(diào)遞增.根據(jù)題設(shè)聯(lián)想通過累加公式S2n=(S2n-S2n-1)+(S2n-1-S2n-2)+…+(S2-S1)+S1用Tn表示S2n，再運(yùn)用Tn的單調(diào)性創(chuàng)設(shè)縮小情境.

所以Tn+1>Tn.

(Ⅱ)n≥2?S2n=(S2n-S2n-1)+(S2n-1-S2n-2)+…+(S2-S1)+S1=T2n-1+T2n-2+…+T2+T1+S1.

由(Ⅰ)知Tn單調(diào)遞增，從而T2n-1≥T2n-2≥…≥T2，

所以S2n=T2n-1+T2n-2+…+T2+T1+S1

證明因?yàn)?Sn=4an-2n+1+2

?3Sn=4(Sn-Sn-1)-2n+1+2

?Sn=4Sn-1+2n+1-2，

設(shè)Sn+p·2n+q=4(Sn-1+p·2n-1+q)，

則Sn=4Sn-1+p·2n+3q,

證明當(dāng)n=1時(shí)，|xn+1-xn|=|x2-x1|

分析由題設(shè)知，求證不等式屬于函數(shù)不等式.因此，構(gòu)造函數(shù)并由函數(shù)的單調(diào)性來創(chuàng)設(shè)縮小情境.

反思構(gòu)造函數(shù)h(x)=x3-[x2-ln(x+1)]

后求導(dǎo)證明該函數(shù)單調(diào)遞增，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性實(shí)施縮小得h(x)>0，再用換元法實(shí)現(xiàn)不等式的證明.

(Ⅰ)an>an+1>2；

綜上所述，創(chuàng)設(shè)放縮情境常用的方法有比較法、累加法、累乘法、遞推法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法、待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)法等；除此之外，還常用不等式的性質(zhì)、二項(xiàng)式定理、真(假)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等來創(chuàng)設(shè)放縮情境.

2 實(shí)施恰當(dāng)放縮

用放縮法證明不等式時(shí)，創(chuàng)設(shè)放縮情境既重要又關(guān)鍵，但實(shí)施恰當(dāng)放縮同樣重要和關(guān)鍵.

因此，運(yùn)用放縮法時(shí)，放縮程度越小，精確程度越高.在運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)，要盡量避免犯“放量過頭”和“縮量過度”的策略性錯(cuò)誤，做到恰當(dāng)放縮，要做到恰到好處的放縮，就要盡量縮小放縮程度，提高放縮精度.

教學(xué)實(shí)踐表明，用放縮法證明不等式時(shí)，“創(chuàng)設(shè)放縮情境，實(shí)施恰當(dāng)放縮”是學(xué)生復(fù)習(xí)過程的兩個(gè)難點(diǎn)，也是學(xué)生望而生畏、望題興嘆的根本原因.在復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，我們針對(duì)具體問題作具體分析，對(duì)具體問題師生互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生與教師一道共同探究，認(rèn)真分析題設(shè)中不等式的結(jié)構(gòu)形式，聯(lián)想相關(guān)知識(shí)和方法來“創(chuàng)設(shè)放縮情境，實(shí)施恰當(dāng)放縮”.并反思創(chuàng)設(shè)放縮情境和作出恰當(dāng)放縮的關(guān)鍵點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從具體問題中歸納常用的放縮方法和放縮不等式(限于篇幅，常用放縮不等式不贅述)，就能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生克服困難的勇氣和決心，使學(xué)生順利度過難關(guān)，取得好的復(fù)習(xí)效果.