蜂巢光子晶格中光波的無衍射和反常折射?

饒冰潔 劉圣 趙建林

(西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,陜西省光信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710072)

蜂巢光子晶格中光波的無衍射和反常折射?

饒冰潔 劉圣 趙建林?

(西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,陜西省光信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710072)

光子晶格,光子帶隙,反常衍射,負(fù)折射

1 引 言

利用周期性結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對光波傳輸行為的調(diào)控,一直是光學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn).光子晶格,又稱為光波導(dǎo)陣列,作為一種典型的微米尺度周期性光子結(jié)構(gòu),近年來已引起人們的極大關(guān)注.在光子晶格中,光波表現(xiàn)出一系列異于均勻介質(zhì)的奇異傳輸行為,如離散衍射[1]、反常衍射和折射[2?4]等.利用這些奇異的光波傳輸特性,不僅可以形成和控制非線性光子晶格中的空間孤子[5,6],也可以靈活地調(diào)控光波的線性傳輸行為[7?9].與固體材料中的電子類似,光波在光子晶格中的傳輸也可以由離散薛定諤方程來描述.通過構(gòu)建不同結(jié)構(gòu)的光子晶格,人們在其中發(fā)現(xiàn)了許多類電子的光波傳輸行為,如光子能帶[10]、布洛赫振蕩[11,12]、安德森局域[13]等,并由此提出光場調(diào)控的新方法.當(dāng)光子晶格的折射率分布按蜂巢狀排布時(shí),便形成具有石墨烯結(jié)構(gòu)的蜂巢光子晶格.蜂巢光子晶格中的光子態(tài)也與石墨烯的電子態(tài)類似,因而可以從中觀察到很多相似的物理現(xiàn)象,如錐面衍射[14]、光子的克萊因隧穿效應(yīng)[15]和塔姆邊界態(tài)[16,17]等.另外,人們發(fā)現(xiàn),當(dāng)蜂巢光子晶格被橫向拉伸而發(fā)生非均勻形變時(shí),晶格中會產(chǎn)生贗磁場,并形成光子朗道能級[18].同時(shí),一種基于螺旋狀蜂巢光子晶格結(jié)構(gòu)的光學(xué)拓?fù)浣^緣體被提出,可減少光波在傳輸過程中的散射[19].近期,蜂巢光子晶格中的光子贗自旋效應(yīng)被實(shí)驗(yàn)證實(shí)[20,21].該贗自旋可與傳輸于其中的光子發(fā)生動量交換,將其轉(zhuǎn)化為軌道角動量,并可實(shí)現(xiàn)其拓?fù)浜煞崔D(zhuǎn).盡管蜂巢光子晶格中的“類石墨烯”現(xiàn)象已經(jīng)被大量報(bào)道,然而其光學(xué)機(jī)制仍需進(jìn)一步討論.特別是研究光波傳輸過程中一些基本問題至關(guān)重要.本文詳細(xì)分析蜂巢光子晶格中帶隙結(jié)構(gòu)第一通帶上的衍射與折射特性,由此得出光束發(fā)生反常衍射和折射的入射條件,并模擬研究光波的無衍射和負(fù)折射現(xiàn)象.

2 理論模型

單色光波在二維光子晶格中的傳輸可用無量綱化的薛定諤方程描述[4?9]:

式中,B表示光場復(fù)振幅,(x,y,z)表示笛卡爾坐標(biāo)系,z為歸一化傳播距離,Δn表示光子晶格的折射率分布.對于光折變晶體中的光誘導(dǎo)光子晶格而言,如果晶格誘導(dǎo)光場的強(qiáng)度分布為Il,則(1)式中折射率變化Δn可以表示為

式中,常數(shù)γ為外加電場或光伏場強(qiáng)度.Il為蜂巢晶格的誘導(dǎo)光場,可由多光束干涉場疊加而成,即

式中,常數(shù)A表示寫入光的振幅,k1=(?1,0),為光子晶格周期,r1=(x,y),r2=(x?0.5d,y?

將蜂巢光子晶格中的線性本征傳輸模式表示為B(x,y,z)=u(x,y)exp(jβz),其中β為傳播常數(shù).代入(1)式,可得

(4)式是一個(gè)本征函數(shù)問題,本征函數(shù)u(x,y)為本征值β對應(yīng)的傳輸模式.利用平面波展開法[4?9]求解該方程,即可得到β-(kx,ky)關(guān)系曲面(光波衍射關(guān)系),其中(kx,ky)表示本征傳輸模式的橫向波矢.

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與討論

3.1 蜂巢光子晶格的衍射與折射特性

光波在光子晶格中傳播時(shí),不僅會受到晶格波導(dǎo)間耦合的影響,還受到晶格布拉格反射的作用.在倒格空間(即空間頻率域),布里淵區(qū)邊界處的光波散射分量會得到增強(qiáng),從而導(dǎo)致光波的衍射關(guān)系曲面β-(kx,ky)分離,形成光子禁帶.蜂巢晶格的帶隙結(jié)構(gòu)可以由(4)式求解得到,如圖1所示.其中,圖1(a)顯示了蜂巢晶格的結(jié)構(gòu)及其折射率分布(插圖),圖1(b)顯示了計(jì)算得到的蜂巢晶格的帶隙結(jié)構(gòu),從圖中可以清楚地看到兩個(gè)通帶間有六個(gè)相交的狄拉克點(diǎn).圖1(c)為蜂巢晶格的一階通帶等高線分布,白色虛線框表示第一布里淵區(qū).利用該光子帶隙結(jié)構(gòu),可以分析光波在晶格中的衍射和折射特性.

對于二維光子晶格,光波的衍射與折射分別定義為

式中,Di描述光波沿i軸方向上的衍射展寬,Di＜0表示正常衍射,Di＞0表示反常衍射,Di=0則表示無衍射;Δi描述光波在傳輸距離z處沿i軸方向上的平移量,Δi＜0表示光波沿i軸方向折射,Δi＞0表示光波沿?i軸方向折射,Δi=0表示光波沿z軸傳輸.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)蜂巢晶格及其帶隙結(jié)構(gòu) (a)晶格結(jié)構(gòu);(b)光子帶隙;(c)一階通帶Fig.1.(color online)Honeycomb photonic lattice and its band-gap structure:(a)Lattice structure;(b)photonic band-gap;(c)1st transmission band.

圖2描述了蜂巢晶格一階通帶的衍射與折射特性,其中圖2(a)和圖2(b)分別為蜂巢晶格沿x軸和y軸方向的衍射Dx和Dy,白色虛線框?yàn)榈谝徊祭餃Y區(qū),黃色實(shí)線顯示無衍射線(Di=0).從圖中可以看出,在第一布里淵區(qū)內(nèi)的大部分區(qū)域,光波在kx與ky軸方向上均表現(xiàn)為正常衍射,只是在波矢位于無衍射線上時(shí)光波才不發(fā)生展寬.圖2(c)和圖2(d)分別為蜂巢晶格沿x軸和y軸方向的折射Δx和Δy,其中,黃色區(qū)域?yàn)檎Ｕ凵鋮^(qū),藍(lán)色區(qū)域?yàn)榉闯Ｕ凵鋮^(qū).從圖中可以看出,在第一布里淵區(qū)內(nèi),kx方向上均為正折射,而在ky方向上,大部分區(qū)域?yàn)檎凵鋮^(qū),只有在狄拉克點(diǎn)附近的區(qū)域?yàn)樨?fù)折射區(qū).若要驗(yàn)證光波在蜂巢晶格中的衍射和折射特性,可以將入射光束的波矢匹配相應(yīng)衍射區(qū)域,通過束傳播法對晶格中光波的傳輸過程進(jìn)行模擬.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)光波在蜂巢光子晶格中的衍射(a),(b)與折射(c),(d)特性,(a),(c)和(b),(d)分別對應(yīng)沿kx軸和ky軸方向的衍射與折射Fig.2.(color online)Diffraction(a),(b)and refraction(c),(d)characteristics of light in honeycomb photonic lattice.(a),(c)and(b),(d)correspond to the diffraction and refraction along kxand kyaxes,respectively.

3.2 光波在蜂巢晶格中的無衍射傳播

圖3(a)給出了在蜂巢晶格第一布里淵區(qū)內(nèi)的衍射特性,其中,六邊形表示蜂巢晶格布里淵區(qū),黑色虛線和紅色點(diǎn)線分別為kx與ky方向的無衍射線Dx=0和Dy=0,黃色點(diǎn)代表不同入射波矢在布里淵區(qū)的位置.從圖中可以看出,Dx=0和Dy=0在第一布里淵區(qū)內(nèi)存在六個(gè)交點(diǎn),入射光波波矢匹配這些點(diǎn)時(shí),將在x和y方向表現(xiàn)出無衍射特性.設(shè)定蜂巢晶格周期為4,入射高斯光束束腰半徑為15,其強(qiáng)度分布如圖3(b)所示.該高斯光束分別以不同波矢(0,0),(0,0.688g),(0.419g,0.712g),(0.82g,0)入射.計(jì)算其傳輸距離z=300時(shí)出射光場的強(qiáng)度分布,結(jié)果分別如圖3(c)—(e)所示.圖3(c)對應(yīng)正入射(即波矢為(0,0))時(shí)的出射光場,可以看出光束發(fā)生了明顯的展寬,表現(xiàn)為正常衍射.當(dāng)光束以波矢(0,0.688g)入射時(shí),如圖3(d)所示,光束只在x軸方向發(fā)生展寬,而在y軸方向的衍射被抑制,這表明光波在x和y軸方向分別發(fā)生正常衍射和無衍射.而對于入射波矢為(0.419g,0.712g)和(0.82g,0)的光束(如圖3(e)和圖3(f)所示),其出射光在x,y軸方向并未發(fā)現(xiàn)嚴(yán)重展寬.也就是說,圖3(a)中(e)點(diǎn)和(f)點(diǎn)是兩個(gè)在x,y方向上均為無衍射的點(diǎn).實(shí)際上,在蜂巢晶格第一布里淵區(qū)內(nèi)共存在六個(gè)無衍射點(diǎn),滿足六重旋轉(zhuǎn)對稱性.

需要說明的是,由于圖3(e)和圖3(f)中光束的入射波矢均位于蜂巢晶格三重對稱點(diǎn)附近,光束在傳播過程中會受到蜂巢晶格三重對稱性的影響,因而出射光場形狀最終演化為三角形.此外,光波的無衍射條件需要嚴(yán)格滿足Dx=Dy=0,但由于入射光束尺寸有限,其頻譜在布里淵區(qū)會覆蓋一定區(qū)域.這導(dǎo)致光束在傳輸過程中發(fā)生輕微衍射,從而使光束發(fā)生一定展寬,如圖3(d)和圖3(e)所示.為了減少這一影響,可使用寬光束進(jìn)行激發(fā).

與其他實(shí)現(xiàn)無衍射光束的手段[22,23]相比,這里通過光子晶格實(shí)現(xiàn)的光束無衍射傳輸,并不要求較復(fù)雜的相位或振幅調(diào)制,只是對光束空間頻譜的相對寬度有限制.這從一定程度上提高了實(shí)現(xiàn)光束無衍射傳輸?shù)谋憷?然而,出射光場也會受晶格對稱性影響,如圖3(e)和圖3(f)所示.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)蜂巢晶格中高斯光束的無衍射傳輸 (a)衍射特性示意圖,其中黃色圓點(diǎn)表示不同入射波矢的位置;(b)入射光束;(c)—(f)不同入射波矢條件下z=300處的出射光場強(qiáng)度分布Fig.3.(color online)Non-diffraction propagation of a Gaussian beam in honeycomb lattice:(a)Schematic of diffraction,with input wave vectors marked by yellow circles;(b)input beam;(c)–(f)output fields at z=300 corresponding to the wave vectors shown in(a).

3.3 光波在蜂巢晶格中的反常折射

為了驗(yàn)證光波在蜂巢晶格中的折射特性,可選擇不同波矢的高斯光束入射,觀察其出射位置.根據(jù)入射光波波矢與出射位置可獲得光波的折射特性.例如,當(dāng)入射波矢位于坐標(biāo)第一象限時(shí)(即入射波矢滿足kx＞0和ky＞0),若沿x,y軸方向均為正折射,則出射場位于第一象限;若x方向?yàn)檎凵涠鴜方向?yàn)樨?fù)折射,則出射場位于第四象限;若x方向?yàn)樨?fù)折射而y方向?yàn)檎凵?則出射場位于第二象限;若x,y方向均為負(fù)折射,則出射場位于第三象限;若入射波矢位于y方向無衍射曲線上,則出射光束位于x軸上.

圖4(a)給出了光波在蜂巢晶格第一布里淵區(qū)內(nèi)沿ky方向的折射特性,其中虛線表示Δy=0的等高線,白色區(qū)域?yàn)樨?fù)折射區(qū).分別選取入射波矢為(0.3g,0.14g)和(0.837g,0.14g),模擬高斯光束在蜂巢晶格中的傳輸過程,結(jié)果如圖4(b)和圖4(c)所示.從圖中可以看出,當(dāng)入射波矢位于x,y軸方向正折射區(qū)時(shí)(如圖4(b)所示),出射光斑位于第一象限,說明光波在x,y軸方向均發(fā)生正常折射;當(dāng)波矢位于圖4(a)中的(c)點(diǎn)時(shí),Δy=0,光束沿y軸方向的位移為0,出射光斑位于x軸上,如圖4(c)所示,表現(xiàn)出反常的折射現(xiàn)象.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)蜂巢光子晶格中光波的折射 (a)波矢圖,其中黃色圓點(diǎn)表示入射波矢的位置;(b),(c)不同入射波矢對應(yīng)的出射光場Fig.4.(color online)Refraction of a Gaussian beam in honeycomb lattice:(a)Schematic of refraction,with input wave vectors marked by yellow circles;(b),(c)output fields corresponding to the wave vectors shown in(a).

3.4 光波在蜂巢晶格中的負(fù)折射

光波在第一布里淵區(qū)內(nèi)的負(fù)折射很難實(shí)現(xiàn),通常利用模式匹配來獲得第二布里淵區(qū)的傳輸模式,從而激發(fā)出負(fù)折射現(xiàn)象[4,7].圖5為激發(fā)對應(yīng)的布洛赫模式以形成負(fù)折射的模擬結(jié)果.其中,圖5(a)給出了蜂巢晶格的折射特性示意圖,不同衍射區(qū)域用不同色塊標(biāo)記,黃色圓點(diǎn)表示入射波矢(0.2g,1.066g),(0.64g,1.006g),(g,1.066g),(1.2g,0.2g)在布里淵區(qū)的位置;圖5(b)—(e)分別表示不同入射波矢對應(yīng)的出射光場的強(qiáng)度分布,其中白色十字表示光場的入射位置(即坐標(biāo)原點(diǎn)),右上角插圖為出射光場頻譜分布,六邊形為第一布里淵區(qū).入射光場的波矢均滿足kx＞0和ky＞0,即沿坐標(biāo)系右上方傾斜入射時(shí),對應(yīng)正常折射的出射位置為坐標(biāo)軸第一象限.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)蜂巢光子晶格中光波的負(fù)折射 (a)折射特性示意圖;(b)—(e)不同入射波矢對應(yīng)的出射光場Fig.5.(color online)Negative refraction in honeycomb lattice:(a)Schematic of refraction;(b)–(e)output fields corresponding to the wave vectors shown in(a).

選擇入射波矢為(0.2g,1.066g)時(shí),如圖5(b)所示,入射光場匹配X點(diǎn)的布洛赫模式,復(fù)振幅為其中E0為高斯分布.此時(shí),波矢位于kx方向的正折射區(qū)、ky方向的負(fù)折射區(qū),所以出射光場沿x軸正方向、y軸負(fù)方向均發(fā)生移動,從第四象限出射.選擇波矢為(0.64g,1.066g)和(1.2g,0.2g)時(shí),如圖5(c)和圖5(e)所示,入射光場匹配M′點(diǎn)的布洛赫模式,復(fù)振幅為r).由于入射波矢均位于kx和ky方向的負(fù)折射區(qū),則光波在這兩個(gè)方向上均發(fā)生負(fù)折射,出射位置在第三象限.選擇波矢為(g,1.066g)時(shí),如圖5(d)所示,入射光場匹配M點(diǎn)的布洛赫模式,復(fù)振幅為此時(shí)波矢位于kx方向的負(fù)折射區(qū)、ky方向的正折射區(qū),因此,光波從第二象限出射.

需要注意的是,光波在傳輸過程中會發(fā)生不同程度的模式劈裂,如圖5(b)—(e)所示,這是由于在這些情況下入射光場模式與蜂巢晶格的本征模式并不完全匹配.入射光場除了包含蜂巢晶格第一階通帶的布洛赫模式以外,還包含了高階通帶的簡并模式[4].第一階通帶中的布洛赫模式會依照上述理論發(fā)生反常折射,如圖5(b)—(e)中虛線框內(nèi)的光場所示;而高階通帶的本征模式則依照高階通帶的衍射、折射特性傳輸.因此,不同本征模式在傳輸過程中會分離.

4 結(jié) 論

理論分析了蜂巢光子晶格的第一階通帶模式的線性傳輸特性,數(shù)值模擬研究了以不同波矢入射的光波在蜂巢晶格中的傳輸過程,討論了光波的無衍射傳輸和反常折射的激發(fā).通過理論計(jì)算得到蜂巢晶格的光子帶隙結(jié)構(gòu),并根據(jù)第一階通帶在x,y軸方向的衍射和折射定義,將晶格的布里淵區(qū)劃分為不同的衍射區(qū)和折射區(qū),得出了光波的反常衍射和折射的入射條件.第一布里淵區(qū)內(nèi)存在六個(gè)無衍射點(diǎn),當(dāng)入射波矢匹配這些點(diǎn)時(shí),光波在晶格中傳輸時(shí)不發(fā)生明顯展寬,表現(xiàn)為無衍射傳輸;當(dāng)波矢匹配Δy=0等高線時(shí),光波沿y軸方向不發(fā)生偏移,表現(xiàn)為反常折射;通過匹配晶格的本征傳輸模式,并將入射波矢調(diào)節(jié)到負(fù)折射區(qū),可觀察到光波的負(fù)折射現(xiàn)象.以上結(jié)論有望對研究蜂巢光子晶格中光子“類石墨烯”現(xiàn)象的光學(xué)機(jī)理提供一定的參考價(jià)值,相關(guān)結(jié)論也可以延伸應(yīng)用到其他蜂巢晶格結(jié)構(gòu)中.

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Non-diffraction propagation and anomalous refraction of light wave in honeycomb photonic lattices?

Rao Bing-Jie Liu Sheng Zhao Jian-Lin?

(Shaanxi Key Laboratory of Optical Information Technology,School of Science,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,China)

5 July 2017;revised manuscript

8 August 2017)

Photonic band-gap of light wave in spatial frequency model depicts the linear propagation characteristics of the light wave in period structures,based on which the linear diffraction and refraction of light are defined.In this paper,we numerically study the non-diffraction propagation and anomalous refraction of light waves in honeycomb photonic lattices according to the diffraction relationship of the photonic band-gap.

By calculating the photonic band-gap structure,the linear propagation characteristics in the first transmission band are analyzed.The first Brillouin zone of the honeycomb lattice can be divided into different diffraction(DxandDy)and refraction regions(ΔxandΔy),according to the definitions of light diffraction and refraction along thex-andy-axis.Light wave can present normal,anomalous diffraction and even non-diffraction when the wave vector matches the regions ofDx,y＜0,Dx,y＞0 andDx,y=0,respectively.And the wave experiences the positive,negative refractions,and non-de flection when the refraction region meets the conditions:Δx,y＜0,Δx,y＞0 andΔx,y=0,respectively.

By matching the input wave vectors to the contour lines ofDx=0 andDy=0,we can realize the non-diffraction propagation along thex-andy-axis,respectively.When the input wave vector is set to be(0,0),the light wave experiences normal diffraction and beam size is broadened.When the wave vector matches the point whereDy=0,the diffraction in they-axis is obviously suppressed.To totally restrain the beam diffraction,the wave vector is set to be at the point whereDx=Dy=0.There are six intersections on the contour lines ofDx=0 andDy=0,and these intersections are named non-diffraction points.

The refraction of light can be also controlled by adjusting the input wave vector.When the wave vector is located on the contours of Δy=0,light wave propagates along thex-axis,without shifting along they-axis.To excite the negative refractions,we need to match the input light wave to the eigen modes of the lattice,and adjust the wave vector to the negative refraction regions.We set the input wave vector to bekx＞0 andky＞0,so that the beam would be output in the first quadrant of the coordinate if refracted normally.The eigen modes are approximated by multi-wave superposition,and the wave vector is adjusted to different refraction regions.From the numerical results of the light propagations,it is clearly seen that the propagations of a good portion of light energy follow the preconceived negative refractions,and output field is in the fourth,third,second,and third quadrant,respectively.Notably,the light waves generated by multi-wave superposition not only contain the eigen modes we need,but also include other modes.As a result,there are also energy outputs arising from the undesired modes in the other quadrants.

The above conclusions are expected to provide a reference for the optical mechanisms of graphene-like optical phenomena in honeycomb photonic lattices.

photonic lattice,photonic band-gap,anomalous diffraction,negative refraction

PACS:42.70.Qs,42.68.Ay,42.25.—p,42.25.FxDOI:10.7498/aps.66.234207

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.61675168,11634010)and the Joint Fund of the National Natural Science Foundation of China and the China Academy of Engineering Physics(Grant No.U1630125).

?Corresponding author.E-mail:jlzhao@nwpu.edu.cn

(2017年7月5日收到;2017年8月8日收到修改稿)

空間頻率模式的光子帶隙反映了光波在周期性結(jié)構(gòu)中的線性傳輸特性.以這種線性傳輸特性為基礎(chǔ),研究了蜂巢光子晶格中光波的無衍射和反常折射.通過詳細(xì)分析帶隙結(jié)構(gòu)第一通帶上的衍射與折射特性,得出了光波發(fā)生反常衍射和折射的入射條件.匹配不同的入射條件,數(shù)值模擬了光波的無衍射傳輸和反常折射現(xiàn)象.結(jié)果表明:將入射光束的波矢設(shè)置在蜂巢晶格布里淵區(qū)中正常、反常衍射區(qū)的交界處,可使高斯光束沿x軸、y軸方向的衍射得到有效抑制;以多光束干涉場作為入射光場,可對蜂巢晶格進(jìn)行模式匹配,激發(fā)第二布里淵區(qū)的傳輸模式;進(jìn)一步將模式匹配后入射光場的波矢設(shè)置在反常折射區(qū),可實(shí)現(xiàn)光波的反常折射.

10.7498/aps.66.234207

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:61675168,11634010)和國家自然科學(xué)基金委員會中國工程物理研究院聯(lián)合基金(批準(zhǔn)號:U1630125)資助的課題.

?通信作者.E-mail:jlzhao@nwpu.edu.cn