Pareto分布形狀參數(shù)的最小風險同變估計

徐 寶，王宇廷，馬藝光

(吉林師范大學 數(shù)學學院，中國 四平 136000)

Pareto分布形狀參數(shù)的最小風險同變估計

徐 寶，王宇廷，馬藝光

(吉林師范大學 數(shù)學學院，中國 四平 136000)

在加權(quán)p，q對稱損失函數(shù)下，對實際中廣泛應(yīng)用的兩參數(shù)Pareto分布，當刻度參數(shù)已知時，用參數(shù)估計方法，研究了形狀參數(shù)的最小風險同變估計的形式和性質(zhì). 得到了最小風險同變估計的一般形式，又經(jīng)由該參數(shù)的廣義Bayes估計，得到了最小風險同變估計的精確形式，并證明了這一最小風險同變估計具有最小最大性，從而它也是該參數(shù)的最小最大估計，由此將Pareto分布形狀參數(shù)的最小風險同變估計、廣義Bayes估計以及最小最大估計聯(lián)系起來.

Pareto分布；最小風險同變估計；Bayes估計；最小最大估計

Pareto分布是一種在實際中有著廣泛應(yīng)用的統(tǒng)計分布，它一開始是 Pareto 引進作為收入的分布，主要用來描述諸如個人收入、城市人口的容量等問題. 此外，自然現(xiàn)象的發(fā)生、股票價格的起伏波動、油田位置、保險風險等也可以用Pareto分布來描述[1]. 本文關(guān)注兩參數(shù)Pareto分布，其定義如下：若連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為

(1)

則稱隨機變量X服從兩參數(shù)Pareto分布，其中α為形狀參數(shù)，θ為刻度參數(shù).

在現(xiàn)代統(tǒng)計文獻中，Pareto分布參數(shù)的統(tǒng)計推斷問題是常見的研究內(nèi)容. 如：形狀參數(shù)的極大似然估計和一致最小方差無偏估計[2]；刻度參數(shù)的加權(quán)矩估計和最好線性無偏估計[3]；在LINEX損失函數(shù)下，形狀參數(shù)的經(jīng)驗Bayes估計[4]；在平方損失函數(shù)下，形狀參數(shù)的漸進最優(yōu)與可容許的經(jīng)驗Bayes估計及其性質(zhì)[5]；在平方損失函數(shù)和LINEX損失函數(shù)下，形狀參數(shù)和可靠性指標的Bayes估計[6]；刻度參數(shù)在右刪失數(shù)據(jù)下的經(jīng)驗Bayes漸進性質(zhì)[7]；在q-對稱熵損失函數(shù)下，形狀參數(shù)的最小風險同變估計、Bayes估計、可容許與不可容許估計以及最小最大估計[8]，廣義矩估計[9]，刻度參數(shù)的區(qū)間估計[10]，形狀參數(shù)在某些限制下的估計[11]. 這些研究結(jié)果極大地豐富了Pareto分布參數(shù)估計的內(nèi)容，但從各種估計之間的關(guān)系來研究參數(shù)的估計形式和性質(zhì)的成果卻并多不見. 本文將從這一角度出發(fā)，在Bayes框架下，研究Pareto分布參數(shù)的估計問題. 在加權(quán)p,q對稱損失函數(shù)[12]

(2)

下，當刻度參數(shù)θ已知時，研究Pareto分布形狀參數(shù)α的最小風險同變估計的一般形式及其性質(zhì)，然后經(jīng)由Bayes估計，得到α的最小風險同變估計的精確形式，并證明這一最小風險同變估計同時還具有最小最大性，即它也是α的一個最小最大估計. 在一定程度上將Bayes估計、最小風險同變估計以及最小最大估計聯(lián)系在一起.

1 形狀參數(shù)的最小風險同變估計

這一節(jié)在損失函數(shù)(2)下，對Pareto分布(1)，當刻度參數(shù)θ已知時，討論形狀參數(shù)α的最小風險同變估計的一般形式與精確形式.

Pareto分布(1)中形狀參數(shù)α的最小風險同變估計由下面的定理給出.

定理1若X1,X2,…,Xn為抽自Pareto總體(1)的一組容量為n的樣本，記為X=(X1,X2,…,Xn)，再記Z=(Z1,Z2,…,Zn)，其中Zi=Xi/Xn,i=1,2,…,n-1，Zn=Xn/|Xn|，當刻度參數(shù)θ給定時，假設(shè)估計量δ0(X)為形狀參數(shù)α在損失函數(shù)(2)下的同變估計，且具有有限風險，則α的最小風險同變估計具有如下的形式

且在幾乎處處相等的意義下，該估計是唯一的，其中E1表示α取1時估計量的數(shù)學期望.

對Pareto分布(1)，若要給出形狀參數(shù)的α最小風險同變估計的精確形式，則只需預(yù)先給定該參數(shù)的一個風險有限的同變估計δ0(X)，由定理1.1 的表達式即可完成，但是計算比較麻煩.下面將在Bayes框架下，經(jīng)由討論α的Bayes估計，較快捷地得到α的最小風險同變估計的精確形式.

證取參數(shù)α的任一估計量δ(X)，則在損失函數(shù)(2)下，δ(X)對應(yīng)的Bayes風險為

在兩種給定先驗分布下，參數(shù)α的Bayes估計的精確形式由下面推論給出.

證由于樣本X1,X2,…,Xn的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

從而參數(shù)α的后驗密度為

由定理2知，α的Bayes估計為

下面來證明這一Bayes估計是唯一的，為此只需證明δB(X)的Bayes風險有限，即rπ(δB(X))<∞.

從而δB(X)的Bayes風險為

即δB(X)的Bayes風險有限，所以α的Bayes估計δB(X)是唯一的.

推論2在無信息先驗分布π(α)=1/α下，參數(shù)α的廣義Bayes估計的形式為

同時δ*(X)也是α的最小風險同變估計[14].

再由文獻[11]知，δ*(X)也是α的最小風險同變估計.

2 參數(shù)α的最小最大估計

參數(shù)α的最小風險同變估計δ*(X)也是它的最小最大估計，為證明這一論斷，先介紹如下引理[15].

證易知參數(shù)α的估計量δ*(X)的風險函數(shù)為

即R(α,δ*)是一個只與p、q、n有關(guān)的常數(shù)，記為ρ*. 取參數(shù)α的先驗分布列為

當k→∞時，有rπk(δ*)→ρ*. 于是，由引理2.1知，δ*(X)是參數(shù)α的最小最大估計.

3 結(jié)束語

Pareto分布參數(shù)的估計是現(xiàn)代統(tǒng)計文獻中比較常見的研究內(nèi)容，本文基于p,q對稱損失函數(shù)，經(jīng)由廣義Bayes估計，在刻度參數(shù)給定條件下，較快捷地給出了形狀參數(shù)的最小風險同變估計的精確形式，并證明了它還是該參數(shù)的最小最大估計.本文得到的估計形式更簡捷，可根據(jù)需要靈活調(diào)整待定常數(shù)p,q的值以得到預(yù)期的估計形式.

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MinimumRiskEquivariantEstimatorofParetoDistributionShapeParameter

XUBao*,WANGYu-ting,MAYi-guang

(Faculty of Mathematics, Jilin Normal University, Siping 136000, China)

For the Pareto distribution, in the present work, the form and property of the minimum risk equivariant estimator for shape parameters with known local parameters were investigated under weightedp,qsymmetric entropy loss by the method of parameter estimation. The general form of the minimum risk equivariant estimator was obtained, and the exact form of the minimum risk equivariant estimator was found using the general Bayes estimator of shape parameter. The minimaxity of this minimum risk equivariant estimator was proved. The relationships among the general Bayes estimator, the minimum risk equivariant estimator, and the minimax estimator have been established.

Pareto distribution; minimum risk equivariant estimator; Bayes estimator; minimax estimator

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.06.013

2016-11-16

國家自然科學基金資助項目(11571138)

*通訊作者,E-mail：xubao97@163.com

O212.8

A

1000-2537(2017)06-0076-04

(編輯 HWJ)