具有分?jǐn)?shù)階阻尼的波動(dòng)方程的吸引子的正則性

韓英豪， 田雨嘉， 劉 爽， 楊玉彤

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

具有分?jǐn)?shù)階阻尼的波動(dòng)方程的吸引子的正則性

韓英豪， 田雨嘉， 劉 爽， 楊玉彤

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

研究了具有分?jǐn)?shù)階衰減項(xiàng)的半線性波動(dòng)方程解的漸近正則性.當(dāng)非線性項(xiàng)滿足臨界增長(zhǎng)率時(shí)，韓英豪等人證明了上述方程相關(guān)聯(lián)的半群在相空間H0中具有整體吸引子A.對(duì)外力項(xiàng)f和非線性項(xiàng)φ附加一些條件下可以證明上述半群在相空間H1中具有整體吸引子A1．顯然，A1?A.如果可以證明A是H1的有界集，那么由整體吸引子的極大性，反過來的包含關(guān)系就成立．但一般情況下，僅僅假設(shè)f∈H-1(Ω)，不能證明A在H1中的有界性．對(duì)f和φ施加適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下證明了A在H1中的有界性．

漸近正則性；分?jǐn)?shù)階衰減；半線性波動(dòng)方程

研究如下具有分?jǐn)?shù)階衰減項(xiàng)的半線性波動(dòng)方程的漸近正則性：

utt+ω(-Δ)θut-Δu+φ(u)=f,x∈Ω,t≥0.

(1)

其中，Ω?3是有界立方體．即，存在L1,L2,L3>0，使得而θ∈(0,1],ω>0是給定參數(shù)．未知函數(shù)u=u(x,t)滿足初始條件

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈Ω

和周期邊界條件

其中，Γj=?！蓒xj=0},Γj+3=Γ∩{xj=Lj},j=1,2,3,f為外力項(xiàng)，φ為非線性項(xiàng)．

對(duì)此類方程有一些學(xué)者進(jìn)行過研究．在文獻(xiàn)[1]中對(duì)上述方程研究了局部解的存在性，在文獻(xiàn)[2-3]中研究了漸近行為，在文獻(xiàn)[4-6]中證明了吸引子的存在性．

文獻(xiàn)[4]中對(duì)外力項(xiàng)f(x)給出了如下條件:

f(x)∈H-1(Ω).

(2)

對(duì)非線性項(xiàng)φ∈C()給出了如下條件：

存在c>0,對(duì)任意r,s∈，滿足

|φ(r)-φ(s)|≤c|r-s|(1+|r|ρ+|s|ρ).

(3)

(4)

不失一般性，不妨設(shè)γ≥3.由條件(4)可推得，存在α<λ1滿足

φ1(r)r≥-αr2-c, ?r∈.

(5)

在以上假設(shè)條件下對(duì)方程(1)有如下結(jié)論.

定理1[4]對(duì)于任意ω>0,半群S(t)擁有一個(gè)連通的整體吸引子A=A(ω)?H0.

另外，還可以得到如下漸近衰減性結(jié)論.

推論1[4]當(dāng)φ1≡0,f≡0時(shí)，S(t)衰減到0.因而,集合{0}?H0是S(t)在H0上的整體吸引子.

在本文，進(jìn)一步對(duì)非線性項(xiàng)施加如下條件.

φ0(r)=0, ?r∈,

(6)

φ1∈C1(?r∈.

(7)

并且，對(duì)外力項(xiàng)假設(shè)

(8)

在以上基礎(chǔ)上將得到如下關(guān)于漸近正則性的結(jié)論.

定理2假設(shè)以上關(guān)于f和φ的條件(3)～條件(8)全部都成立.那么，存在M≥0,v>0以及H1中的一個(gè)有界閉集B1，滿足

distH0(S(t)B0,B1)≤Me-v t, ?t∈+.

其中,distH0表示在H0上的通常Hausdorff半度量.

在本文各種符號(hào)和函數(shù)空間的定義都與文獻(xiàn)[4]保持一致.

為了證明定理2，對(duì)于以初始值為z0=(u0,u1)∈H0的方程(1)的解u分解成2個(gè)部分u(t)=v(t)+w(t).其中，v和w分別滿足如下2個(gè)偏微分方程:

(9)

和

(10)

為了方便，引入如下符號(hào)

z(t)=(u(t),ut(t)),

zv(t)=(v(t),vt(t)),

zw=(w(t),wt(t)).

引理1[3]設(shè)Φ是一個(gè)在+上絕對(duì)連續(xù)的正函數(shù),對(duì)ε>0,幾乎所有t∈+,滿足如下微分不等式

其中,g,h是在+上的函數(shù)，對(duì)某m1≥0和μ∈[0,1)，滿足

對(duì)某一m2≥0，有

那么，對(duì)于β=β(m1,μ)≥1和

(11)

有

Φ(t)≤βΦ(0)e-ε t+ρ, ?t∈+.

引理2給定σ∈[0,1],對(duì)Rσ≥0,假設(shè)‖z0‖≤Rσ.那么存在常數(shù)

Kσ=Kσ(Rσ)≥0,
Λσ=Λσ(Rσ)≥0,
μσ=μσ(Rσ)∈[0,1),

使得

‖z(t)‖σ≤Kσ, ?t∈+.

(12)

并且

(13)

證對(duì)于σ=0的情況，由于方程(9)滿足推論1的條件，因而根據(jù)推論1，直接得到本引理結(jié)論.下面將證明，對(duì)給定σ∈[0,1),只要s滿足

那么，結(jié)論對(duì)σ+s同樣成立.從而，經(jīng)過有限步的重復(fù)上述過程，對(duì)于任意σ∈[0,1]引理結(jié)論都成立.下面假設(shè)，對(duì)給定σ∈[0,1),條件(12)、條件(13)都成立.以下證明過程中常數(shù)c≥0可能與Rσ有關(guān).證明分2種情況進(jìn)行討論.

Φ(t)=‖A(1+σ+s)/2u(t)‖2-εω‖A(θ+σ+s)/2u(t)‖2+
‖A(σ+s)/2ξ(t)‖2+g(t)+k0,

(14)

其中，g的定義如下：

g(t)=2〈φ1(u(t)),Aσ+su(t)〉-2〈f,Aσ+su(t)〉.

計(jì)算

2|〈φ1(u),Aσ+su〉|≤

c(1+‖Aq/2u‖)‖A(1+σ+s)/2u‖,

其中，q=max{4σ+2s+γ-2γσ-3/2,0}.

由于q<1+σ+s,利用式(12)可得，對(duì)足夠小的常數(shù)v>0,存在cv=cv(Rσ)>0,使得

‖Aq/2u‖≤v‖A(1+σ+s)/2u‖+cv.

這將得到如下不等式

對(duì)2|〈f,Aσ+su〉|可直接得到如下不等式

在φ(t)的定義中，可以選取足夠大的k0和足夠小的ε0,使得對(duì)所有ε∈[0,2ε0]都有不等式

(15)

成立.另一方面,由Φ(t)的定義以及附加條件(8),可得

(16)

其中，

(17)

從條件(4)和式(15)可得

(18)

利用不等式(17)和不等式(18),從式(16)可得

(19)

其中，h(t)=c‖A(θ+σ)/2ut(t)‖.利用式(14),式(16),式(19),可得

因而，當(dāng)選取ε0足夠小的時(shí)候，對(duì)所有ε∈[0,2ε0],都有

(20)

(21)

考慮到

由此，式(20)和式(21)中，Φ,h和μ滿足引理1的條件.從而，根據(jù)引理1,當(dāng)ε=ε0時(shí)，利用式(15)得到

根據(jù)式(11)，其中的ρ的值為

在區(qū)間(τ,t)上，對(duì)t進(jìn)行積分，再利用式(21)，得到，對(duì)σ+s式(13)同樣成立.

基于這個(gè)估計(jì)式，類似于情況1的證明，可以得到引理2的最終結(jié)論.

引理3給定σ∈[0,1),并設(shè)

(22)

對(duì)任意給定Rσ≥0,存在Rσ+s=Rσ+s(Rσ),當(dāng)‖z0‖σ≤Rσ時(shí)，有

‖zw(t)‖σ+s≤Rσ+s, ?t∈+.

證在此引理證明中規(guī)定常數(shù)c≥0是依賴于Rσ的值.定義能量函數(shù)

Φw(t)=‖A(1+σ+s)/2w(t)‖2-εω‖A(θ+σ+s)/2w(t)‖2+‖A(σ+s)/2ξw(t)‖2+gw(t)+k0.

其中,ε>0,k0=k0(Rσ),ξw=wt+εw,并且

gw(t)=2〈φ1(u(t)),Aσ+sw(t)〉-2〈f,Aσ+sw(t)〉.

由于

因而，當(dāng)取k0的值足夠大，ε的值足夠小的時(shí)候，可使

利用連續(xù)嵌入公式，可得

綜合以上2種情況，得到不等式

另一方面，考慮到Y(jié)oung不等式

現(xiàn)在，對(duì)式(10)兩端與Aσ+sξw做內(nèi)積，當(dāng)取ε>0足夠小的時(shí)候，由于h滿足式(21)，從而

最后，利用引理1即可得到本引理的結(jié)論.

引理4[6]設(shè)K1,K2,K3是H0的子集，對(duì)?1，?2≥0和L1，L2≥0,如果

distH0(S(t)K1,K2)≤L1e-?1t,

distH0(S(t)K2,K3)≤L2e-?2t,

并假設(shè)，對(duì)任意z1，z2∈∪t≥0S(t)Kj(j=1,2,3)，有

‖S(t)z1-S(t)z2‖0≤L0e?0t‖z1-z2‖0.

其中，?0≥0,L0≥0.那么

distH0(S(t)K1,K3)≤Le-?t.

distH0(S(t)Bσj-1，Bσj)≤Mje-v0t， ?j=1,…,n．

distH0(S(t)B0,B1)≤Me-v t．

這就證明了定理結(jié)論．

從B1出發(fā)的解滿足額外的正則性．

推論2存在常數(shù)c≥0，對(duì)t≥1，使得supz0∈B1‖zt(t)‖0≤c.

證對(duì)初始條件z0=(u0,u1)∈B1，考慮非齊次線性方程

(23)

此方程是對(duì)方程(1)關(guān)于t求微分所得的．在引理2中，當(dāng)σ=1時(shí)，得到

對(duì)于給定的r∈[t,t+1],把上面不等式在區(qū)間(r,t+1)上做積分，然后利用Gronwall引理得到本推論的結(jié)論.

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Regularityoftheattractorforsemilinearwaveequationswithfractionaldamping

HANYinghao,TIANYujia,LIUShuang,YANGYutong

(School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China)

In this paper, we investigate the asymptotic regularity of the solutions for the semilinear wave equations with fractional damping. Yinghao Han et al. have proved that for the problem with the critical nonlinearity, the associated semigroup possesses a universal attractor A on the phase-space H0. With the additional assumptions for the external thermfand nonlinearityφ, it is also possible to prove that the semigroup possesses a universal attractor A1on the phase-space H1. Clearly, A1?A. If we could prove that A is a bounded subset of H1, then on account of the maximality properties of universal attractors, we would have the reverse inclusion. In general, one cannot have an H1-bound for A assuming only the external thermf∈H-1(Ω). In this paper, we prove the boundedness of A in the space H1under certain assumptions forfandφ.

asymptotic regularity;fractional damping;semilinear wave equation

O175．29;O211．63

A

2017-07-06

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61304056)

韓英豪(1963- )，男(朝鮮族)，遼寧師范大學(xué)副教授，博士.

1000-1735(2017)04-0433-07

10.11679/lsxblk2017040433