多維剖析“探”思路，多重深挖“究”拓展
——對一道2017年圓錐曲線高考題的探究與拓展

安徽省阜陽市第三中學(xué) (236000) 凡勝富安徽省阜陽市潁泉小學(xué) (236000)

蔣 娟

多維剖析“探”思路，多重深挖“究”拓展
——對一道2017年圓錐曲線高考題的探究與拓展

安徽省阜陽市第三中學(xué) (236000) 凡勝富安徽省阜陽市潁泉小學(xué) (236000)

蔣 娟

一、題目呈現(xiàn)

(2017年全國新課標Ⅰ卷理10)已知F為拋物線C：y2=4x的交點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為( ).

A．16B．14C．12D．10

二、解法賞析

此題屬解析幾何中經(jīng)?？疾榈臒狳c題型(最值問題)，其解題的方法體現(xiàn)了解析幾何解決問題的通性通法，主要考查拋物線的定義，焦點弦以及基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及運算求解能力.

評注:考查最值問題時易想到用函數(shù)方法和基本不等式進行解決.故設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，借助韋達定理來表示出弦長，使用基本不等式即可求出最小值.

圖1

評注:對于拋物線過焦點的弦長問題，應(yīng)聯(lián)想拋物線的定義，把到焦點的距離轉(zhuǎn)化到準線的距離，利用幾何圖形的特征進行求解.

評注:由于直線AB過焦點，所以可設(shè)AB參數(shù)式方程，為表示AB長度帶來簡便，把最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的有界性易求出最值.

三、拓展研究

進一步研究，筆者發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論可以推導(dǎo)到圓錐曲線中：

由于雙曲線不封閉有兩條漸近線，所以直線與其有兩交點，對斜率有一定要求，所以這個結(jié)論有所不同，篇幅有限，這里不再證明.

由于圖形中AB⊥CD這一幾何特征，可繼續(xù)研究四邊形ACBD的面積.不難發(fā)現(xiàn)：

上述結(jié)論也可以推導(dǎo)到圓錐曲線中去：

推論2 過拋物線E：y2=2px焦點F作兩條互相垂直的直線l1,l2，直線l1與E交于A,B兩點，直線l2與E交于C,D兩點，則四邊形ACBD面積的最小值為8p2，無最大值.

同樣，這個結(jié)論也可以繼續(xù)推導(dǎo)得出以下結(jié)果：

當(b2-a2k2)(b2k2-a2)<0時，則

四、結(jié)束語

圓錐曲線中有著許多完美的性質(zhì)，當今一些高考題往往也以此為背景命制試題來考查學(xué)生的思維、運算能力，這就需要我們在平時的學(xué)習中，對問題多思考一點，對結(jié)論多探究和延伸一點，就會發(fā)現(xiàn)題目背后隱藏的知識本源，既培養(yǎng)了思維能力，又提升了解題效率，何樂而不為呢.

[1]吳海飛.橢圓中正交焦點弦相關(guān)性質(zhì)在高考中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2013(3).

[2]胡云浩.2015年全國新課標Ⅰ卷理科第20題的深度探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上)，2015(10).

[3]徐永強.對一道圓錐曲線問題的探究與拓展[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016(9).