高速鐵路CA砂漿層-軌道板系統(tǒng)高頻振動分析

李亞光，鐘庭生，圣小珍

（西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室，成都 610031）

高速鐵路CA砂漿層-軌道板系統(tǒng)高頻振動分析

李亞光，鐘庭生，圣小珍

（西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室，成都 610031）

高速鐵路CA砂漿層-軌道板系統(tǒng)高頻振動分析是高速鐵路輪軌噪聲研究的重要組成部分，其分析頻率高達數(shù)千赫茲。以往對其的研究大多為靜力學(xué)分析，而少量的動力學(xué)分析所涉及的頻率都比較低。對高頻振動問題，如果直接使用有限元商業(yè)軟件，不但有計算效率不高的問題，而且不方便開發(fā)獨立的輪軌噪聲預(yù)測模型。以CA砂漿層和軌道板全為實體單元的有限元模型分析結(jié)果為基準(zhǔn)，對比幾種相對簡單的有限元模型的分析結(jié)果以及采用模態(tài)疊加法的分析結(jié)果。對比分析表明，在所關(guān)心的頻率范圍0～2 000 Hz內(nèi),簡化的薄板-彈簧阻尼器有限元模型和模態(tài)疊加法均能給出足夠精確的結(jié)果。

振動與波；軌道板；有限元分析；模態(tài)疊加法；高頻振動；CA砂漿層

由于具有平順性高、剛度均勻性好、維修工作量少等優(yōu)點，無砟預(yù)制軌道板軌道結(jié)構(gòu)在我國高速鐵路中得到了廣泛應(yīng)用。但是，研究表明，在相同條件下，高速列車運行在軌道板軌道結(jié)構(gòu)上所產(chǎn)生的輪軌噪聲比運行在普通有砟軌道上要高得多[1]。因此，降低軌道板軌道結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的振動噪聲是一個重要研究課題。位于水泥乳化瀝青砂漿（文中簡稱為CA砂漿）上的混凝土軌道板（文中簡稱為軌道板）是高速鐵路軌道結(jié)構(gòu)的重要組成部分，在高速鐵路輪軌噪聲研究中，必須對其高頻振動進行有效分析。

由于軌道板的重要性以及其在我國的迅速推廣，國內(nèi)對軌道板的研究在近幾年中受到了相當(dāng)?shù)闹匾?。劉成軒和翟婉明?yīng)用有限元方法對軌道板的靜力強度問題進行了初步的探討[2]。在他們的工作中，他們采用實體單元對軌道板和砂漿進行離散。趙坪銳等在研究無砟軌道各結(jié)構(gòu)層的荷載彎矩時，對鋼軌采用梁單元，對軌道板采用實體單元，對CA砂漿層則是采用薄板單元，建立了軌道結(jié)構(gòu)的彈性地基梁板力學(xué)模型，并通過試驗驗證了梁板模型在靜力分析中的合理性與有效性[3]。陳希成應(yīng)用有限元法對軌道板進行了進一步的分析，在其有關(guān)動力學(xué)的分析中，采用梁單元對軌道板進行模擬，因此是一個2D模型[4]。陳鵬采用不同單元建立了無砟軌道結(jié)構(gòu)的三種靜力有限元分析模型，即疊合梁模型、梁板模型及梁體模型，通過對比分析與比選，提出了各種模型的差別及使用條件[5]。該文同時建立動力有限元分析模型，通過施加軌道不平順，對軌道板的位移與加速度進行了分析。在該動力有限元分析模型中，軌道板與CA砂漿均采用實體單元模擬，因此計算量大，運行時間長。楊云安等采用彈性桿單元模擬彈性地基，研究了彈性地基板的受力，進行了混凝土構(gòu)件抗彎強度、抗剪強度計算及限裂性驗算[6]。在其模型中，采用均布單一剛度參數(shù)的桿單元模擬彈性地基，不能準(zhǔn)確反映彈性地基板有限元模型中不同位置節(jié)點受力不同的情況，對分析結(jié)果有一定影響。圣小珍等采用模態(tài)疊加法研究了軌道板的動柔度[7]。

從上面的分析可以看出，到目前為止，對軌道板的研究主要以靜力學(xué)問題為主。在較少的動力學(xué)分析中，仿真計算結(jié)果也大多只關(guān)注軌道板的安全性和穩(wěn)定性，因此涉及的頻率比較低。且對軌道板的研究主要采用有限元方法?；谟邢拊Ｐ秃湍B(tài)疊加法解析解模型對軌道板高頻振動的研究比較少。

軌道板的高頻振動分析是輪軌噪聲與振動研究的一部分，有必要快速高效求解軌道板的高頻振動問題。在有限元方法中，如果軌道板及其彈性支承層（如CA砂漿）采用實體單元模擬，需要劃分較多的單元，特別是進行高頻動力學(xué)分析時，需要劃分更多的單元，造成運行時間長，生成文件特大，甚至在運行中出現(xiàn)異常終止。因而有必要建立一種簡化的便于進行高頻動力學(xué)分析的軌道板及其彈性支承層的有限元模型。模態(tài)疊加法是更加高效的方法。由于彈性支承四邊自由薄板的模態(tài)與受迫振動目前均無精確解析解，從而發(fā)展出多種求解近似解的方法。常見的傳統(tǒng)模態(tài)疊加法所得結(jié)果與軌道板有限元解在高頻段吻合度較差。為此，需要改進模態(tài)疊加法計算過程，使其在高頻范圍內(nèi)也能與有限元方法所得結(jié)果比較吻合，從而可用于軌道板高頻振動的分析。

為探究在高頻動力學(xué)分析中軌道板有限元模型簡化的合理性，本文首先建立作為對比基礎(chǔ)的實體單元有限元模型，并依次對軌道板及CA砂漿的建模進行簡化。最終建立了簡化的高效薄板-彈簧阻尼器有限元模型。采用雙向梁函數(shù)組合級數(shù)逼近方法，通過位移變分原理來調(diào)整不同階次梁函數(shù)的組合，得到軌道板（四邊自由矩形薄板）的振型函數(shù)。然后采用模態(tài)疊加法得到軌道板的諧響應(yīng)。經(jīng)有限元法驗證，該模態(tài)疊加法可以用于軌道板高頻振動分析。

1 有限元法

板式軌道結(jié)構(gòu)的組成如圖1所示，它主要由鋼軌、扣件系統(tǒng)、墊板、軌道板、CA砂漿、混凝土底座、凸形擋臺及其周圍填充樹脂等組成。CA砂漿為位于混凝土底座板及軌道板之間的填充層，主要支承軌道板及列車重量，提供一定的彈韌性來起到減振作用。

圖1 板式軌道結(jié)構(gòu)總體圖[2]

軌道板振動中只有垂向是重要的[7]。本文主要研究內(nèi)容是計算無砟軌道板在垂向簡諧力作用下，軌道板的垂向位移響應(yīng)，研究頻率達2 000 Hz。在建立及簡化軌道板有限元模型過程中，以采用實體單元模擬CA砂漿上軌道板結(jié)構(gòu)的有限元模型為參考對比基礎(chǔ)，分別采用薄板單元模擬軌道板、彈簧-阻尼器模擬CA砂漿來簡化有限元模型，通過對比不同有限元模型中軌道板垂向振動諧響應(yīng)來探索簡化后有限元模型的合理性與有效性，以達到簡化軌道板有限元模型、提高運算效率的目的，并為進一步與軌道板的垂向振動模態(tài)疊加法解析解模型對比做準(zhǔn)備。

1.1 實體單元有限元模型

根據(jù)軌道板的設(shè)計資料，文中的軌道板簡化為長為6.45 m、寬為2.55 m、厚為0.2 m的矩形板，CA砂漿層厚度取為0.05 m。為探究動力學(xué)問題中CA砂漿上軌道板有限元模型簡化的可行性，首先采用實體單元對CA砂漿及軌道板進行模擬，建立實體單元有限元模型。在實體單元有限元模型中，采用8節(jié)點實體單元（Solid185）來構(gòu)造屬于三維固體結(jié)構(gòu)的CA砂漿及軌道板。在劃分網(wǎng)格設(shè)定時，長度方向劃分129個單元，寬度方向劃分51個單元，軌道板厚度方向劃分3個單元，CA砂漿厚度方向劃分3個單元，軌道板及CA砂漿層均分為19 737個單元。采用該設(shè)定是為了使實際中的每一個扣件位置都接近網(wǎng)格中的一個節(jié)點位置，且經(jīng)過計算，認為這種網(wǎng)格密度滿足軌道板2 000 Hz內(nèi)諧響應(yīng)分析的要求。本文主要研究軌道板受到來自扣件位置處的力作用時，軌道板扣件位置處的垂向振動響應(yīng)?？紤]到每一個扣件位置都接近網(wǎng)格中的一個節(jié)點位置，故激勵作用點及響應(yīng)點都近似認為在相應(yīng)節(jié)點上，如圖2所示，詳細坐標(biāo)如表1所示。因為一個軌道板中有10對扣件，故有20個對應(yīng)節(jié)點。

圖2 激勵及響應(yīng)點位置示意圖

根據(jù)CA砂漿的特性，CA砂漿的泊松比取為0。在有限元方法中，當(dāng)采用完全法分析諧響應(yīng)時，需要指定CA砂漿的阻尼系數(shù)，當(dāng)采用有限元法中的模態(tài)疊加法時，需要指定系統(tǒng)的阻尼比。通過兩種方法的計算分析，系統(tǒng)阻尼比取0.023 87。軌道板及CA砂漿參數(shù)如表2所示。

在軌道板動力學(xué)特性分析中，在每一對扣件位置處施加激勵力（分別為0.5 N），在這樣的對稱荷載作用下，板的振動也是對稱的，因此每對扣件位置的響應(yīng)是相同的。對每個施力位置分別施加激勵力又得到軌道板10處的垂向振動位移響應(yīng)，由于篇幅所限，僅對比在第一對扣件位置處施加激勵力時，激勵位置處軌道板的垂向振動位移響應(yīng)。

1.2 薄板-實體單元有限元模型

為探究軌道板有限元模型簡化的合理性，首先將軌道板由實體單元簡化為由板單元模擬。為了便于進一步與模態(tài)疊加法解析解模型作對比，CA砂漿的密度采用1 300 kg/m3與1 kg/m3兩種。在該簡化的有限元模型中，采用4節(jié)點板單元（Shell63）模擬軌道板，仍采用實體單元（Solid185）模擬CA砂漿。在劃分網(wǎng)格設(shè)定時，長度方向劃分129個單元，寬度方向劃分51個單元，CA砂漿厚度方向劃分3個單元，其余條件與實體單元有限元模型相同。在第一對扣件位置處施加垂向激勵力，經(jīng)仿真計算，得到軌道板激勵點處響應(yīng)。

分別采用實體單元模擬軌道板與采用薄板單元模擬軌道板，CA砂漿均用表觀密度為1 300 kg/m3的實體單元模擬，兩種模型在第一對扣件位置處激勵，激勵點處軌道板垂向振動響應(yīng)結(jié)果的對比見圖3。采用薄板單元可以較好反映板的彎曲變化，但是某些沿厚度方向的特征如沿厚度方向的剛度被忽略。所以，在低頻段采用薄板單元所得結(jié)果略小于采用實體單元所得的結(jié)果。在整個頻段內(nèi)，兩種方法所得曲線比較吻合，故將軌道板簡化為薄板單元是可行的。

表1 激勵及響應(yīng)點位置

表2 軌道板及CA砂漿參數(shù)[7–8]

圖3 激勵點處軌道板垂向位移響應(yīng)

均采用薄板單元模擬軌道板，采用實體單元模擬CA砂漿，CA砂漿的表觀密度分別為1 300 kg/m3與1 kg/m3的兩種模型在相同激勵點處垂向振動響應(yīng)見圖4。

圖4 激勵點處軌道板垂向位移響應(yīng)

可以看出，在整個頻段內(nèi)，兩者比較吻合，故CA砂漿的質(zhì)量是可以忽略的。

1.3 薄板-彈簧阻尼器有限元模型

為進一步探索軌道板有限元模型中CA砂漿模型簡化的有效性，采用薄板單元模擬軌道板，采用彈簧-阻尼器模擬CA砂漿。在設(shè)定網(wǎng)格劃分時，同樣在長度方向劃分129個單元，寬度方向劃分51個單元。軌道板共分為6 579個單元、6 760個節(jié)點。在軌道板節(jié)點處添加彈簧-阻尼器。傳統(tǒng)的彈性地基板的有限元模型中，往往根據(jù)彈性地基參數(shù)，不加區(qū)分地在板下采用相同參數(shù)均布彈簧單元或桿單元來實現(xiàn)對彈性地基的模擬，這種模型會使最終結(jié)果產(chǎn)生比較大的誤差。本文將軌道板的6 760個節(jié)點根據(jù)位置不同分成三類，添加三種不同參數(shù)的彈簧-阻尼器。根據(jù)CA砂漿參數(shù)、有限元模型中板單元的大小及節(jié)點位置，確定彈簧-阻尼器單元的剛度與阻尼參數(shù)，確保與未簡化模型在單位面積上有一致的支撐剛度與阻尼。第一類節(jié)點為軌道板四角處四個節(jié)點，連接的彈簧-阻尼器剛度為K1，阻尼為C1；第二類節(jié)點為軌道板四邊除第一類節(jié)點外的節(jié)點，連接的彈簧-阻尼器剛度為K2，阻尼為C2；第三類節(jié)點為軌道板上除前兩類節(jié)點外其余節(jié)點，連接的彈簧-阻尼器剛度為K3，阻尼為C3。K1=K0，K2=2K0，K3=4K0，C1=C0，C2=2C0，C3=4C0，則三種彈簧-阻尼器的參數(shù)如表3所示。

表3 彈簧-阻尼器參數(shù)

在仿真計算中，僅考慮垂向荷載作用下，軌道板垂向振動位移響應(yīng)，所以有限元模型中板單元上所有節(jié)點的橫向和縱向位移均被約束。軌道板及CA砂漿有限元模型如圖5所示。

圖5 軌道板及CA砂漿有限元模型網(wǎng)絡(luò)圖

仿真計算結(jié)果如下：

軌道板均采用薄板單元模擬，CA砂漿分別采用忽略密度的實體單元和彈簧-阻尼器模擬的兩種模型，相同激勵點處軌道板垂向振動響應(yīng)見圖6?？梢钥闯?，在整個頻段內(nèi)，兩種方法所得曲線非常吻合。所以采用彈簧阻尼器模擬CA砂漿是合理的。采用均布單一參數(shù)彈簧阻尼器模型與采用三種參數(shù)彈簧阻尼器模型的對比見圖7。通過對比圖6與圖7可以看出，必須采用根據(jù)不同位置布置不同參數(shù)彈簧-阻尼器的方法，否則誤差比較大，尤其在第一個共振頻率處。圖8為采用薄板-彈簧阻尼器有限元模型時，分別使用完全法與模態(tài)疊加法計算諧響應(yīng)結(jié)果。在2 000 Hz內(nèi)，兩者比較吻合。

2 模態(tài)疊加法

2.1 基于兩端自由歐拉梁振型函數(shù)的模態(tài)疊加法

將軌道板簡化為彈性地基上四邊自由的矩形薄板，軌道板的振動微分方程為

圖6 激勵點處軌道板垂向位移響應(yīng)

圖7 激勵點處軌道板垂向位移響應(yīng)

圖8 激勵點處軌道板垂向位移響應(yīng)

根據(jù)模態(tài)疊加法原理，式（1）的解可表示為

采用模態(tài)疊加法，并充分利用梁振型函數(shù)的正交性可得到在點(xe,ye) 處的垂向簡諧激勵作用下點(xr,yr)處的頻響函數(shù)為

Mmn為廣義質(zhì)量，ωmn為彈性地基上軌道板的第階固有頻率，其值可在求解的過程中求得。

如果考慮阻尼的存在，則需要假設(shè)模態(tài)與考慮的阻尼正交，這里我們采用黏滯阻尼模型，阻尼比為ζ，并且忽略由于阻尼導(dǎo)致的模態(tài)的耦合，則得到在點處的垂向簡諧激勵作用下點處的頻響函數(shù)為

2.2 有限元法與模態(tài)疊加法結(jié)果對比

按表2所列各參數(shù)，分別利用有限元法（軌道板薄板-彈簧阻尼器有限元模型）與模態(tài)疊加法計算在軌道板第一對扣件位置處各施加0.5 N的簡諧激勵時，軌道板第一對扣件位置處垂向位移響應(yīng)對比圖見圖9，第十對扣件位置處的垂向位移響應(yīng)的對比圖見圖10。

圖9 第一對扣件位置處軌道板垂向位移響應(yīng)

圖10 第十對扣件位置處軌道板垂向位移響應(yīng)

從圖中可以得到，在2 000 Hz以內(nèi)，激勵點處的兩曲線非常吻合。隨著離激勵點距離的增加，兩種方法所得曲線吻合度有所下降，但兩種結(jié)果仍非常接近。

由于模態(tài)疊加法解析解模型更容易被擴展及進一步的應(yīng)用，且與在ANSYS中建立的有限元模型得到的結(jié)果在2 000 Hz范圍內(nèi)有較高的吻合度，可以認為，該模態(tài)疊加法可以應(yīng)用于進一步的輪軌噪聲與振動的研究中。

3 軌道板諧響應(yīng)分析

利用上面所建立的模型，對軌道板激勵力作用在不同扣件位置時的情況進行諧響應(yīng)分析，以揭示軌道板在0～2 000 Hz頻段內(nèi)的垂向動力特性。當(dāng)激勵作用在第一對扣件位置處時，不同位置處軌道板垂向位移響應(yīng)如圖11所示。

圖11 不同位置處軌道板垂向位移響應(yīng)

由圖11可以看出，當(dāng)激勵作用在第一對扣件位置處時，在0～500 Hz頻段內(nèi)，僅激勵處及其附近有較明顯的振動，且振動隨著與激勵處距離的增加迅速衰減。在0～2 000 Hz整個頻段內(nèi)，軌道板各扣件位置處的振動響應(yīng)曲線大多表現(xiàn)為存在兩處較明顯的峰值，且峰值出現(xiàn)的頻率較為接近，分別在581 Hz～607 Hz和874 Hz～949 Hz頻段內(nèi)。

圖12中兩曲線分別為當(dāng)激勵作用在第一對扣件位置處時，各扣件位置處兩峰值頻率所對應(yīng)的軌道板垂向位移響應(yīng)。

圖12 不同位置處峰值頻率對應(yīng)垂向位移響應(yīng)

可以看出，在激勵位置處及其附近軌道板在第一個峰值（581 Hz）處具有較大的垂向位移。在距離激勵位置兩個扣件間隔外，軌道板在兩峰值所對應(yīng)頻率處的垂向振動位移響應(yīng)變得十分接近,且大部分情況下第一峰值處響應(yīng)略小于第二個峰值處響應(yīng)。在距離激勵位置兩個扣件間隔距離內(nèi)，軌道板振動響應(yīng)衰減較快。在距離激勵位置兩個扣件間隔距離外，兩曲線較平緩，軌道板振動響應(yīng)衰減較慢。

圖13為激勵作用在不同扣件位置處時，激勵點處軌道板垂向位移響應(yīng)。可以看出，對于每種激勵位置，激勵點處響應(yīng)曲線在579 Hz～581 Hz的頻率范圍內(nèi)都會出現(xiàn)第一個顯著的峰值，軌道板模態(tài)參數(shù)如表4所示。對比圖13與表4可以看出，在579 Hz～581 Hz的頻率范圍內(nèi)，軌道板的響應(yīng)主要表現(xiàn)為剛體運動，該頻段內(nèi)軌道板的模態(tài)較為密集。

圖13 激勵作用在不同位置處時激勵點處軌道板垂向位移響應(yīng)

表4 軌道板模態(tài)參數(shù)

4 結(jié)語

本文以CA砂漿層和軌道板全為實體單元的有限元分析結(jié)果為基準(zhǔn)，對比了幾種相對簡單的有限元模型的分析結(jié)果，以及采用基于兩端自由歐拉梁振型的模態(tài)疊加法的分析結(jié)果。對比分析結(jié)果表明，建立的薄板-彈簧阻尼器有限元模型是合理的。在所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)（0～2 000 Hz），基于兩端自由歐拉梁振型的模態(tài)疊加法能給出足夠精確的結(jié)果，因此可應(yīng)用于軌道板高頻振動與輪軌噪聲問題的研究。

初步探索了高速鐵路軌道板在0～2 000 Hz頻段內(nèi)的諧響應(yīng)特性。激勵點位于第一對扣件位置處時，各扣件位置處軌道板在581 Hz～607 Hz和874 Hz～949 Hz的頻段內(nèi)出現(xiàn)顯著的諧響應(yīng)峰值。激勵作用在不同扣件位置處時，在579 Hz～581 Hz的頻率范圍內(nèi)，各激勵點處軌道板的響應(yīng)主要表現(xiàn)為剛體運動。

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Analysis of High Frequency Vibration of CAMortar Layer-slab Systems of High-speed Railways

LI Ya-guang,ZHONG Ting-sheng,SHENG Xiao-zhen
（State Key Laboratory of Traction Power,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China)

High frequency vibration analysis of concrete-asphalt(CA)mortar layer and track slab system is an important part of the study on wheel/rail noise of high speed railways,and the analysis frequency needs to be as high as thousands Hertz.Previous researches are mostly concentrated on static analysis,and the rare dynamic analysis is concentrated on relatively low frequency range.For high frequency vibration problems,the computation efficiency would be quite low if one used the commercial finite element software directly.On the other hand,it is not conducive to develop the wheel/rail noise prediction model independently if the commercial software is used.In this study,the output of the solid finite element model of the CA mortar layer and track-slab is analyzed;the results of several simplified finite element models and the results of the mode superposition method are compared.The comparative analysis shows that both the thinshell and spring-damper finite element model and the modal superposition method can give sufficiently accurate results in the interested frequency range of 0-2 000 Hz.

vibration and wave;track slab;finite element analysis;method of modal superposition;high frequency vibration;CAmortar layer

TB53；U213.2

A

10.3969/j.issn.1006-1355.2017.06.031

1006-1355(2017)06-0151-07

2017-08-01

國家重點研發(fā)計劃戰(zhàn)略性國際科技創(chuàng)新合作重點專項資助項目(2016YFE0205200)；中國鐵路總公司科技研究開發(fā)計劃資助項目(20152003-8)

李亞光（1991-），男，河南省商丘市人，碩士研究生，目前從事高速列車振動與噪聲研究。E-mail:guxianglu@163.com

圣小珍，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:shengxiaozhen@hotmail.com