高階非齊次線性微分方程解的增長級

周 鑒， 龍見仁

(貴州師范大學 數學科學學院， 貴州 貴陽 550001)

高階非齊次線性微分方程解的增長級

周 鑒， 龍見仁

(貴州師范大學 數學科學學院， 貴州 貴陽 550001)

運用微分方程復振蕩的理論， 研究一類具有整函數系數的高階非齊次復線性微分方程解的增長級， 其中方程的系數均為整函數且非齊次項不恒為零. 當方程的系數增長級滿足一定的條件時， 方程任一非零解具有無窮增長級.

線性微分方程； 增長級； 整函數； 零點收斂指數

考慮給定k≥2階線性微分方程

式中：Ai(i=0,1,…,k-1),F均為整函數且F不恒為零.

方程(1)對應的齊次方程為

定理1 設k≥2為自然數，A0,A1,…,Ak-1,F均為有窮級整函數且F不恒為零, 存在As(0≤s≤k-1) 使得對于正實數α>0,β>0, 有ρ(Ai)<β(i≠s)及ρ(F)<β且

i) 或者max{ρ(A),i=1,…,s-1}>ρ(A0)>ρ(F).

ii) 或者ρ(Ai)<ρ(F), (i=0,1,…,s-1).

如果對于任意給定的ε>0, 存在有窮實數序列{φm}, {θm}滿足條件

φ1<θ1<φ2<θ2<…<φn<θn<φn+1=

且

使得當z→∞,φm≤argz≤θm(m=1,…,n)有

則

1) 方程(1)的任意不恒為零解f滿足

2) 對于任意的有窮級整函數φ有

定理2 設k≥2為自然數,A0,A1,…,Ak-1,F均為有窮級整函數且F不恒為零, 存在As(0≤s≤k-1) 使得對于正實數α>0,β>0, 有ρ(Ai)<β(i≠s)及ρ(F)≥β， 且max{ρ(Ai),i=1,…,s-1}>ρ(A0).

如果對于任意給定的ε>0, 存在有窮實數序列{φm}, {θm}滿足條件(3),(4) 使得式(5)成立， 則

1) 方程(1)的任意解f滿足式(6), 至多一個有窮級解f0.

3) 如果f為方程(1)中的無窮級解，φ有窮級整函數但非方程(1)的解則

∞.

4) 如果f0為(1)中的有窮級解， 則對于方程(1)中的任一無窮級解f及任意常數c≠1有

∞.

1 預備知識

引理1[10]設f(z)為一個有窮ρ級超越亞純函數， 對于給定的正數ε存在一個線性零測度集E1?[0,2π), 使得如果ψ1∈[0,2π)E1, 則存在一個常數R1(ψ1)>1使得對所有滿足條件: argz=ψ1且|z|≥R1(ψ1)的復數z及所有的實數對(k,j)這里k>j≥0， 有不等式

引理2[11]設f(z)是整函數， |f(k)(z)|在某條射線argz=θ上無界， 則存在無窮序列zn=rneiθ(n=1,2,…)趨于無窮， 使得rn→∞時有f(k)(zn)→∞且

|zn|k-j

引理4 設k≥2為自然數,A0,A1,…,Ak-1, 均為整函數, 對于給定實數α>0,β>0,θ1<θ2, 存在As(0≤s≤k-1)， 當z→∞,z∈S={z∶θ1≤argz≤θ2}有

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如果f為方程(2)非零解且ρ(f)=ρ<∞, 則對于任意ε>0, 存在M>0, 成立不等式|f(z)|≤M|z|s. 其中z∈Sε={z∶θ1+ε≤argz≤θ2-ε}, |z|≥R0>0.

證明由ρ(f)=ρ<∞, 由引理1知， 存在一個線性零測度集E1?0,2π), 使得如果ψ0∈[0,2π)E1, 則存在常數R0=R0(ψ0)>1使得對所有滿足條件: argz=ψ0且|z|≥R0(ψ0)的復數z及i=s+1,…,k有

下證|f(s)(z)|在任意射線argz=ψ∈[θ1,θ2]E1上有界.

反設|f(s)(z)|在某條射線argz=ψ1∈[θ1,θ2]E1上無界, 由引理2知， 存在無窮序列zn=rneiψ1(n=1,2,…)趨于無窮， 使得rn→∞時有f(s)(zn)→∞且

|zn|s-i≤

由方程(2)有

結合式(11)～(13)有

式中：M0,M1為某個正實數. 這與式(10)相矛盾.

進一步由引理3易知， 存在M2>0, 使得任意的z∈Sε={z∶θ1+ε≤argz≤θ2-ε}有

由f(z)的s階Taylor展開式

故

|f(z)|≤|f(0)|+|f′(0)||z|+…+

式中：M為某個正實數且z∈Sε, |z|≥R0>0.

引理5 設k≥2為自然數,A0,A1,…,Ak-1,α,β,ε,θ1,θ2,Sε， 如引理4所給，F為整函數且ρ(F)<β, 則對于方程(1)的任意有窮級解f有|f(z)|≤M|z|s. 其中z∈Sε, |z|≥R0>0,M為某個正實數.

證明由ρ(f)=ρ<∞及引理4的證明可知式(12)仍然成立.

下證|f(s)(z)|在任意射線argz=ψ∈[θ1,θ2]E1上有界.

反設|f(s)(z)|在某條射線argz=ψ1∈[θ1,θ2]E1上無界, 由引理4證明可知式(13)成立.

由于|f(s)(zn)|→∞, (n→∞), 不妨設|f(s)(zn)|≥1, 注意到ρ(F)<β， 故

結合式(1), 式(11)～(13), 式(18)可得

M0exp{o(1)|zn|β}|zn|M1,

其中，M0,M1為某個正實數. 這與式(10)相矛盾.

同引理4的證明， 可得

f(z)|≤M|z|s,

其中,M為某個正實數且z∈Sε, |z|≥R0>0.

引理6 設k≥2為自然數,A0,A1,…,Ak-1為有窮級整函數, 存在As(0≤s≤k-1)使得對于α>0,β>0有

如果對于任意給定的ε>0, 存在有窮實數序列{φm}, {θm}滿足條件(3)和(4) 使得當z→∞,z∈Dm={z∶φm≤argz≤θm, (m=1,…,n)}有

則方程(2)的任意解f均為無窮級.

則當|z|=r>r0+1時， 有

故在角域θm-ε≤argz≤φm+1+ε, (m=1,…,n)中， 當|z|=r>r0+1時， 有

如果多項式f的次數degf≥s， 則

ρ(f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f)=

ρ(As)≥β>0.

這與方程(2)相矛盾.

如果多項式f的次數degf≤s-1， 則

ρ(As-1f(s-1)+…+A0f)>ρ(A0)≥0，

這也與方程(2)相矛盾.

故方程(2)的任意解f均為無窮級.

引理7 設k≥2為自然數,A0,A1,…,Ak-1,α,β,ε,{φm},{θm},Dm， 如引理6所給，F為整函數且ρ(F)<β, 且成立

i) 或者ρ(Ai)<ρ(F), (i=01,,…,s-1)，

ii) 或者max{ρ(Ai),i=1,…,s-1}>ρ(A0)>ρ(F)，

則方程(1)的任意解f均為無窮級.

同理， 在角域θm-ε≤argz≤φm+1+ε, (m=1,…,n)可得|f(z)|≤M|z|s.

由此可知， |f(z)|≤M|z|s全平面成立， 因此f(z)為多項式.

如果多項式f的次數degf≥s， 則

ρ(f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f)=

ρ(As)≥β>ρ(F),

這與方程(1)相矛盾.

如果多項式f的次數degf≤s-1， 則

i) 當ρ(Ai)<ρ(F), (i=0,1,…,s-1)時，

ρ(f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f)=

max{ρ(Ai)∶i=0,1,…,s-1}<ρ(F).

這與方程(1)相矛盾.

ii) 當max{ρ(Ai),i=1,…,s-1)>ρ(A0)>ρ(F)時，

ρ(As-1f(s-1)+…+A0f)=max{ρ(Ai)∶

i=0,1,…,s-1)}≥ρ(A0)>ρ(F)，

這也與方程(1)相矛盾.

故方程(1)的任意解f均為無窮級.

引理8[13]設A0,A1,…,An-1,F≠0為有窮級亞純函數,f為方程

2 定理的證明

定理1的證明

2) 令g=f-φ， 由于f為方程(1)的解， 且ρ(φ)<∞， 故

ρ(g)=ρ(f-φ)=max{ρ(f),ρ(φ)}=

ρ(f)=∞.

而f=g+φ， 將其代入方程(1)中有

g(k)+Ak-1g(k-1)+…+A0g=

由于ρ(φ)<∞， 故φ不可能為方程(1)的解, 因此，

記G=F-(φ(k)+Ak-1φ(k-1)+…+A0φ)≠0， 則對于方程

∞.

定理2的證明

1) 不妨設f0為方程(1)的一個有窮級解， 即ρ(f0)<∞.

如果方程(1) 還有另外一個有窮級解f1， 滿足ρ(f1)<∞且f0≠f1.

由增長級的定義可知

另外，f0-f1顯然應滿足方程(2).

由引理6可知

ρ(f0-f1)=∞， 這與ρ(f0-f1)<∞相矛盾.

故方程(1)至多有一個有窮級解.

再由引理8知， 方程(2)的任一無窮級解f應滿足

2) 設f0為方程(1)中的有窮級解，ρ(f0)<∞, 則由方程(1)可知, 當z0為f0的d階零點且d>k， 則z0必為F的d-k階零點， 因此

又由值分布理論的對數導數引理知識可知

由方程(1)可得

故

由式(33), (34)和(36)有

記α=max{ρ(As),ρ(F)}, 則對于任意ε>0及充分大的r， 有

T(r,F)

由式(37)和(38)有

故

ρ(f0)≤max{ρ(F),ρ(As)}.

另一方面由方程(1)可見

ρ(f0)≥max{ρ(F),ρ(As)}.

故

3) 設f為方程(1)中的無窮級解，φ為有窮級整函數但非方程(1)的解.

令g=f-φ， 則ρ(g)=ρ(f-φ)=max{ρ(f),ρ(φ)}=ρ(f)=∞.

而f=g+φ， 將其代入方程(1)中有

g(k)+Ak-1g(k-1)+…+A0g=

F-(φ(k)+Ak-1φ(k-1)+…+A0φ).

又φ非方程(1)的解， 因此

F-(φ(k)+Ak-1φ(k-1)+…+A0φ)≠0.

4) 設f0為方程(1)中的有窮級解， 則對于方程(1)中的任一無窮級解f及任意常數c≠1， 令g=f-cf0， 則g滿足方程

g(k)+Ak-1g(k-1)+…+A0g=(1-c)F.

[1] 楊樂. 值分布及其新研究[M]. 北京： 科學出版社， 1982.

[2] Hayman W K. Meromorphic function[M]. Oxford： Clarendon， 1964.

[3] 張廣厚. 整函數和亞純函數理論-虧值、 漸進值和奇異方向[M]. 北京： 科學出版社， 1986.

[4] Chen Zongxuan， Gao Shian. Entire solutions of differential equations with finite order transcendental entire coefficients[J]. Acta Mathematica Sinica， 1997， 13(4)： 453-464.

[5] Li Yezhou， Wang Jun. Oscillation of solution of linear differential equations[J]. Acta Mathematica Sinica ， 2008， 24(1)： 167-176.

[6] Wang Jun， Laine I. Growth of solutions of nonhomogeneous linear differential equations[J]. Abstract &Applied Analysis， 2009， 2009(1)： 1-11.

[7] Habib H， Beladi B. On the growth of solutions of some higher order linear differential equations with entire coefficients[J]. Theory Differential Equations， 2011， 93(2)： 1-13.

[8] Long Jianren. On complex oscillation theory of solutions of some higher order linear differential equations[J]. Journal of Math Research with Applications， 2012， 32(4)： 423-430.

[9] Grohn J， Rattya J. On oscillation of solutions of linear differential equations[J]. Journal of Geometric Analysis， 2015， 20(5)： 1-18.

[10] Gunderson G G. Estimates for the logarithmic derivative of meromorphic function plus similar estimates[J]. Journal of the London Mathematical Society， 1988， 37(2)： 88-104.

[11] Laine I， Yang Ronghua. Finite order solutions of complex linear differential equations [J]. Electronic Journal of Differential Equations， 2004， 2004(65)： 281-286.

[12] Chen Zongxuan， Gong Juan， Zheng Xiumin. On the growth of solutions to higher order differential equations[J]. Annals of Differential Equations， 2012， 2(2)： 170-179.

[13] 高仕安， 陳宗煊， 陳特為. 線性微分方程的復振蕩理論[M]. 武漢： 華中理工大學出版社， 1998.

GrowthofSolutionsofNon-HomogeneousHigherOrderLinearDifferentialEquations

ZHOU Jian， LONG Jian-ren

(School of Mathematics science, Guizhou Normal University, Guiyang 550001, China)

This paper concerned with the growth of solutions of the non-homogeneous higher order linear differential equations with entire function coefficients by using complex oscillation theory of linear differential equations, where the coefficients are entire functions and the non-homogeneous term unequal to zero. It is shown when the coefficients order meets certain conditions then every non-zero solution of the equation is of infinite order.

linear differential equations; growth; entire function; convergence exponent of zero

1673-3193(2017)05-0544-05

2016-09-30

國家自然科學基金資助項目(11501142)； 貴州省科學技術基金(黔科合J字LKS[2009]04號)

周 鑒(1976-)， 男， 副教授， 博士生， 主要從事復分析的研究.

O174.52

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.05.007