Hilbert C*-模中g-Riesz基的新刻畫

相中啟

(上饒師范學院數(shù)學與計算機科學學院，中國 上饒 334001)

Hilbert C*-模中g-Riesz基的新刻畫

相中啟

(上饒師范學院數(shù)學與計算機科學學院，中國 上饒 334001)

利用算子理論方法證明了HilbertC*-模上的可伴算子序列是g-Riesz基且有唯一對偶g-框架當且僅當相應的合成算子是一線性同胚，這修正了已有的一個結(jié)論.進一步，作為該結(jié)果的直接應用，給出了HilbertC*-模中的g-Riesz基具有唯一對偶g-框架的保界等價刻畫.

HilbertC*-模；g-框架；g-Riesz基；對偶g-框架

框架(經(jīng)典框架)是規(guī)范正交基的推廣，它由Duffin和Schaeffer[1]于1952年引入，當時被用于處理非調(diào)和Fourier級數(shù)中的一些深刻問題.1986年，Daubechies等[2]的開創(chuàng)性工作揭示了小波理論和框架理論之間的緊密聯(lián)系，自此框架理論作為小波分析中一個重要分支得到了廣泛而深入的研究[3-6].如今，框架因其靈活性和冗余性已在圖像與信號處理、數(shù)據(jù)壓縮和抽樣理論等領域中扮演著重要的角色.隨著框架研究的深入，學者們提出了多種框架的離散推廣形式，其中孫文昌教授[7]引入的g-框架更具一般性，它包含了諸如子空間框架(融合框架)、斜框架和偽框架等一些框架推廣形式.

另一方面，框架和g-框架被類比到了HilbertC*-模中[8-9].雖然HilbertC*-模是Hilbert空間的自然推廣，但是二者之間還是存在著許多的本質(zhì)不同.例如，HilbertC*-模中拓撲可補的閉子模未必正交可補，這導致一些有關規(guī)范正交基的結(jié)果無法推廣到HilbertC*-模的情形；Hilbert空間上關于連續(xù)線性泛函的著名的Riesz表示定理并不適用于HilbertC*-模，這蘊含著HilbertC*-模上的某些有界算子不可伴，等.同時應當指出，由于HilbertC*-模中所嵌入的C*-代數(shù)的復雜性，以及Hilbert空間中的一些經(jīng)典技巧在HilbertC*-模中要么未知要么缺失，從而使得HilbertC*-模中的框架和g-框架問題要比Hilbert空間復雜和難以處理，所以框架和g-框架理論由Hilbert空間到HilbertC*-模的推廣工作并非平凡.此外，近年來的一系列研究成果表明HilbertC*-模理論與小波特別是框架理論有著多方面的密切聯(lián)系，一方的發(fā)展都將對另一方的發(fā)展起著積極的促進作用，這使得HilbertC*-模中框架和g-框架的研究工作重要和有意義.目前，HilbertC*-模中的框架特別是g-框架已得到了廣泛的研究[10-15].

肖祥春和曾曉明[16]引入并研究了HilbertC*-模中的一類特殊的g-框架—g-Riesz基.特別地，他們得到了HilbertC*-模中g-Riesz基的一個等價刻畫([16,定理3.3]).然而一個反例(本文例1)表明該結(jié)果的必要條件不成立，本文的目的是修正其結(jié)果并給出HilbertC*-模中的g-Riesz基具有唯一對偶g-框架的保界等價刻畫.

1 一些定義和引理

定義1[9]任意j∈,設).如果存在常數(shù)0

(1)

則稱{Λj}j∈是H關于{Kj}j∈的g-框架，C，D分別稱為{Λj}j∈的下、上框架界.如果C=D=1，則稱{Λj}j∈是Parsevalg-框架.如果(1)式右端的不等式成立，則稱{Λj}j∈是H關于{Kj}j∈的g-Bessel序列，D稱為g-Bessel界.

定義2[12]設{Λj}j∈是H關于{Kj}j∈的g-框架，其合成算子U：l2({Kj}j∈)→H定義為：

U({gj}j∈)=(gj),?{gj}j∈∈l2({Kj}j∈).

(2)

容易驗證U是可伴的且其伴隨算子由下式給出：

U*:H→l2({Kj}j∈),U*f={Λjf}j∈,?f∈H.

(3)

復合U和U*便得到{Λj}j∈的框架算子：

(4)

易見S是正自伴的可逆算子，于是任意f∈H由(4)式可得：

(5)

任意j∈,置則直接計算可知也是H關于{Kj}j∈的g-框架，稱為{Λj}j∈的典范對偶g-框架.

定義3[9]設{Λj}j∈,{Γj}j∈分別是H關于{Kj}j∈的g-框架和g-Bessel序列，如果對任意的f∈H有

(6)

則稱{Γj}j∈是{Λj}j∈的對偶g-框架.

定義4[16]設{Λj}j∈是H關于{Kj}j∈的g-框架，稱{Λj}j∈是g-Riesz基，如果下列兩個條件成立:

(i)任意j∈,Λj≠0;

為了證明主要結(jié)論，需要下面的幾個引理.

(i)T是滿射.

(ii)T*關于范數(shù)下有界，即存在m>0使得任意f∈K,‖T*f‖≥m‖f‖.

(iii)T*關于內(nèi)積下有界，即存在m′>0使得任意f∈K,〈T*f,T*f〉≥m′〈f〉.

由引理1立即可得如下結(jié)果，其證明是平凡的，故略去.

(i)如果T是滿射，則TT*可逆且

‖(TT*)-1‖-1·IdK≤TT*≤‖T‖2·IdK.

(ii)如果T是單射且有閉的值域，則T*T可逆且

‖(TT*)-1‖-1·IdH≤T*T≤‖T‖2·IdH.

記號IdH和IdK分別表示H和K上的恒等算子.

TT?T=T，T?TT?=T?，(TT?)*=TT?，(T?T)*=T?T.

(7)

下文中，記號θ?總是用來表示可伴算子θ的Moore-Penrose逆(如果存在).

引理4[16]任意j∈,設則{Λj}j∈是H關于{Kj}j∈的g-框架當且僅當

U：l2({Kj}j∈)→H,U({gj}j∈)=(gj)

(8)

是定義好的有界滿射算子.

引理5任意j∈,設則{Λj}j∈是H關于{Kj}j∈的g-Bessel界為D的g-Bessel序列當且僅當

(9)

證結(jié)論的必要性是平凡的，下證充分性.設序列{Λj}j∈滿足(9)式.任意?,任意{gj}j∈∈l2({Kj}j∈),因為

T:H→l2({Kj}j∈),Tf={Λjf}j∈,?f∈H,

所以T是可伴的.故此

2 主要結(jié)果及證明

下面的結(jié)果即為文獻[16]中的定理3.3:

斷言1任意j∈,設則序列{Λj}j∈是H的g-Riesz基當且僅當(8)式定義的算子U是一線性同胚.

確實，如果(8)式定義的算子U是一線性同胚，則{Λj}j∈是H的g-Riesz基，但反之不對.因為若相應于g-Riesz基的合成算子是線性同胚，則每個g-Riesz基都應有唯一的對偶g-框架，這一般不成立，參見下面的例子.

例1設l∞是所有有界復值序列的集合.任意u={uj}j∈,v={vj}j∈∈l∞,定義

則A={l∞,‖·‖}是一C*-代數(shù).

設H=C0表示所有收斂于零的序列的全體.任意u,v∈H,定義

則H是A上的HilbertC*-模.

設{ej}j∈是H的規(guī)范正交基，m∈.任意j∈,令

且定義Λj:H→Kj為：

任意f∈H,由于

所以{Λj}j∈是H關于{Kj}j∈的Parsevalg-框架.

容易驗證

任意j∈,因為Λje(j-1)m+l=e(j-1)m+l,因此Λj≠0.任意?,{gj}j∈∈l2({Kj}j∈),如果則任意i∈,

顯然{Λj}j∈是其自身的對偶g-框架.現(xiàn)在令

則易見{Γj}j∈是H關于{Kj}j∈的g-Bessel序列，且Λ1e2m=0,Γ1e2m=e2m.因此Γ1≠Λ1.任意f∈H,由于所以

因此

這表明{Γj}j∈也是{Λj}j∈的對偶g-框架.

斷言1可修正為如下形式.

定理1任意j∈,設則序列{Λj}j∈是H的g-Riesz基且具有唯一對偶g-框架當且僅當(8)式定義的算子U是一線性同胚.

證設{Λj}j∈是H的g-Riesz基且有唯一對偶g-框架.要證(8)式定義的算子U是一線性同胚，由引理1和4知只需證明R(U*)=l2{Kj}j∈.假設R(U*)≠l({Kj}j∈),則存在F={Fj}j∈∈(R(U*))⊥滿足‖F(xiàn)‖=1.定義可伴算子列如下：

Qj:l2({Kj}j∈)→Kj,Qj(G)=〈G，F(xiàn)〉Fj,?j∈.

任意G={Gj}j∈∈l2({Kj}j∈)有

由引理5知{QjT}j∈是H關于{Kj}j∈的界為‖T‖2的g-Bessel序列.因為F與R(U*)正交，所以任意f,g∈H可得

所以{Γj}j∈是{Λj}j∈的對偶g-框架.令h=T-1F,則(QjT)(h)=〈F,F〉Fj.因為

所以Qj不全為零.因此{Γj}j∈是{Λj}j∈的異于的對偶g-框架，這與{Λj}j∈的對偶g-框架的唯一性相矛盾.

反過來，設(8)式定義的算子U是一線性同胚，則易見{Λj}j∈是關于{Λj}j∈的對偶g-框架.設?,{gj}j∈∈l2({Kj}j∈),若則對于任意的j∈,令gj=0可得

因為U是單射，所以由上式立即可得gj=0對一切j∈成立.下證任意j∈,Λj≠0.假設存在n∈使得Λn=0.令0≠gn∈Kn;當n≠j∈時，令0=gj∈Kj,則

利用U的單射性可知任意j∈,gj=0,矛盾.完成證明.

推論1任意j∈,設).如果{Λj}j∈是H的g-Riesz基且有唯一的對偶g-框架，則任意j∈,{Λj}j∈{j}不再構(gòu)成H的g-框架.

證假設存在j0∈使得{Λj}j∈{j0}是H關于{Kj}j∈{j0}的g-框架，其框架算子記為S.令

由重構(gòu)公式(5)可得

由定理1,U是單射，于是任意j∈,gj=0,矛盾.

下面的兩個結(jié)果是定理1的直接應用.定理2表明HilbertC*-模中具有唯一對偶g-框架的g-Riesz基可以表示為可逆算子在一列投影下的像.

定理2任意j∈,設則{Λj}j∈是H的g-Riesz基且有唯一對偶g-框架當且僅當Λj=PjΓ,其中可逆，Pj是l2({Kj}j∈)上的將其每個序列映為第j個分量的投影.

證首先設{Λj}j∈是H的g-Riesz基且有唯一對偶g-框架，U是其合成算子.由定理1知U可逆，從而U*可逆.任意i∈,f∈H,因為Λif=Pi({Λjf}j∈)=PiU*f,所以Λi=PiU*.

由引理2可得

所以{Λj}j∈是H的框架界為‖(Γ*Γ)-1‖-1，‖?！?的g-框架且易見其合成算子U=Γ*.再次利用定理1,{Λj}j∈是H的g-Riesz基且具有唯一對偶g-框架.

如下的關于HilbertC*-模中具有唯一對偶g-框架的g-Riesz基的等價刻畫保持了g-框架界信息.

(10)

證首先設{Λj}j∈是H的框架界為C，D的g-Riesz基且具有唯一對偶g-框架，則由定理1可知R(U*)=l2({Kj}j∈).條件(i)由g-框架的定義立即可得.下證條件(ii),由引理5知只需證明(10)式左端的不等式.任意{gj}j∈∈l2({Kj}j∈),存在f∈H使得U*f={gj}j∈.于是

‖{gj}j∈‖4=‖〈U*f,U*f〉‖2≤‖UU*f‖2‖f‖2≤‖〈Λjf,Λjf〉‖‖UU*f‖2=

因此C‖{gj}j∈‖2≤‖U{gj}j∈‖2.

現(xiàn)在假設條件(i)和(ii)成立.任意f∈H,任意有限子集?,有

‖f‖2‖U({Λjf}j∈)‖2≤‖f‖2‖U‖2‖‖〈Λjf,Λjf〉‖,

由此可得

由引理5可知，{Λj}j∈是H的界為D的g-Bessel序列.

C‖U?U{gj}j∈‖2≤‖UU?U{gj}j∈‖2=‖U{gj}j∈‖2.

綜上，{Λj}j∈是H的界為C,D的g-框架，所以由引理4，U是滿射.顯然U是單射.于是由定理1知{Λj}j∈是H的g-Riesz基且具有唯一對偶g-框架.

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NewCharacterizationsofg-RieszBasesinHilbertC*-Modules

XIANGZhong-qi*

(School of Mathematics and Computer Science, Shangrao Normal University, Shangrao 334001, China)

The present paper proves, by utilizing the method of operator theory, that a sequence of adjointable operators on a HilbertC*-module is ag-Riesz basis with unique dualg-frame if and only if the corresponding synthesis operator is a homeomorphism, which provides a correction to one existing conclusion and further, as a direct application of this result, it gives an equivalent characterization forg-Riesz bases with unique dualg-frames in HilbertC*-modules, which preserves theg-frame bounds.

HilbertC*-module;g-frame;g-Riesz basis; dualg-frame

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.06.014

國家自然科學基金資助項目(11761057);江西省自然科學基金資助項目(20151BAB201007);江西省教育廳科學技術研究項目(GJJ151061)

*通訊作者,E-mail：lxsy20110927@163.com

2016-12-15

O177.1

A

1000-2537(2017)06-0080-07

(編輯 HWJ)