結(jié)構(gòu)應(yīng)變模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的最小二乘復(fù)頻域方法

周思達(dá)，曹博遠(yuǎn)，周小陳

（1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081；2.北京理工大學(xué) 飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081；3.北京理工大學(xué) 深空自主導(dǎo)航與控制工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081；4.北京機(jī)電工程研究所，北京 100074）

結(jié)構(gòu)應(yīng)變模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的最小二乘復(fù)頻域方法

周思達(dá)1,2,3，曹博遠(yuǎn)1，周小陳4

（1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081；2.北京理工大學(xué) 飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081；3.北京理工大學(xué) 深空自主導(dǎo)航與控制工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081；4.北京機(jī)電工程研究所，北京 100074）

由于應(yīng)變模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)狀態(tài)的敏感性，其在結(jié)構(gòu)在線健康監(jiān)測(cè)和損傷識(shí)別方面比位移模態(tài)更具優(yōu)勢(shì)。利用應(yīng)變和位移的關(guān)系，將最小二乘復(fù)頻域方法應(yīng)用到結(jié)構(gòu)應(yīng)力應(yīng)變分析中，建立基于應(yīng)變測(cè)量數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)參數(shù)頻域辨識(shí)方法。由于應(yīng)變模態(tài)和位移模態(tài)是同一種物理狀態(tài)的不同表達(dá)形式，兩者在數(shù)學(xué)表達(dá)上有相似性。首先建立以應(yīng)變?yōu)樽兞康膮?shù)化公分母模型，在此基礎(chǔ)上將非線性最小二乘問(wèn)題進(jìn)行線性化，得到加權(quán)線性最小二乘的方程誤差。然后采用基于縮減正則方程的算法進(jìn)行求解，減少計(jì)算量，并通過(guò)對(duì)模型參數(shù)施加約束來(lái)避免參數(shù)冗余。然后，設(shè)計(jì)并搭建一個(gè)自由梁的實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，利用光纖布拉格光柵應(yīng)變傳感器測(cè)量結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)變數(shù)據(jù)，根據(jù)最小二乘復(fù)頻域方法，基于應(yīng)變測(cè)量數(shù)據(jù)辨識(shí)得到頻率和阻尼比，與傳統(tǒng)的基于加速度測(cè)量數(shù)據(jù)的辨識(shí)結(jié)果相吻合。另外，辨識(shí)所得應(yīng)變模態(tài)振型與仿真結(jié)果也具有一致性。因此，數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，文中提出的基于最小二乘復(fù)頻域方法能夠準(zhǔn)確辨識(shí)結(jié)構(gòu)應(yīng)變模態(tài)。

振動(dòng)與波；應(yīng)變模態(tài)；模態(tài)參數(shù)辨識(shí)；最小二乘復(fù)頻域法；模態(tài)實(shí)驗(yàn)

基于模態(tài)測(cè)試技術(shù)的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)分析設(shè)計(jì)、損傷識(shí)別和健康監(jiān)測(cè)得到了廣泛深入的研究，并且在機(jī)械以及航空航天等領(lǐng)域取得了重要成果。傳統(tǒng)的模態(tài)測(cè)試技術(shù)主要基于位移響應(yīng)（或其關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)）的測(cè)量，但在工作狀態(tài)下有時(shí)不便于測(cè)量結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，如飛機(jī)機(jī)翼的變形、直升機(jī)槳葉的振動(dòng)以及大型航天器結(jié)構(gòu)的變形等。然而，基于應(yīng)變響應(yīng)的模態(tài)測(cè)試可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)模態(tài)測(cè)試技術(shù)的上述不足。另外，由于應(yīng)變模態(tài)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)狀態(tài)的敏感性，其在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別、在線健康監(jiān)測(cè)、疲勞測(cè)試以及耐久性分析等方面比位移模態(tài)更具優(yōu)勢(shì)。光纖布拉格光柵（Fiber Bragg Grating，F(xiàn)BG）傳感器能夠?qū)崟r(shí)測(cè)量結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)變響應(yīng)，與傳統(tǒng)的位移傳感器相比，具有質(zhì)量輕、抗電磁干擾、便于多路復(fù)用等眾多優(yōu)點(diǎn)。近年來(lái)，隨著光纖光柵傳感技術(shù)的發(fā)展，F(xiàn)BG傳感器在結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)應(yīng)變響應(yīng)測(cè)量上的應(yīng)用備受關(guān)注。若FBG傳感器能取代傳統(tǒng)的壓電式位移傳感器應(yīng)用于航天器上，將有助于簡(jiǎn)化線路布局，減輕結(jié)構(gòu)重量，增強(qiáng)抗電磁干擾能力，更好地監(jiān)測(cè)航天器的結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)。

目前，關(guān)于利用所測(cè)動(dòng)應(yīng)變響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行應(yīng)變模態(tài)參數(shù)辨識(shí)已有部分研究。自20世紀(jì)80年代起，人們就已經(jīng)開(kāi)始致力于研究直接用應(yīng)變計(jì)來(lái)測(cè)量應(yīng)變響應(yīng)，從而建立應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)預(yù)測(cè)模型。國(guó)內(nèi)外學(xué)者將模態(tài)方法引入到應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)中，已經(jīng)取得了不少成果[1-2]。1979年日本學(xué)者村井等在位移響應(yīng)計(jì)算公式中引入位移-應(yīng)變轉(zhuǎn)換系數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)應(yīng)變響應(yīng)[3]。1984年，英國(guó)學(xué)者Hillary和Ewins應(yīng)用電阻應(yīng)變計(jì)測(cè)量了力-應(yīng)變傳遞函數(shù)，并應(yīng)用于激振力的識(shí)別，提出應(yīng)變模態(tài)的概念[4]。我國(guó)學(xué)者伊立言曾用應(yīng)變計(jì)測(cè)量了四邊自由的矩形平板頻率、阻尼和位移振型，并在位移傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出應(yīng)變模態(tài)的概念[5]。此外，中美學(xué)者曾合作應(yīng)用時(shí)域法分析梁的應(yīng)變模態(tài)[6]。1988年，李德葆、夏蘇等運(yùn)用邏輯演繹法推導(dǎo)了應(yīng)變頻響函數(shù)矩陣的表達(dá)式[1]。1989年Bernasconi等[7]及1996年L.H.Yam等[8]同時(shí)運(yùn)用位移模態(tài)微分運(yùn)算方法推導(dǎo)和論述應(yīng)變模態(tài)理論。清華大學(xué)的李德葆等著重對(duì)位移模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)間的關(guān)系進(jìn)行了研究，推導(dǎo)了應(yīng)變響應(yīng)公式及應(yīng)變頻響函數(shù)矩陣，提出了模態(tài)試驗(yàn)與應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識(shí)別的方法，并采用仿真計(jì)算和實(shí)測(cè)進(jìn)行比較驗(yàn)證[9]。2007年，Lae-Hyong Kang等利用位移和應(yīng)變的關(guān)系，根據(jù)所測(cè)應(yīng)變對(duì)梁的動(dòng)態(tài)位移進(jìn)行了估計(jì)[10]。2012年佛羅里達(dá)理工的Hao Jiang等根據(jù)梁理論推導(dǎo)了梁從應(yīng)變模態(tài)到位移模態(tài)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并對(duì)質(zhì)量階變的梁進(jìn)行數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了時(shí)變梁的彎曲振型的實(shí)時(shí)估計(jì)[11]。綜上，以李德葆為代表的學(xué)者在從位移模態(tài)向應(yīng)變模態(tài)轉(zhuǎn)換方面建立了比較系統(tǒng)的理論，并在基于時(shí)域的辨識(shí)方法上成果頗豐。但時(shí)域方法易受噪聲干擾，容易出現(xiàn)虛假模態(tài)。本文根據(jù)應(yīng)變位移的關(guān)系，建立了應(yīng)變格式的參數(shù)化結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，利用最小二乘復(fù)頻域方法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)變模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 應(yīng)變模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的最小二乘復(fù)頻域方法

1.1 應(yīng)變格式的參數(shù)化結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

物理坐標(biāo)下，n自由度結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一般方程為

其中M為質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，K為剛度矩陣，為外激勵(lì)向量，分別為位移向量、速度向量和加速度向量。根據(jù)應(yīng)變?chǔ)藕臀灰苮的關(guān)系，有

其中B為應(yīng)變矩陣，是和被測(cè)結(jié)構(gòu)有關(guān)的常系數(shù)方陣。因此，可得到應(yīng)變格式的動(dòng)力學(xué)微分方程

其中Mε=B-TMsB-1，Cε=B-TCsB-1，Kε=B-TKsB-1。

將式(3)進(jìn)行Laplace變換，并假設(shè)初始速度和初始位移向量為零，則得到應(yīng)變格式下Laplace域的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

定義應(yīng)變傳遞函數(shù)矩陣為

將式(5)進(jìn)行模態(tài)分解，可得到基于應(yīng)變的極點(diǎn)-留數(shù)模型

其中λr為第r階應(yīng)變模態(tài)的系統(tǒng)極點(diǎn)，Rr為第r階應(yīng)變模態(tài)的留數(shù)矩陣，且留數(shù)矩陣可分解為

其中Qr為模態(tài)比例因子，ψr為應(yīng)變模態(tài)振型，φr為位移模態(tài)振型。

根據(jù)式(6)，線性時(shí)不變動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)變頻率響應(yīng)函數(shù)（第0個(gè)輸出和第i個(gè)輸入）可描述為

其中f=1,2,…,Nf為頻率采樣點(diǎn)數(shù)；k=1,2,…,NoNi（即k=(o-1)Ni+i），分子和分母均定義為多項(xiàng)式

其中np為多項(xiàng)式的階數(shù)；Bk,r和Ar為多項(xiàng)式系數(shù)；為廣義的頻率多項(xiàng)式基函數(shù)。在最小二乘復(fù)頻域（Least Squares Complex Frequency-domain，LSCF）方法中，利用z域模型，從而基函數(shù)為

其中Ts為采樣時(shí)間間隔。

多項(xiàng)式系數(shù)可以寫成向量的形式

1.2 加權(quán)線性最小二乘的形式

非線性最小二乘的方程誤差為

其中θ為待定的未知參數(shù)向量；為取決于頻率和系統(tǒng)輸出的權(quán)函數(shù)，反映不同輸出之間可能存在的數(shù)據(jù)質(zhì)量的誤差；為應(yīng)變頻響函數(shù)；為應(yīng)變頻響函數(shù)的估計(jì)。

非線性最小二乘的費(fèi)用函數(shù)（cost function）為

根據(jù)公分母模型，可以對(duì)應(yīng)變頻率響應(yīng)函數(shù)為基本辨識(shí)參數(shù)的最小二乘問(wèn)題進(jìn)行線性化，即式(14)同乘A( )

ωf,α，得到（次優(yōu)）線性最小二乘的方程誤差

將方程誤差寫成矩陣形式

因此，線性最小二乘的費(fèi)用函數(shù)為

其中Jacobi矩陣為

1.3 基于減縮正則方程的求解方法

本文采用基于縮減正則方程的算法來(lái)求解如式(21)所示的線性最小二乘問(wèn)題，該方法不用求解規(guī)模龐大的Jacobi矩陣，而是對(duì)一個(gè)縮減的正則方程進(jìn)行求解，大大減少了計(jì)算量。

式(21)的費(fèi)用函數(shù)最小時(shí)，費(fèi)用函數(shù)對(duì)未知參數(shù)的1階導(dǎo)數(shù)為零，即

華北多特高壓交直流強(qiáng)耦合大受端電網(wǎng)系統(tǒng)保護(hù)方案設(shè)計(jì)//羅亞洲,陳得治,李軼群,王青,張劍云,訾鵬,等//(22):11

將式(23)代入式(24)中，得

另外，式(9)所示的參數(shù)化模型是參數(shù)冗余的，若給定常數(shù)γ，則有

如式(26)的參數(shù)冗余將會(huì)導(dǎo)致縮減的最小二乘正則方程右端項(xiàng)為0，導(dǎo)致方程具有奇異解。因此，必須對(duì)模型參數(shù)施加約束，例如選取α中最后一個(gè)分量為1，則縮減的正則方程為

1.4 模態(tài)參數(shù)的計(jì)算

通過(guò)加權(quán)的線性最小二乘辨識(shí)可得到參數(shù)化模型中待估的未知參數(shù)向量θ。若θ確定，則可以確定應(yīng)變頻率響應(yīng)函數(shù)的公分母模型。通過(guò)將公分母模型轉(zhuǎn)換為極點(diǎn)-留數(shù)模型可得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。

首先，通過(guò)求解含有系數(shù)α的公分母多項(xiàng)式A(ω,α)的根得到系統(tǒng)極點(diǎn)，從而利用系統(tǒng)極點(diǎn)得到結(jié)構(gòu)的應(yīng)變模態(tài)頻率和應(yīng)變模態(tài)阻尼比

接著，根據(jù)得到的系統(tǒng)極點(diǎn)和參數(shù)化的應(yīng)變頻率響應(yīng)函數(shù)得到系統(tǒng)的各個(gè)輸入輸出對(duì)應(yīng)的留數(shù)。

最后，通過(guò)留數(shù)矩陣計(jì)算應(yīng)變模態(tài)振型。對(duì)留數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解（SVD）

假設(shè)系統(tǒng)滿足模態(tài)疊加原理，則有

其中Φ為位移模態(tài)振型矩陣，Ψ為應(yīng)變模態(tài)振型矩陣，q為模態(tài)坐標(biāo)向量，則可得應(yīng)變模態(tài)振型與位移模態(tài)振型間的關(guān)系

因此，應(yīng)變模態(tài)振型與位移模態(tài)振型完全不相同。

1.5 僅輸出模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)

對(duì)于僅輸出模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的激勵(lì)（輸入）信號(hào)未知，因此，上述用于辨識(shí)的測(cè)量的頻率響應(yīng)函數(shù)也是未知的。為將輸入輸出的頻率模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法拓展到僅輸出情況，通常采用結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜函數(shù)代替頻率響應(yīng)函數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)激勵(lì)為白噪聲時(shí)，其功率譜函數(shù)矩陣如下式

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)及測(cè)試系統(tǒng)搭建

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置及測(cè)試系統(tǒng)示意圖

為驗(yàn)證上文提出的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)辨識(shí)算法，以一根鋼制梁為測(cè)試結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該梁的幾何參數(shù)為：長(zhǎng)L=2 000 mm，寬W=60 mm，厚度h=10 mm。實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)及測(cè)試系統(tǒng)的搭建如圖1所示，梁的幾何參數(shù)與仿真模型相同，利用彈性橡皮繩將其豎直吊置以近似自由-自由約束，在梁的兩側(cè)分別均勻?qū)?yīng)分布15個(gè)壓電式加速度傳感器和15個(gè)FBG傳感器，從而在對(duì)梁施加激勵(lì)時(shí)可以同時(shí)測(cè)得加速度數(shù)據(jù)和應(yīng)變數(shù)據(jù)。其中，15個(gè)加速度傳感器分別接入LMS公司的SCADASⅢ振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)的15個(gè)通道以采集加速度信號(hào)；15個(gè)FBG傳感器分成3條線路，每條線路按中心波長(zhǎng)從小到大分布5個(gè)不同中心波長(zhǎng)的FBG傳感器，接入Micron Optics公司的SM130光纖光柵傳感解調(diào)儀的3個(gè)通道，從而對(duì)FBG傳感器的反射光波信號(hào)進(jìn)行采集解調(diào)以獲取動(dòng)應(yīng)變數(shù)據(jù)。激振器（ModalShop 2025E）用于輸出不同類型的帶寬信號(hào)或單頻信號(hào)，對(duì)于該驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)激振器施加白噪聲激勵(lì)，故可以認(rèn)為此輸入力信號(hào)未知。

實(shí)驗(yàn)裝置的實(shí)物照片如圖2所示，其中左側(cè)為實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)的整體圖，右上為光纖光柵傳感解調(diào)儀，右下分別為激振器與加速度傳感器以及FBG傳感器的局部放大圖。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)中，動(dòng)應(yīng)變的采樣頻率為1 000 Hz，采樣周期為8 s，對(duì)輸出信號(hào)加Hanning窗以避免泄露現(xiàn)象，將功率譜平均30次以減小噪聲。利用本文提出的最小二乘復(fù)頻域方法對(duì)采集的應(yīng)變數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)，得到該鋼制梁的應(yīng)變模態(tài)辨識(shí)結(jié)果如表1所示，并與所測(cè)位移模態(tài)進(jìn)行對(duì)比。

表1 實(shí)驗(yàn)辨識(shí)結(jié)果

由表1可看出，應(yīng)變數(shù)據(jù)和加速度數(shù)據(jù)均可以準(zhǔn)確地辨識(shí)出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，且與有限元分析的結(jié)果相吻合，因此，利用應(yīng)變響應(yīng)數(shù)據(jù)辨識(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)是可以保證辨識(shí)精度的。但由于Hanning窗的影響，增加了數(shù)值阻尼，所以應(yīng)變模態(tài)阻尼比較位移模態(tài)阻尼比偏大。

圖3和圖4分別為辨識(shí)出的前4階應(yīng)變模態(tài)振型與位移模態(tài)振型，并與對(duì)應(yīng)的有限元分析的振型作對(duì)比。

圖3 前4階應(yīng)變模態(tài)振型的辨識(shí)結(jié)果與有限元分析結(jié)果對(duì)比

圖4 前4階位移模態(tài)振型的辨識(shí)結(jié)果與有限元結(jié)果對(duì)比

由圖3可以看出，辨識(shí)出的前4階應(yīng)變模態(tài)振型與有限元計(jì)算出的振型相吻合，表明本文提出的應(yīng)變模態(tài)辨識(shí)方法能夠準(zhǔn)確辨識(shí)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變模態(tài)振型。另外，比較圖3和圖4發(fā)現(xiàn)，應(yīng)變模態(tài)振型與位移模態(tài)振型是不同的，這與前面的推導(dǎo)結(jié)論一致。

圖5為應(yīng)變模態(tài)的模態(tài)判定準(zhǔn)則（Modal Assurance Criterion，MAC），對(duì)角線數(shù)值接近1，非對(duì)角線數(shù)值接近0，說(shuō)明本文所辨識(shí)出的前4階應(yīng)變模態(tài)振型具有很好的正交性。

圖5 應(yīng)變模態(tài)的模態(tài)判定準(zhǔn)則

3 結(jié)語(yǔ)

本文利用應(yīng)變和位移的關(guān)系，應(yīng)用最小二乘復(fù)頻域方法建立了基于動(dòng)應(yīng)變測(cè)量數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)參數(shù)頻域辨識(shí)方法。通過(guò)建立以應(yīng)變?yōu)樽兞康膮?shù)化的公分母模型，并在此基礎(chǔ)上將非線性最小二乘問(wèn)題進(jìn)行線性化，得到加權(quán)線性最小二乘的方程誤差，然后設(shè)計(jì)并搭建了一個(gè)自由梁的實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)對(duì)本文的方法進(jìn)行了驗(yàn)證。本文的總結(jié)與歸納如下：

(1)與傳統(tǒng)壓電式加速度傳感器相比，F(xiàn)BG傳感器質(zhì)量輕，方便復(fù)用，可減輕結(jié)構(gòu)質(zhì)量，簡(jiǎn)化線路布局。

(2)利用應(yīng)變與位移的關(guān)系，建立基于最小二乘復(fù)頻域方法的結(jié)構(gòu)應(yīng)變模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法，該方法僅需用到系統(tǒng)應(yīng)變響應(yīng)輸出，可應(yīng)用于環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)應(yīng)變模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)。

(3)直接利用FBG傳感器測(cè)得應(yīng)變數(shù)據(jù)辨識(shí)出結(jié)構(gòu)應(yīng)變模態(tài)，避免了利用位移模態(tài)計(jì)算應(yīng)變模態(tài)時(shí)的差分誤差，因此應(yīng)變模態(tài)參數(shù)在結(jié)構(gòu)的在線損傷識(shí)別和健康監(jiān)測(cè)等方面更具優(yōu)勢(shì)。

(4)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的基于最小二乘復(fù)頻域方法的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法能夠準(zhǔn)確辨識(shí)出結(jié)構(gòu)的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)。

[1]李德葆.實(shí)驗(yàn)應(yīng)變/應(yīng)力模態(tài)分析若干問(wèn)題的進(jìn)展評(píng)述[J].振動(dòng)與沖擊，1996，15(l)：13-17.

[2]陸秋海，李德葆.模態(tài)理論的進(jìn)展[J].力學(xué)進(jìn)展，1996，26(4)：464-472.

[3]村井.動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)分析的研究[J].小松技報(bào)，1979，25(2)：7-14.

[4]HILLARY B,EWINS D J.The use of strain gauges in force determination and frequency response function measurements[C].Proc.of 2nd IMAC,1984:627-634.

[5]伊立言.應(yīng)變計(jì)在實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中的應(yīng)用[C].第二屆全國(guó)振動(dòng)理論及應(yīng)用會(huì)議，西安，1984.

[6]SONG T C,ZHANG P Q,FENG W Q,et al.The application of the time domain method in strain modal analysis[C].Proc.of 4th IMAC,1986:3-6.

[7]BERNASCONI O,EWINS D J.Application of strain modal analysis testing to real structures[C].Proc.of 7th IMAC,1989:1453-1464.

[8]YAM L H,LEUNG T P,LI D B,et al.Theoretical and experimental study of modal strain analysis[J].Journal Sound and Vibration,1996,191(2):251-260.

[9]李德葆，陸秋海.應(yīng)變模態(tài)分析與曲率模態(tài)分析[C].現(xiàn)代振動(dòng)與噪聲技術(shù)，2001：149-167.

[10]KANG LAE-HYONG,KIM DAE-KWAN,HAN JAEHUNG.Estimation of dynamic structural displacements using Fiber Bragg Grating strain sensors[J].Journal of Sound and Vibration,2007,305(3):534-542.

[11]JIANG H,VAN DER VEEK B,KIRK D,et al.Real-time estimation of time-varying bending modes using fiber Bragg grating sensor arrays[J].AIAA Journal,2013,51(1):178-185.

Least Square Complex Frequency-domain Method for Structural Strain Modal Parameter Identification

ZHOU Si-da1,2,3,CAO Bo-yuan1,ZHOU Xiao-chen4
(1.School ofAerospace Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China;2.Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle,Ministry of Education,Beijing 100081,China;3.Key Laboratory ofAutonomous Navigation and Control for Deep Space Exploration,Ministry of Industry and Information Technology,Beijing 100081,China;4.Beijing Electro-mechanical Engineering Institute,Beijing 100074,China)

Due to its sensitivity to structural state,the strain mode has more advantages than the displacement mode in online structural health monitoring and damage identification.Since the strain mode and displacement mode are merely the different expressions of the same physical state and they are similar in mathematical expression,the relationship between strain and displacement can be applied to the least square complex frequency-domain method(LSCF)to analyze structural stress and strain.In this study,the frequency domain identification method of structural dynamics parameters is established based on strain measurement data.First of all,a parameterized common denominator model with strain as its variable is established.On this basis,the nonlinear least square problem is linearized and the error of the weighted least square linear equation is obtained.Then,the equation is solved by using the algorithm based on the reduction of regular equations.In this way the amount of computation is reduced and parameter redundancy is avoided by imposing the restriction on the modal parameters.Afterwards,an experimental system of a free beam structure is designed and the structural dynamic strain is measured using Fiber Bragg Grating strain sensors.Finally,the frequency and damping ratio are identified by means of LSCF based on the measured strain data.The acceleration results of the identification agree well with those of the traditional identification method based on the measurement data of acceleration.Besides,the strain mode shapes obtained by this identification method are also consistent with the simulation results.Therefore,numerical simulation and the experiment show that the proposed method based on LSCF can accurately identify the strain modes of structures.

vibration and wave;strain mode;modal parameters identification;LSCF;modal experiment

V214.1；TH113.1

A DOI編碼10.3969/j.issn.1006-1355.2017.06.004

1006-1355(2017)06-0017-06

2017-02-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11402022）

曹博遠(yuǎn)（1992-），男，石家莊市人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閼?yīng)變模態(tài)參數(shù)辨識(shí)與實(shí)驗(yàn)。

周思達(dá)，男，碩士生導(dǎo)師。E-mail:zhousida@bit.edu.cn