一類p-基爾霍夫方程的正解

劉峰霞， 張建明， 王淑麗， 郭祖記

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

一類p-基爾霍夫方程的正解

劉峰霞， 張建明， 王淑麗， 郭祖記

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

利用變分方法研究了RN上帶有勢(shì)函數(shù)的p-基爾霍夫型方程正解的存在性. 首先證明該問題的能量泛函存在(C)c序列, 然后由(C)c序列的有界性, 徑向?qū)ΨQ空間和勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)證明此(C)c序列具有收斂子列. 因而證明了該問題至少存在一個(gè)非平凡解, 最后證明此平凡解是正解.

p-基爾霍夫方程; (C)c序列; 山路引理; 正解

0 引 言

本文將考慮如下p-基爾霍夫型方程

正解的存在性, 其中a>0,b≥0是常數(shù), -Δpu=-div(|u|p-2u)是p-拉普拉斯算子,N≥3, 1

f1)f∈C(R,R+),f(s)=0,s≤0.

m=F(r),μF(s)-f(s)s≤κs2, ?s≥r.

α2) 存在ρ>0 和β∈ (0,|α|∞), 使得meas[Bρ(0)α-1(β,+∞) ]=0且

?x∈RN.

當(dāng)p=2時(shí), 問題(P)和下面的方程

有關(guān), 它是被Kirchhoff[1]作為經(jīng)典的D’Alambert波動(dòng)方程提出來(lái)的. 一些關(guān)于Kirchhoff方程的早期的經(jīng)典研究[2-3], 直到Lions[4]對(duì)方程(1)提出了一個(gè)抽象的框架之后, 問題(1)才受到了廣泛關(guān)注. 一些有關(guān)問題(1)的其他結(jié)論[5-7]. 很多作者[8-10]在全空間研究了方程

解的存在性和多重性. 受文獻(xiàn)[11]的啟發(fā), 本文討論在f1)～f5)和α1)～α2)的假設(shè)條件下, 問題(P)的正解存在性, 且證明方法和文獻(xiàn)[11]有所不同.

1 預(yù)備知識(shí)

E

u(x) =u(|x|)}.

由Sobolev嵌入定理, 對(duì)q∈[p,p*], 嵌入W1,p(RN)?Lq(RN)是連續(xù)的, 即存在γq>0, 使得

|u|q≤γq‖u‖, ?u∈W1,p(RN),

式中： |·|q表示Lq(RN)中的范數(shù). 定義泛函I∶E→R為

顯然,I∈C1(E,R), 且

〈I′(u),v〉=

則I在E中的臨界點(diǎn)是問題(P)的解.

定理1[12]設(shè)E是一個(gè)Banach空間,E*是它的對(duì)偶空間,I∈C1(E,R). 若存在正數(shù)ζ,η,ρ和點(diǎn)e∈E, 滿足‖e‖>ρ且

?！?{γ∈C([0,1],E)∶γ(0),γ(1)=e},

則存在一個(gè)序列{un}?E滿足

I({un})→c≥η,

這種序列通常被稱為(C)c序列.

引理1 存在ρ,η>0, 使得對(duì)一切滿足‖u‖=ρ>0 的u, 有I(u)≥η.

證明由f2)和f4)知, 任給ε>0, 存在A=A(ε,θ), 使得

f(s)≤ε|s|p-1+A|s|θ-1,

結(jié)合式(2)， 式(3)和式(6)， 有

I(u)≥

引理2 在f3)條件下, 存在e∈E使得‖e‖>ρ且I(e)<0.

結(jié)合f3)及式(7)可知,

由f2})和式(8)得， 任給M>0， 存在C1=C1(M,τ)>0， 使得

定義函數(shù)

引理3 若{un}?E滿足式(5)， 則{un}有界.

wn?w在E上；wn→w在Lσ(RN)上，σ∈(p,p*)；wn(x)→w(x) a.e.x∈RN. 記Ω±∶={x∈RN∶±w(x)>0}， 則由式(8)可得

a.e.x∈Ω+.

另一方面， 由

可得

再由Fatou引理， 有

因此， meas(Ω+)=0. 又式(5)蘊(yùn)含

結(jié)合f5)， 有

pI(tun)≤pI(tnun)-〈I′(tnun),tnun〉=

?t∈[0,1].

由式(5)可知I(un)=c+o(1), 〈I′(un),un〉=o(1).

所以，

若tn=1， 則pI(tun)≤pI(un)=pc+o(1), ?t∈[0,1]. 故式(11)也成立.

另一方面， 由于嵌入E?Lθ(RN)是緊的， 故在Lθ(RN)上，wn→0. 結(jié)合式(6)，α1)以及H?lder不等式可知， 任取R∈R+,

|wn|p+

因此，

結(jié)合式(11)和式(12)可得，

若R→+∞， 這是一個(gè)矛盾， 所以{un}有界. 引理得證.

2 主要結(jié)論

定理2 若f1)～f5)及α1)～α2)成立， 則問題(P)至少有一個(gè)正解u∈E， 滿足I(u)>0.

證明由引理 1， 引理2和定理1得， 存在{un}?E滿足式(5)， 其中

Γ={γ∈C([0,1],E)∶γ(0)=0,γ(1)=e}.

又由引理3可知{un}有界， 故存在u∈E使得

un?u在E上，un→u在Lθ(RN)上，

下證在E上，un→u. 由式(5)和式(15)可得

o(1)=〈I′(un)-I′(u),un-u〉=

再由式(6)， Young不等式和H?lder不等式可知

|un|p-1|un-u|+A|un|θ-1|un-u|)≤

結(jié)合式(15)， 式(1)和{‖un‖}的有界性得，

同理

任取ξ,η∈Rn,n∈N， 由不等式[13]

(|ξ|p-2ξ-|η|p-2η)(ξ-η)≥

由式(16)～式(21)可得，

所以,

即在E上，un→u. 進(jìn)一步， 有I(u)=c，I′(u)=0. 由f1)和〈I′(u),u-〉=0得u-=0, 即u(x)≥0. 再由Harnack不等式知u(x)>0對(duì)于所有的x∈RN都成立， 故定理得證.

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PositiveSolutionofthep-KirchhoffEquation

LIU Feng-xia, ZHANG Jian-ming, WANG Shu-li, GUO Zu-ji

(College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

The existence of positive solutions forp-Kirchhoff-type equation with a potential function onRNwas investigated by using variational methods. Firstly, (C)csequence of the energy functional corresponding to the equation was obtained. Secondly, it was demonstrated that the (C)csequence contained the convergent subsequence through the boundedness of the sequence, the property of radial symmetry space and the assumptions of the potential function, and then the problem (P) has at least one nontrivial solution. Finally, it draws the conclusion that the nontrivial solution is positive.

p-Kirchhoff equation; (C)csequence; mountain pass theorem; positive solution

1673-3193(2017)05-0513-05

2016-04-18

山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(201601D102001)

劉峰霞(1991-)， 女， 碩士生， 主要從事非線性泛函分析研究.

O175

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.05.002