基于漢寧雙窗apFFT單譜線插值的電力諧波和間諧波檢測(cè)算法

許鴻飛，張姣姣，龐思睿，李雪梅，金燊，寇曉溪

（國(guó)網(wǎng)冀北電力有限公司信息通信分公司，北京100053）

0 引 言

非線性負(fù)載和電力電子設(shè)備廣泛接入電網(wǎng)，給電網(wǎng)注入了大量諧波成分，導(dǎo)致電壓、電流波形的畸變，直接影響電網(wǎng)的安全、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行。因此，有效檢測(cè)這些畸變信號(hào)中的諧波成分，對(duì)電網(wǎng)諧波治理、提高運(yùn)營(yíng)的經(jīng)濟(jì)性具有重要的意義。

在電網(wǎng)諧波檢測(cè)的方法中，快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）［1］應(yīng)用較早，但 FFT難以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的同步采樣或整數(shù)周期截?cái)啵嬖谙噜忣l譜泄漏干涉和有用頻率點(diǎn)可能不顯示的柵欄效應(yīng)，導(dǎo)致估計(jì)的諧波頻率、幅值和初相位誤差較大。為此，已有學(xué)者利用加窗譜線插值擬合的FFT算法［2-8］、小波分析法［9-11］和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法［12-13］等方法來(lái)提高諧波參數(shù)的估計(jì)精度。其中，加窗譜線插值擬合的FFT算法應(yīng)用較廣泛，該類方法主要是利用性能優(yōu)良的窗函數(shù)和增加譜線來(lái)提高諧波的分析精度，其中在無(wú)噪聲的情況下，以加四項(xiàng)最大旁瓣衰減窗三譜線插值的FFT算法［4］分析的諧波參數(shù)精度最高。小波分析法具有良好的時(shí)頻特性，能夠獲得較精確的諧波參數(shù)，不過(guò)由于采樣頻率的選擇不當(dāng)容易導(dǎo)致高次諧波混入低次諧波的頻率范圍或低次諧波混入高次諧波的頻率范圍，影響諧波分析的準(zhǔn)確性；且該方法對(duì)頻率相近的間諧波分析與檢測(cè)也不太理想，如文獻(xiàn)［10-11］。文獻(xiàn)［12］采用人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)對(duì)諧波進(jìn)行分析，雖然諧波分析精度高，但是該方法必須已知系統(tǒng)精確的基波頻率；文獻(xiàn)［13］指出，多層前饋?zhàn)赃m應(yīng)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法需要大量的訓(xùn)練樣本，訓(xùn)練過(guò)程不確定，神經(jīng)元較多，計(jì)算量較大，且只能分析整數(shù)次的諧波。

全相傅里葉變換（all-phase FFT，apFFT）［14］是由學(xué)者王兆華等提出的一種新型譜分析方法，相比于傳統(tǒng)的FFT，apFFT具有優(yōu)良的抑制頻譜泄漏和抗噪聲干擾的性能［15-16］，且各條譜線的相位值與頻率偏離值無(wú)關(guān)，即“相位不變性”［17］?；赼pFFT這些優(yōu)點(diǎn)，本文通過(guò)在漢寧雙窗apFFT譜分析的基礎(chǔ)上，對(duì)其離散譜進(jìn)行研究，并結(jié)合FFT單峰譜線插值校正算法的原理，由漢寧雙窗apFFT離散譜理論頻率點(diǎn)附近的主譜線和旁譜線進(jìn)行插值校正，即通過(guò)旁譜線與主譜線的比值推導(dǎo)出各理論頻率點(diǎn)的校正量，然后根據(jù)頻率校正量和漢寧雙窗apFFT的幅值譜，估計(jì)出諧波和間諧波的幅值。最后，利用apFFT的“相位不變性”，取頻率點(diǎn)主譜線的相位來(lái)估計(jì)諧波和間諧波的初相位。通過(guò)對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明：提出的漢寧雙窗apFFT單譜線插值頻譜校正算法能夠檢測(cè)出精度更高的諧波和間諧波參數(shù)，抗白噪聲干擾能力也較強(qiáng)。

1 算法原理

1.1 漢寧雙窗apFFT頻譜校正

對(duì)于單頻復(fù)指數(shù)序列：

式中ω0為序列的數(shù)字角頻率；φ0為序列的初相位。根據(jù)文獻(xiàn)［18-19］的推導(dǎo)，當(dāng)對(duì)序列x（n）分別進(jìn)行加窗（即非矩形窗）FFT（觀察區(qū)間 n∈［0，N－1］）和雙窗（即兩個(gè)非矩形窗的卷積窗）apFFT（觀察區(qū)間n∈［－N＋1，N－1］）時(shí)，其加窗FFT和雙窗apFFT離散譜分別為：

式中F（·）為窗函數(shù)的離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）；k＝0，1，…，N－1。

從式（2）和式（3）不難看出，apFFT譜幅值為FFT譜幅值的平方，若采樣點(diǎn)不在理論頻率點(diǎn)上，就會(huì)在理論頻率點(diǎn)附近出現(xiàn)一些離散譜線，若設(shè)峰值點(diǎn)譜線為主譜線，峰值點(diǎn)附近的譜線為旁譜線，那么對(duì)序列做apFFT后，apFFT的旁譜線相對(duì)于主譜線以平方關(guān)系衰減，使得主譜線更加突出，所以apFFT相比于FFT具有更好的抑制譜泄漏性能。此外，apFFT的初相位φ0與頻偏（k－k0）無(wú)關(guān)，具有“相位不變性”的優(yōu)點(diǎn)。

一般情況下，當(dāng)對(duì)式（1）序列進(jìn)行離散采樣時(shí)，序列的數(shù)字角頻率ω0（設(shè)ω0＝k0Δω）不一定是頻率分辨率Δω＝2π/N的整數(shù)倍，序列離散后會(huì)在理論頻率點(diǎn)k0＝ω0/Δω附近出現(xiàn)一條主譜線和一些旁譜線，其分布情況有兩種，如圖1所示。

圖1 兩種離散譜線分布圖Fig.1 Distribution diagram of two kinds of discrete-spectral-lines

圖1中，k*為主譜線位置，k*－1和k*＋1分別為主譜線的左右旁譜線位置，｜Y（k*）｜、｜Y（k*－1）｜和｜Y（k*＋1）｜為對(duì)應(yīng)譜線的模值，α為頻率校正量。當(dāng)頻率校正量α估計(jì)出后，頻率估計(jì)值可由主譜線位置k*加上或減去α再乘以頻率分辨率而得，即：

式中 取“＋”時(shí)，對(duì)應(yīng)圖1（a）；取“-”時(shí)，對(duì)應(yīng)圖1（b）。下面推導(dǎo)理論譜線與主譜線之間的校正量α。

如圖1，設(shè)理論頻率點(diǎn)k0處主譜線和旁譜線分別為 k1＝k*和 k2（k2＝k1＋1或 k1－1），根據(jù)式（3），令主譜線和旁譜線的幅值分別為y1＝｜Y（k1）｜和y2＝｜Y（k2）｜，則旁譜線與主譜線的比值為：

設(shè) k0－k1＝±α，則 α∈（－1，1），正負(fù)號(hào)的選擇同前述。當(dāng)窗函數(shù)為漢寧窗時(shí)，由于漢寧窗的歸一化模函數(shù)為：

所以聯(lián)立式（3）和式（6）可得主譜線和旁譜線的幅值為：

以k2＝k1＋1為例（k2＝k1－1同理可得），即 k1－k0＝－α可得：

由三角函數(shù)關(guān)系，易知：

聯(lián)立式（5）、式（9）～式（11），并化簡(jiǎn)得：

對(duì)式（12）求反得頻率插值校正量為：

1.2 幅值和初相位校正

由于apFFT繼承了FFT的線性時(shí)不變性（Linear Time Invariant，LTI），因此，當(dāng)式（1）序列 x（n）的幅值為A0時(shí)，即：

式中n∈［－N＋1，N－1］設(shè)，則該序列進(jìn)行漢寧雙窗apFFT后，其幅值譜為：

因此，根據(jù)估計(jì)的頻率校正量，可估計(jì)出序列的幅值為：

綜上所述，序列 A0ej（ω0n＋φ0）完整的幅值、頻率和初相位的校正流程如圖2所示。

圖2 算法的頻譜校正流程Fig.2 Spectrum correction flow chart of the algorithm

2 算例仿真

2.1 算法校正精度分析

在無(wú)噪聲干擾的情況下，以文獻(xiàn)［22］中3.1節(jié)的諧波和間諧波信號(hào)為例，該信號(hào)包括基波、3次、5次、7次和9次諧波，0.5次、3.6次、6.4次和7.6次間諧波，各次諧波和間諧波的幅值和初相位如表1所示。

表1 諧波和間諧波參數(shù)Tab.1 Harmonic and inter-harmonic parameters

現(xiàn)保持幅值和初相位不變，并根據(jù)我國(guó)電網(wǎng)基波頻率的波動(dòng)范圍（49.5 Hz～50.5 Hz），調(diào)節(jié)基波頻率，一次調(diào)節(jié)量為0.1 Hz。設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)為1 024，則基波、諧波和間諧波的校正偏差結(jié)果如圖3～圖5所示。

根據(jù)圖3、圖4和圖5校正偏差的仿真結(jié)果，可以看出，無(wú)論是基波、諧波，還是間諧波，它們的頻率校正偏差都比較小，偏差在10－4Hz數(shù)量級(jí)上，頻率的校正精度高，表明文中所提的頻譜校正算法是有效的。值得注意的是，仿真信號(hào)中各成分的校正偏差以基波頻率為50 Hz成近似對(duì)稱，之所以呈現(xiàn)這樣的近似對(duì)稱關(guān)系，是因?yàn)槔碚撟V線位置隨著基波頻率的調(diào)節(jié)量與主譜線成對(duì)稱關(guān)系，即理論校正量與各成分頻率點(diǎn)的主譜線成對(duì)稱關(guān)系。因此，仿真結(jié)果與理論分析一致，表明本文頻譜校正算法是正確的。

圖3 基波校正偏差仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of fundamental correction deviation

圖4 諧波校正偏差仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of harmonic correction deviation

圖5 間諧波校正偏差仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of inter-harmonic correction deviation

2.2 仿真對(duì)比

2.2.1 復(fù)雜諧波檢測(cè)

文獻(xiàn)［4］三譜線插值FFT算法對(duì)諧波信號(hào)進(jìn)行加窗處理的同時(shí)，利用理論頻率點(diǎn)附近的三條離散譜線對(duì)頻譜進(jìn)行插值校正，從而估計(jì)出諧波信號(hào)的頻率、幅值和初相位。該算法在無(wú)噪聲干擾，加四項(xiàng)最大旁瓣衰減窗三譜線插值時(shí)，估計(jì)的諧波參數(shù)精度最高。本節(jié)將考察在較強(qiáng)高斯白噪聲干擾下，與文獻(xiàn)［4］算法進(jìn)行仿真比較。仿真信號(hào)為該文獻(xiàn)中3.2節(jié)的諧波信號(hào)加30 dB白噪聲，其中，基波頻率為50.1 Hz，幅值，初相位及其余諧波成分的參數(shù)如表2所示。

表2 基波及諧波成分Tab.2 Components of the fundamental and harmonic

設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)為1 024，文獻(xiàn)［4］算法的采樣頻率為1 000 Hz，仿真結(jié)果如表3所示，頻率、幅值和初相位誤差如圖6所示。

表3 頻率、幅值和相位仿真結(jié)果對(duì)比Tab.3 Simulation results comparison of frequency，amplitude and phase

根據(jù)表3和圖6～圖8仿真結(jié)果，不難看出，本文算法估計(jì)相位精度要高于文獻(xiàn)［4］算法。兩種算法估計(jì)的頻率和幅值誤差有大有小，若定義總體誤差為：

式中M為諧波數(shù)目，Δλh為第h次諧波頻率或幅值誤差。則文獻(xiàn)［4］算法頻率和幅值綜合誤差分別約為1.66×10－3%和0.2%，本文算法的分別約為6.64×10－4%和0.12%。雖然本文算法估計(jì)的基波頻率、3次諧波頻率、7次和9次諧波幅值誤差要高于文獻(xiàn)［4］算法，但通過(guò)計(jì)算總體誤差可知，本文算法估計(jì)的頻率和幅值總體誤差較小，頻率和幅值的總體估計(jì)精度較高。

圖6 頻率誤差對(duì)比Fig.6 Comparison of frequency errors

圖7 幅值誤差對(duì)比Fig.7 Comparison of amplitude errors

圖8 相位誤差對(duì)比Fig.8 Comparison of initial phase errors

無(wú)白噪聲干擾時(shí)，考察該復(fù)雜諧波信號(hào)的離散頻譜可知，基波和2～5次諧波的頻譜分布為圖1（a）情形，7次和9次諧波的頻譜分布為圖1（b）情形。因此，按照本文算法的頻率校正原理，基波及各次諧波的理論校正量依次為 0.1 Hz、0.2 Hz、0.3 Hz、0.4 Hz、0.5 Hz、0.3 Hz和 0.1 Hz。通過(guò)仿真，基波及各次諧波的校正量偏差結(jié)果如圖9所示。

根據(jù)圖9結(jié)果不難看出，5次諧波的頻率校正精度較高。但從總體上看，校正量偏差均在10－4Hz數(shù)量級(jí)上，校正精度保持在較高水平。

圖9 基波及各次諧波校正偏差Fig.9 Correction errors of fundamental and other harmonics

2.2.2 間諧波檢測(cè)

與文獻(xiàn)［21］算法進(jìn)行對(duì)比分析，文獻(xiàn)［21］算法是利用多項(xiàng)式逼近求極值的方法估計(jì)出諧波和間諧波的頻率，矩陣求逆的方法估計(jì)諧波和間諧波的幅值和相位［21］。仿真信號(hào)以文獻(xiàn)［21］的間諧波信號(hào)為例，即式（18）。在無(wú)噪聲干擾下，對(duì)比分析本文算法（方法一）與文獻(xiàn)［21］算法（方法二）的準(zhǔn)確性。

式中基波頻率、幅值和初相位分別為49.9 Hz、380 V和10°，其余諧波和間諧波的參數(shù)如表1所示。采樣點(diǎn)數(shù)仍為1 024，則兩種算法的估計(jì)的頻率和幅值誤差如圖10所示，初相位誤差如表4所示。

如圖10和表4可知，方法一的頻率和初相位檢測(cè)誤差均要小于方法二，尤其是初相位的誤差，其誤差不低于在10－7數(shù)量級(jí)，遠(yuǎn)小于方法二。方法一的幅值誤差除了7次諧波和7.6次間諧波的誤差較大以外，基波及其余諧波和間諧波的幅值誤差均要小于方法二，方法一的幅值檢測(cè)精度總體要優(yōu)于方法二。

圖10 兩種算法的頻率和幅值誤差對(duì)比Fig.10 Comparison of frequency and amplitude errors of two algorithms

表4 兩種算法的初相位誤差Tab.4 Initial phase errors of two algorithms

2.3 不同信噪比下基波參數(shù)校正精度分析

以式（18）的諧波和間諧波信號(hào)作為仿真信號(hào)，分別考察信噪比分別為10 dB～100 dB（信噪比增量為10 dB）下基波參數(shù)的相對(duì)誤差，仿真結(jié)果如圖11所示。

圖11 不同信噪比下基波參數(shù)相對(duì)誤差Fig.11 Relative errors of fundamental parameters under different SNRs

圖11結(jié)果表明：在不同強(qiáng)度的高斯白噪聲干擾下，本文算法估計(jì)的基波頻率誤差保持在較小的范圍內(nèi)，且沒有明顯的波動(dòng)情況，說(shuō)明算法頻率校正過(guò)程受噪聲干擾的影響較小，具有較強(qiáng)的抗噪聲干擾能力；在≤30 dB白噪聲范圍內(nèi)，基波幅值和初相位的相對(duì)誤差較大，但誤差分別都保持在0.005%和0.02%以內(nèi)；隨著信噪比的增大（SNR≥50 dB），幅值和相位誤差保持在較小的平穩(wěn)狀態(tài)，因此，本文算法在抗高斯白噪聲干擾方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)，這主要源自于apFFT相比于傳統(tǒng)FFT具有更加有效抑制頻譜泄漏和相位不變的特性。

3 結(jié)束語(yǔ)

文中提出了一種漢寧雙窗apFFT單譜線插值校正的算法。所提算法是在對(duì)信號(hào)進(jìn)行雙窗apFFT的基礎(chǔ)上，充分利用了apFFT幅值譜為傳統(tǒng)FFT幅值譜的平方關(guān)系和相位譜與頻偏無(wú)關(guān)的特性，考察窗函數(shù)為漢寧窗時(shí)，結(jié)合傳統(tǒng)FFT單譜線插值頻譜校正的方法，推導(dǎo)出漢寧雙窗apFFT的頻率校正量，從而估計(jì)出諧波和間諧波的頻率。然后，根據(jù)頻率校正量，結(jié)合FFT的LTI特性，估計(jì)出相應(yīng)的幅值。由于apFFT具有“相位不變性”，因此，初相位可直接取頻率點(diǎn)附近主譜線的相位進(jìn)行估計(jì)。

仿真算例表明，相比于現(xiàn)有的一些諧波和間諧波分析方法，所提算法的諧波和間諧波分析準(zhǔn)確度更高，抗噪聲能力較強(qiáng)，綜合誤差較小，表明所推導(dǎo)的校正量是正確、有效的。