數學學習就是一場深度對話

張格波

(南京市江寧高級中學 211100)

人們通過對話實現信息的傳遞、思想的交流和情感的表達．就這個角度而言，我們可以認為數學學習就是老師與學生、學生與學生之間的深度對話．通過深度對話，可以讓學生經歷表達一步步完善的過程；通過深度對話，可以讓學生的思考層層深入，逐步抓住本質；通過深度對話，可以讓數學課堂充分發(fā)揮出自己的教育價值．本文試借助于蘇教版《函數周期性》的教學過程，闡述筆者的理解．

1 數學學習就是深度對話

事實上，由于各個學生的生活經歷、體驗都不相同，關于周期現象的前概念也不相同，因此即使面對相同的情景，他們說出的理解也不相同．這樣恰好為多角度地理解周期現象提供了可能，教師通過不斷的追問：還可以怎么看？使得學生不斷轉換思路，在不斷的對話中，學生對周期現象的理解走向了深入，逐步完成對函數周期性概念的建構．以下是對話的片段．

1.1 還可以怎么看？——引領對話走向深入

教學環(huán)節(jié)1：展現周期現象與周期函數圖像

1)周期現象很多：時針、天干、地支、屬相、寒來暑往、潮起潮落等．山海關城門對聯刻畫的也是這種現象：海水朝 朝朝朝 朝朝朝落；浮云長 長長長 長長長消．

2)函數作為對實際生活的一種數學表達，也具有周期性，比如正余弦函數．

3)問題：這些現象有何共同的特點？

學生1：很多出現了重復．

師：什么意思？

學生1：有些現象一段一段地出現了重復．

師：什么是一段一段地出現重復？

學生1：……

師：還可以怎么看？

學生2：周而復始．

師：好，一句話高度概括，簡潔明了，抓住了關鍵．

師追問：周而復始中的關鍵詞是什么？

學生2：周，就是間隔；復，就是重復，再次出現．

師追問：很好，能否說得更加具體呢？比如周是一個間隔，它具有何種特征？

學生3：它是固定的，不變的．

師：什么意思？相對誰不變？

學生3：相對于整個變化過程是不變的，也就是說它是一個常數，常量．

師追問：很好，周是一個常量，常數．還能認識到其它特征吧？

學生4：它不能等于零，等于零沒有意義．

師追問：大家的認識越來越深入，還可以認識到什么？

學生4：周的整數倍還是周，比如海水漲潮，一天是周期，一月也是周期，整數倍都是周期．

師：他的結論正確嗎？大家都是這樣認識的？

學生(眾)：是的．

師：看另一關鍵詞：復，還可以進一步地理解吧？比如，是什么在重復？是怎樣重復的？

學生5：是某種現象，全部重復出現．

師追問：進一步解釋清楚，對函數來說：1)你這里“全部”什么意思？2)是什么在重復？

學生5：所有函數值都重復．就是說，所有函數值每間隔一個周期后，就重復一次．

師：好，我們將剛才的結論匯總一下，填寫在這張表中再來體會一下．

周期現象關于周的認識關于復的認識周是什么?誰在重復?怎樣重復?潮起潮落寒來暑往正弦函數余弦函數

評析在此教學環(huán)節(jié)中，教師通過展現生活中的周期現象與熟悉的周期函數圖像，激活學生原有的生活經驗與前概念；通過在師生之間、生生之間的對話讓學生形成了整體的、模糊的、粗略的認識——周而復始．在這個過程中間，我們發(fā)現口頭語言其實是學生數學思維外顯的載體．讓學生“對話”，就是讓學生通過語言表達他們的思維．

1.2 這可以作為一般性的判斷依據嗎？——在質疑中，抓住本質

學生6：雖然我們畫不出它的圖像，但我們還是可以判斷出它是周期函數．

師：為什么呢？

師：這能作為一般性的判斷依據嗎？外函數是周期函數的時候，原函數就是周期函數？

學生：……

師：前面的經驗是什么？這個函數有“周而復始”的現象嗎？

師：你怎么就看出來函數值相等的？

學生7：計算后發(fā)現的．

師：我想問的是，你怎么想到去看函數值是否相等的？

師追問其他人：他的判斷方法能作為一般性的判斷依據嗎？

學生8：不行，他列舉的只是一些特例，不能說明所有都有這種特征．

學生7：我找不到反例．

師：找不到反例，說明這個函數可能真的是周期函數，但如何進行一般性的說明呢？

學生7：……

學生9：我想起來了，這個函數是周期函數，周期就是2π．

師：怎么說？

日語形容詞“旨い”可表示多個義項，如①表示美味，香甜，好吃，飲食物的味道好；②好，巧，善于，順利。對自己有利，自己所期望的狀態(tài)；③用于慣用句“旨い汁を吸う”中表示揩油，占便宜，不勞而獲，自己不付出辛苦而得到利益等。④用于慣用句“旨い話し”中表示有利可圖的事情，條件合適和非常方便的事。對于日語形容詞的多個義項現象，學者們進行過較充分的研究。例如，武藤(2001)從認知語言學視角出發(fā)，分析了形容詞“甘い”的語義拓展方式，指出其各個義項并非彼此孤立存在而是相互關聯，拓展義基本上都是通過隱喻或轉喻等認知機制對原型義進行的拓展。本文將以“旨い”的多個義項為基礎，通過考察其后續(xù)名詞的詞性來進行分析。

師：沒有反例？每個人都這樣認為的？

學生10：沒有反例，上述等式中的自變量可以是任意的，即它是一個恒等式．

學生11：周期還可以改為π．因為

師：其他人的認識呢？有不同意見嗎？

學生：……

師：受此啟發(fā)，回頭看，能否從恒等式的角度來說明y=sinx，(x∈R)是周期函數呢？

學生12：能，因為sin(x+2π)=sinx，所以y=sinx，(x∈R)是周期函數，周期是2π．

師(追問)：那函數y=cosx，(x≠π)是周期函數嗎？

學生12：是，因為cos(x+2π)=cosx，所以y=cosx是周期函數，周期也是2π．

師(追問)：其他人的認識呢？有不同意見嗎？

學生13：不對，它不是周期函數．因為cos(-π)=cosπ，但x≠π，也就是說有一個點無法被重復，因此它不應該是周期函數．

師(追問)：那將函數y=cosx，(x≠π)的定義域怎樣修改，又變成了周期函數呢？

學生(眾)：去掉限制，定義域改為R．

師(追問)：還可以怎樣呢？

學生：……

學生14：把那一串都去掉，改為y=cosx，(x≠kπ，k∈Z)．

師(追問)：為什么呢？

學生14：這樣就沒有反例，也就是說cos(x+2π)=cosx，對定義域任意自變量恒成立．

師(總結)：所以說，周而復始，是指所有函數值都要重復，就是等式要恒成立．

評析在本教學環(huán)節(jié)中，教師通過讓學生判斷一個暫時畫不出圖像的函數是否是周期函數，逼著學生從抽象的解析式這個角度來研究周期性．這樣，學生就必須要想辦法實現用符號化的代數恒等式來刻畫“周而復始”．在學生尋找辦法的過程中，教師反復用“這能作為一般性的依據嗎？”、“其他人的認識呢？有不同意見嗎？”、“為什么？”引導發(fā)言者表述自己的思維過程，同時也引導其他學生去理解、去質疑別人的表述，從而使得所有學生深入理解．因此，“對話”不僅僅意味著讓學生講出不同的想法給他人聽，更重要的是要在理解他人的想法中做出比較和判斷．實際上學習就是在一個群體中互動的體驗過程，就是一個具有“社會協商”性質的主動建構過程[1]．

1.3 我們都知道了什么？——在概括中建立概念，形成理性思維意識

師：從上述過程來看，關于周期函數，我們都知道了什么？

學生11：就是周而復始，其中“周”是一個常數，不能為零，它的整數倍也是周期；“復”就是函數值出現重復，就是自變量增加周期后，函數值不變．

師：還有補充的嗎？

學生12：要全部重復，即自變量要能取遍定義域內的每一個值．

師：很好，那么一般地，函數y=f(x)要滿足什么條件才能是周期函數呢？

學生13：滿足f(x+T)=f(x)恒成立，其中T是一個非零常數即可．

師：很好，在尋找周期函數的本質特征的過程中，你有什么收獲？

學生14：透過現象抓本質．

師：具體一點呢？

學生14：就是要看出“周而復始”就是等式f(x+T)=f(x)恒成立．

師：還有呢？

學生14：判斷時，必須要有一個一般性的依據，要以理說話．

評析經過前兩個階段的對話、討論，學生對于函數周期性已經積累了一定的認識，初步完成了對本質的抽象．因此，本教學環(huán)節(jié)主要就是讓學生將周期函數的各個方面性質聯合起來考察，也就是進行概括．教師通過“我們都知道了什么？”、“還有補充嗎?”來啟發(fā)學生進行概括．事實上，在教師的啟發(fā)下，學生不僅完成了對知識的概括，還談到了對整個思維過程的體驗——要以理說話，這就是理性思維意識．

2 深度對話就是學生與數學本質的對話

從上述過程我們可以看出，通過對話，學生的表達一步步走向完善；通過對話，學生的思考層層深入，逐步抓住本質．因此，數學課堂上的對話就不僅僅表現為學生與教師、學生與學生之間的語言交流，更是學生與數學本質的一種對話[1]．換句話說，就是因為對話走向了數學的本質，我們才稱之為深度對話．

我們知道，周期現象的數學本質就是等式f(x+T)=f(x)恒成立．要形成這種認識，學生必須要經歷兩次抽象．第一次是形成對周期函數的初步抽象——周而復始．第二次抽象，就是建立形式化、符號化的數學表征——等式恒成立．在第二階段，學生需要突破三個思維上的關鍵點，第一個就是為什么要進一步形式化．作為教師，我們知道只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行推理論證．但是怎樣才能讓學生也體會到呢？第二個關鍵點是要將生活中的“重復出現”改用數學中的等式來表達．第三個關鍵點就是學生要認識到等式是恒成立的，定義域中的每一個自變量都要滿足這個等量關系．

這兩次抽象，是一個認識上的飛躍，如果讓學生獨立地、完全自主地去完成，是困難的．雖然“重復”本身蘊涵相等的含義，但如果教師不點撥，不讓學生給予關注，學生往往意識不到．于是，對話與交流就為思維的展開提供了基礎．在第一階段抽象中，教師借助于周期現象與周期函數圖像，讓學生談自己的認識，通過“還可以怎么說？”，讓學生多角度闡述自己的觀點，在多角度的對話中學生形成了“周而復始”的初步印象．通過對“周而復始”關鍵詞的辨析，更進一步能清楚了細節(jié)：周是什么；誰重復，怎樣重復？雖然都是用自然語言表達的，但為第二次抽象做好了準備．

在第二階段，教師通過讓學生判斷一個暫時畫不出圖像的函數是否是周期函數，使他們意識到自己能力上的缺陷，從而引發(fā)了認知上的不平衡，感受到有必要用抽象的解析式來表達出函數的“周而復始”．這時，學生也不是一下子就成功的，而是在不斷的嘗試與對話中，相互啟發(fā)、質疑，才使得學生逐步意識到為了用解析式來刻畫“重復”，必須要用數學中的等式來表達“重復”．學生先是從外函數的角度來試探，由于無法深入，教師及時糾正了方向：能否從周而復始的已知經驗來說明？然后，學生想到了特殊值檢驗函數值是否相等，這樣，數學本質出現了．后來再通過反例，教師的追問，這樣大部分學生才認識到這個等式還必須是恒成立的，從而讓學生不斷地接近于符號化，形式化．顯然，沒有前面的對話，這個學生不可能直接想到它．這一場對話就是要讓學生多角度理解自然界中的“周而復始”與數學恒等式之間的關系，從而實現用“代數恒等式”來形式化地刻畫“周而復始”．這場對話就是學生與數學本質的對話，在此過程中學生也體驗到了數學抽象的意義與價值．

3 深度對話需要教師的引導

學習就是學生與數學本質逐步對話的過程，在此過程中，學生要將模糊的思維理順后再清晰表達出來，要讓自己的認識不斷條理化、清晰化，逐步走向概念的本質．那如何組織好數學課堂上的對話，以促進學生思維走向深入，逐步接近于數學的本質呢？結合本人的教學實踐，我覺得可以努力做好以下幾點．

3.1 做好深度對話的主持人

第一、通過激勵，形成平等、積極的對話氛圍．1)我們要理解學習的心理機制，給予學生表達的機會．就數學概念而言，學生要面對大量的實例，通過觀察，比較，分析和綜合，抽象與概括等思維過程，才能將感性的認識上升為理性，這個過程就包括討論，交流，互動等組織活動．沒有對話，就沒有思想的相互啟發(fā)；沒有社會協商，就沒有深度理解．2)學會等待，做好平等中的首席．我們知道問題是有挑戰(zhàn)性的，解決它是需要時間的，給足時間，才能使學生的發(fā)言是經過充分準備的，主動性才能得到保護．3)學會評價，呵護學生的自尊．教師對學生的對話要及時點評，好在什么地方，錯在什么地方，要用簡潔、明了的語言給與評價．同時要學會救場，為回答不出的學生提供適度的支持與幫助．

第三、引導歸納、總結．本節(jié)課中，教師先是通過一張表來讓學生進行知識上的總結，形成初步的認識；后來，又通過提出問題“我們都知道了什么？”讓學生再次進行概括，從而建立了概念．當然，我們不能忘記讓學生對認識過程進行表達，只有這樣，才能讓學生逐步形成理性認識方式．

3.2 關注深度對話的教育價值

從教學過程可知，師生通過對話，拉長了“抽象”過程，完成了 “社會協商”，實現了意義建構，對話的作用是顯著的．首先在對話的過程中學生獲得了啟發(fā)：對話就是思想的交換，學生在理解了別人的交流后，就多了一個理解數學的角度．其次，在交流與討論中理會越辯越明：學生通過質疑、對比、推敲是否能推廣到一般，加深了對數學概念的理解；同時通過對事物多方面性質的概括，抓住了概念的本質．

但我們不僅要關注對話的內容，更要關注深度對話的教育價值．比如，學生通過對整個思維、對話過程的概括、內省，提高了理性思維的意識．再者，在對話過程中學生也逐步學會表達：為了說明自己的想法，為了更好地表達自己，必須要深思，力爭抓住關鍵，在表達過程中，還要注意到語言的邏輯性，縝密性，簡潔性．所有這些，都體現了數學的教育價值．因此，在引導進行總結、概括時，我們不能僅僅滿足于讓學生進行知識上的總結與對話，還要對整個思維過程進行交流，表達自己對思維過程的感受、體驗，以形成穩(wěn)定的認識方式，建立理性思維意識．

總之，我們認為數學學習就是一場深度對話，就是學生與數學本質的對話，在對話的過程中學生建立了對數學的深刻理解，發(fā)展了理性思維意識，實現了數學的教育價值．